第2章 第7讲 对数与对数函数-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕对数与对数函数核心考点，涵盖对数概念、运算性质、换底公式及对数函数的图象、性质、反函数关系，按“定义-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理填空、方法指导（如对数运算技巧）、真题训练（2022-2024年高考题）及例题精讲（运算、图象、性质应用），帮助学生系统突破难点。 讲义突出概念辨析与数形结合教学，如对比底数a>1和0<a<1时对数函数性质培养数学思维，例3通过函数图象关联考查直观想象。设置分层练习（基础巩固、能力提升）与真题对接，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第7讲　对数与对数函数 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.(1)logaN;底数;真数 (2)① N ② logaM+logaN;logaM-logaN;nlogaM ③ 2.(1)(0,+∞)　(2)(0,+∞);(1,0);增函数;减函数 3.y=x 高考溯源 1.64　2.1　3.B　4.C　5.B　 【精准练·题型剖析】 [例1]B　解析:由2a=3,3b=5,5c=4, 可得a=log23,b=log35,c=log54, 所以abc=log23×log35×log54 =××=2, 则log4(abc)=log42=. [例2]1　解析:原式= = ====1. [例3]AB　解析:因为ax=,即ax=, 所以a=, 当a>1时,0<b<1, 指数函数y=bx在R上单调递减,且过点(0,1); 对数函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,且过点(1,0), 将y=logax的图象关于y轴对称得到 y=loga(-x)的图象, 则y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递减,且过点(-1,0),故A符合题意; 当0<a<1时,b>1, 同理可得,指数函数y=bx在R上单调递增,且过点(0,1), y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递增,且过点(-1,0),故B符合题意. [例4]D　解析:画出f(x)=|log3x|的图象如图所示, 因为a<b, 且f(a)=f(b), 所以-log3a=log3b, 故=b,且0<a<1, 令y=a+4b,所以y=a+, 由对勾函数的性质可知y=a+在(0,1)上单调递减,故y=a+>1+=5, 故a+4b的取值范围是(5,+∞). [对点训练3]A　解析:由函数图象可知,f(x)为增函数,故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab), 由函数图象可知-1<logab<0,解得<b<1. 综上,0<<b<1. [对点训练4] 解析:若方程4x=logax在上有解,则函数y=4x和函数y=logax的图象在上有交点, 由图象知解得0<a≤. [例5]ACD 解析:∵12x=3,12y=4, ∴x=log123,y=log124. ∵y=log12x在(0,+∞)上单调递增, ∴y>x,故A正确; ∵x+y=log123+log124=log1212=1,∴B错误; ∵x>0,y>0,∴xy≤=, 当且仅当x=y时等号成立,而x<y, ∴xy<,∴C正确; ∵(+)2=x+y+2=1+2<2, 即+<,∴D正确. [例6] 解析:当x≥0时,f(x)=2x2≥0,4f(x)=8x2=f(2x),且f(x)在[0,+∞)上单调递增; 当x<0时,f(x)=-2x2<0,4f(x)=-8x2=f(2x),且f(x)在(-∞,0)上单调递增. 所以f(x)在R上有4f(x)=f(2x),且函数f(x)是R上的增函数, 于是原不等式可化为(log2x)2-3<2log2x, 即(log2x)2-2log2x-3<0, 即(log2x+1)(log2x-3)<0, 得-1<log2x<3,解得<x<8. [例7]ACD 解析:由题可得,f(x)=lg≥lg 10=1, 当且仅当x=时,f(x)取得最小值1,A正确; 因为当且仅当x=时,f(x)取得最小值1, 所以f(1)>1,所以f(1)+f(x)>2,B错误; 因为0<log92=<=, 所以>. =, 设g(x)=x2-x+=+10, 则g(x)的图象关于直线x=对称, g(log92)>g>0, 又y=lg x在定义域上是增函数, 所以f(log92)>f,C正确; 因为90.1=30.2>30.18>1, 所以90.1->30.18->, 又f(x)在上单调递增, 所以f>f,D正确. [对点训练5]C 解析:由=log2<log21.8=log2<log2=log43.6,可得c<a<b. [对点训练6]A 解析:若函数f(x)=ln(e+x)-ln(e-x)有意义,则 解得-e<x<e,即函数f(x)的定义域为(-e,e). 因为f(-x)=ln(e-x)-ln(e+x)=-[ln(e+x)-ln(e-x)]=-f(x), 所以函数f(x)是奇函数. 函数f(x)=ln(e+x)-ln(e-x) =ln=ln, 令u=-1+,-e<x<e, 因为函数u=-1+在(0,e)上单调递增, 函数y=ln u在定义域上是增函数, 所以函数f(x)在(0,e)上单调递增. 【提能力·模拟精练】 1.C　2.C　3.D　4.C　5.D 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲　对数与对数函数 [课标要求]1.理解对数的概念及运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数. 1.对数 (1)对数的概念:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=　　　　,其中a叫做对数的　　　　,N叫做　　　　.  (2)对数的性质、运算性质与换底公式 ① 对数的性质 =　　　　;logaab=b(a>0,且a≠1).  ② 对数的运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么loga(MN)=　　　　;loga=　　　　;logaMn=　　　　(n∈R).  ③ 换底公式:logab=　　　　(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).  2.对数函数 (1)概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是　.  (2)图象及性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:　　　  值域:R 图象过定点　　　　,即恒有loga1=0  当x>1时,恒有y>0;当0<x<1时,恒有y<0 当x>1时,恒有y<0;当0<x<1时,恒有y>0 在(0,+∞)上是　　　  在(0,+∞)上是　　　  ⦾提醒　对数函数y=logax 的3个特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)自变量x>0;(3)系数为1. 3.反函数:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线　　　　对称.  1.换底公式的三个重要结论 (1)logab=; (2)bn=logab; (3)logab·logbc·logcd=logad. 2.对数函数图象的特点 (1) 函数y=logax与y=x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称; (2)如图,在同一平面直角坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图象越靠近x轴;当0<a<1时,随a的增大,对数函数的图象越远离x轴. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a=　　　　.  2.(2023·北京)已知函数f(x)=4x+log2x,则f=　　　　.  3.(2022·天津)化简·的值为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.6 4.(2022·浙江)已知2a=5,log83=b,则4a-3b= (　　) A.25 B.5 C. D. 5.(2024·北京)已知,是函数y=2x的图象上两个不同的点,则 (　　) A.log2< B.log2> C.log2<x1+x2 D.log2>x1+x2 对数的运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(2025·辽宁丹东模拟)若2a=3,3b=5,5c=4,则log4(abc)= (　　) A.-2 B. C. D.1 【例2】计算:=. 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化. 对数函数的图象及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】(多选)(2025·山东青岛调研)已知ax=,函数y=loga(-x)与y=bx的图象可能是 (　　) A B C D 【例4】已知函数f(x)=|log3x|,若a<b,且f(a)=f(b),则a+4b的取值范围是 (　　) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.[5,+∞) D.(5,+∞) 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 【对点训练3】已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 (　　) A.0<<b<1 B.0<b<<1 C.0<<a<1 D.0<<<1 【对点训练4】若方程4x=logax在上有解,则实数a的取值范围为　.  对数函数的性质及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　比较大小 【例5】(多选)(2025·江苏南京、盐城模拟)已知x,y∈R,且12x=3,12y=4,则 (　　) A.y>x B.x+y>1 C.xy< D.+< 角度2　解对数方程或不等式 【例6】已知函数f(x)=则不等式f[(log2x)2-3]<4f(log2x)的解集为　　　　.  角度3　对数函数性质的综合应用 【例7】(多选)(2025·福建泉州模拟)已知函数f(x)=lg,则 (　　) A.f(x)的最小值为1 B.∃x∈R,f(1)+f(x)=2 C.f(log92)>f D.f>f 利用对数函数的性质,解决与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【对点训练5】(2025·湖南衡阳质检)已知a=log21.8,b=log43.6,c=,则 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【对点训练6】(2025·宁夏银川调研)已知函数f(x)=ln(e+x)-ln(e-x),则f(x)是 (　　) A.奇函数,且在(0,e)上单调递增 B.奇函数,且在(0,e)上单调递减 C.偶函数,且在(0,e)上单调递增 D.偶函数,且在(0,e)上单调递减 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.若lo0.8<lo0.8<0,则x1与x2的关系正确的是 (　　) A.0<x2<x1<1 B.0<x1<x2<1 C.1<x1<x2 D.1<x2<x1 2.在同一平面直角坐标系中,函数y=loga(-x),y=(a>0,且a≠1)的图象可能是 (　　) A B C D 3.(2025·吉林通化模拟)设a=log0.14,b=log504,则 (　　) A.2ab<2(a+b)<ab B.2ab<a+b<4ab C.ab<a+b<2ab D.2ab<a+b<ab 4.(2025·江苏常州质测)设函数f(x)=lo在区间[1,+∞)上单调递减,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1] B.[0,1] C.(-1,1] D.[1,+∞) 5.已知a>0,且a≠1,则函数y=loga的图象一定经过 (　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 学科网（北京）股份有限公司 $