第2章 第6讲 指数与指数函数-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦指数与指数幂运算、指数函数概念及图象性质等高考核心考点，按“基础概念—性质探究—综合应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（根式性质、分数指数幂转化）、方法指导（指数幂运算技巧、图象变换规律）、真题训练（近5年全国卷典型题）等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破运算化简、单调性应用等难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如分析指数函数图象时分类讨论底数a与1的大小关系，解指数方程用换元法转化为二次函数问题，设计“概念辨析—典例精讲—分层练习”教学活动。通过真题情境化训练提升学生问题解决能力，为教师精准把控复习节奏、高效提升学生应考技能提供有力支持。

第6讲　指数与指数函数 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.(1)a　(2); 2.(1)ax　(2)R;(0,+∞);(0,1);增函数;减函数 高考溯源 1.D　2.D　3.C　4. 【精准练·题型剖析】 [例1]解析:(1)原式=÷× =×× =××=a. (2)原式=-(3×1×[+]-10×[(0.3)3 =-×-10×0.3 =--3=0. [例2]AD　解析:当x=1时,f(1)=a-2a=-a<0,排除B,C; 当a=2时,f(x)=2x-4,此时函数对应的图象可能为A; 当a=时,f(x)=-1,此时函数对应的图象可能为D.故选AD. [例3]BC　解析:表示过点M(x1,y1)与点A(1,-1)的直线的斜率k. M(x1,y1)是y=ex在x∈[0,1)图象上的动点, 如图,B(1,e),则k∈(-∞,-2],只有B,C满足. [对点训练2]ABC　解析:由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象,如图所示, 由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故A正确; 作出直线y=k,当k>1时,若3a=6b=k,则0<b<a,故B正确; 作出直线y=m,当0<m<1时,若3a=6b=m,则a<b<0,故C正确; 当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b=6b,故D错误. [对点训练3]　解析:y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上及其上方的图象不变得到的. 当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意; 当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点, 则0<2a<1,即0<a<. 综上可知,a的取值范围是. [例4]D　解析:因为a,b,c都大于0, 所以可以同时进行乘方运算, 将分数指数幂化成整数指数幂. a12=()12==38, b12=()12==29, c12=()12==44=28, 很明显,b>c,a>c, 又a12=38=34×34=812=6 561,b12=29=512, 所以c<b<a. [例5]D　解析:∵y=4x-3·2x+3的值域为[1,7], ∴1≤4x-3·2x+3≤7,且2x>0, ∴0<2x≤1或2≤2x≤4, ∴x≤0或1≤x≤2. [例6]B　解析:∵ax<1,当a>1时,y=ax是增函数, ∴p:{x|x<0}. 对于不等式<x+2, 作出函数y=与y=x+2的图象,如图所示. 由图象可知,不等式<x+2的解集为{x|-1<x<0}, ∴q:{x|-1<x<0}. 又∵{x|-1<x<0}⫋{x|x<0}, ∴p是q的必要不充分条件. [例7]解析:(1)f(x)=×2x+, 因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 所以×+2x=-, 所以=0, 即+1=0,解得a=-1. (2)因为f(x)=-2x,x∈[1,2], 所以-≥m, 所以m≥+2x,x∈[1,2], 令t=2x,t∈[2,4], 由于y=t+在[2,4]上单调递增, 所以m≥4+=, 即实数m的取值范围是. 【提能力·模拟精练】 1.A　2.B　3.A　4.D　5.D 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲　指数与指数函数 [课标要求]1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.会画出具体指数函数的图象,理解指数函数的单调性与特殊点等性质,并能简单应用. 1.根式与指数幂 (1)根式性质 当n为奇数时,=　　　　;  当n为偶数时,=|a|= (2)分数指数幂与根式关系 正分数指数幂:=　　　　;负分数指数幂:==　　　　(a>0,m,n∈N*,n>1).  2.指数函数 (1)概念 一般地,函数y=　　　　　　　　(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.  ⦾提醒　形如y=kax,y=ax+k(k∈R且k≠0,a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数. (2)图象和性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为　　　　,值域为　　　　  图象过定点　　　  当x>0时,恒有y>1;当x<0时,恒有0<y<1 当x>0时,恒有0<y<1;当x<0时,恒有y>1 在定义域R上为　　　  在定义域R上为　　　  ⦾提醒　指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a 的取值有关,要注意应分a>1 与0<a<1 来研究. 1.函数y=ax与y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称. 2.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高,即“底大图高”. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f=在区间上单调递减,则a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 3.(2022·北京)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有 (　　) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)= 4.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是. 指数幂的运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】化简: (1)÷×; (2)(0.008 1-×[8+]-10×0.02. 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: (1)必须同底数幂相乘,指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数. 指数函数的图象及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】(多选)已知a>0,则函数f(x)=ax-2a的图象可能是 (　　) A B C D 【例3】(多选)(2025·河北石家庄调研)点M(x1,y1)在函数y=ex的图象上,当x1∈[0,1)时,的值可能等于 (　　) A.-1 B.-2 C.-3 D.0 1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练2】(多选)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为 (　　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 【对点训练3】(2025·广东深圳质检)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　.  指数函数的性质及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　比较大小 【例4】已知a=,b=,c=,则 (　　) A.c<a<b B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a 角度2　解指数方程或不等式 【例5】已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围是 (　　) A.[2,4] B.(-∞,0) C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] 【例6】(2025·湖北武汉质检)已知p:ax<1(a>1),q:2x+1-x<2,则p是q的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 角度3　指数函数性质的综合应用 【例7】已知函数f(x)=(a为常数,且a≠0,a∈R),且f(x)是奇函数. (1)求a的值; (2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)-mf(x)≥0成立,求实数m的取值范围. 1.比较指数式大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小; (2)不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 易错警示　在研究指数型函数的单调性时,当底数a与1的大小关系不确定时,要分类讨论. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2025·重庆诊断)已知f(x)=为奇函数,则f(1)= (　　) A. B.- C.2 D.-2 2.已知函数f(x)=ax-a(a>1),则函数f(x)的图象不经过 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2025·江苏盐城调研)已知函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为 (　　) A. B. C. D. 4.已知a=31.2,b=1.20,c=,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a<c<b B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 5.(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)=,则下列结论不正确的是 (　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(-1,1) C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)为减函数 学科网（北京）股份有限公司 $