第2章 第10讲 函数与方程-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数与方程核心考点，涵盖函数零点概念、零点存在定理及二分法，按“概念-定理-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（填空巩固基础）、方法指导（零点判断三法）、真题训练（2024新课标等真题）等环节，帮助学生构建解题框架，突破零点定位、个数判断及参数问题难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用“问题驱动-分层突破”教学策略，如例4结合奇函数性质与对数函数图象分析零点个数，培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观）。设置基础到综合的对点训练，配合易错点提示（如零点与点的区别），确保高效复习，提升学生应考能力，为教师精准把控复习节奏提供有力支持。

第10讲　函数与方程 [课标要求]1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理,并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 1.函数的零点 (1)概念:对于一般函数y=f(x),我们把使　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点.  (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系: 2.函数零点存在定理 (1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②　　　　<0.  (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　,这个c也就是方程f(x)=0的解.  3.二分法 条件 (1)函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上　　　　;  (2)在区间端点的函数值满足　　　  方法 不断地把函数y=f(x)的零点所在区间　　　　,使所得区间的两个端点逐步　　　　,进而得到零点近似值  1.若图象连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根. 2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 (　　) A.3 B.4 C.6 D.8 2.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax,当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= (　　) A.-1 B. C.1 D.2 3.(2024·新课标Ⅱ卷)(多选)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有 (　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 4.(2021·天津)设a∈R,函数f(x)=若f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点,则a的取值范围是 (　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 5.(2020·天津)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是 (　　) A.∪(2,+∞) B.∪(0,2) C.(-∞,0)∪(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 函数零点所在区间的判断 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(2025·东北师大附中模拟)方程log3x+x=2的根所在区间是 (　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【例2】若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 (　　) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为 (　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x-2 -1 0 1 2 3 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 【对点训练2】(2025·江西南昌调研)函数f(x)是函数y=3x的反函数,函数g(x)=f(x)+2x-6的零点为a,且a∈(n,n+1)(n∈N),则n=　　　　.  函数零点个数的判断 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【例4】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则方程f(x)=|log9x|的实根的个数为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点. (2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 【对点训练3】(2025·海南质检)函数y=ex+x2+2x-1的零点个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【对点训练4】函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时,f(x)=x2-x,则函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为 (　　) A.6 B.7 C.8 D.9 函数零点的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　根据零点个数求参数范围 【例5】(2025·北京朝阳区质检)设函数f(x)=x+(m∈R),则 “-3<m≤0” 是 “f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 角度2　根据零点范围求参数范围 【例6】已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C.(-∞,0) D. 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围. (2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 【对点训练5】(2025·陕西榆林模拟)已知函数f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【对点训练6】函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是 (　　) A.a<- B.a<- C.-<a<- D.a<- 嵌套函数的零点问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 函数的零点是命题的热点,常与函数的性质等相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,设中间函数为t,通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解. 一、判断嵌套函数的零点个数 【例7】(2025·福建漳州质检)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为 (　　) A.3 B.5 C.6 D.8 二、由嵌套函数零点的情况求参数 【例8】(2025·河南郑州模拟)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+(m-4)f(x)+2(2-m)=0有五个不同的实数根,则实数m的取值范围是 (　　) A.[1,3) B.(0,2) C.[1,2) D.(0,1) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是. 2.已知a>0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是. 3.设f是定义在R 且周期为1的函数,在区间上,f=其中集合D=,则方程f-lg x=0的解的个数是　　　　.  4.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲　函数与方程 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.(1)f(x)=0　(2)f(x)=0 2.(1)f(a)·f(b)　(2)f(c)=0 3.连续不断;f(a)·f(b)<0;一分为二;逼近零点 高考溯源 1.C　2.D　3.BC　4.A　5.D　 【精准练·题型剖析】 [例1]B 解析:设f(x)=log3x+x-2, 则方程log3x+x=2的根所在的区间即为f(x)零点所在的区间. ∵y=log3x与y=x-2在(0,+∞)上均单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. 对于A,∵f(1)=log31+1-2=-1, ∴当x∈(0,1)时,f(x)<-1,A错误; 对于B,∵f(1)=-1<0, f(2)=log32+2-2=log32>0, 即f(1)f(2)<0, ∴∃x0∈(1,2),使得f(x0)=0,B正确; 对于C,D,当x>2时,f(x)>f(2)>0, ∴f(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零点,C,D错误. [例2]A 解析:函数y=f(x)是图象开口向上的二次函数,最多有两个零点, 由于a<b<c,则a-b<0,a-c<0,b-c<0, 因此f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c-b)>0. 所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0, 即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点. [对点训练1]C 解析:设f(x)=ln x-x+2=ln x-(x-2),易知函数f(x)在(1,+∞)上的图象连续, 由表格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)=ln 3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln 4-2=1.386-2<0,f(5)<0,则f(3)·f(4)<0, 即在区间(3,4)上,函数f(x)存在零点, 即方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(3,4). [对点训练2]2 解析:由题可知,f(x)=log3x, 则g(x)=log3x+2x-6,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增. 又g(2)=log32+22-6=log32-2<0,g(3)=log33+23-6=3>0, 所以a∈(2,3),即n=2. [例3]B 解析:∵f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续, ∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. [例4]C 解析:由奇函数可知f(2-x)=f(x)=-f(-x), 即f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 则f(x)是周期为4的周期函数, 又由f(2-x)=f(x),得f(x)的图象关于直线x=1对称,作出函数y=|log9x|与函数y=f(x)的大致图象如图所示, 结合图象可知,共有5个交点,即方程实根的个数为5. [对点训练3]C 解析:函数y=ex+x2+2x-1的零点个数即函数f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象的交点个数, 在同一直角坐标系中,分别作出f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象,如图所示, 由图可知,两图象有2个交点,故原函数有2个零点,故选C. [对点训练4]B 解析:令f(x)=x2-x=0, 即x=0或x=1,所以f(0)=0,f(1)=0, 因为函数的最小正周期为2, 所以f(2)=0,f(3)=0,f(-2)=0,f(-1)=0,f(-3)=0, 所以函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为7. [例5]A 解析:由函数f(x)=x+(m∈R)的定义域为(-1,2), 显然m=0时,函数在区间(-1,2)内有且仅有一个零点. 令f(x)=0,可得x+=0, 即x2-2x+m=0,且曲线y=x2-2x+m是开口向上的抛物线, 其图象关于直线x=1对称. 设g(x)=x2-2x+m,x∈(-1,2), 要使得函数y=g(x)在区间(-1,2)上只有一个零点, 则满足Δ=(-2)2-4m=0或 解得m=1或-3<m<0, 即函数y=f(x)在区间(-1,2)上只有一个零点时,m∈(-3,0]∪{1}, 所以“-3<m≤0”是“f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的充分不必要条件.故选A. [例6]B 解析:由f(x)=3x-=0,可得a=3x-, 令g(x)=3x-,其中x∈(-∞,-1), 由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0, 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域. 由于函数y=3x,y=-在区间(-∞,-1)上均单调递增, 所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增. 当x∈(-∞,-1)时, g(x)=3x-<g(-1)=+1=, 又g(x)=3x->0, 所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为. 因此,实数a的取值范围是. [对点训练5]B 解析:令f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)=0, 得m=-x2+4x或m=-1. 作出g(x)=-x2+4x,h(x)=-1的图象,如图所示. 这两个函数图象的交点坐标为(0,0),(3,3), 因为g(x)max=4,h(x)>-1,所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4). 故整数m=1或2,即整数m的取值个数为2. [对点训练6]D 解析:当a=0时,f(x)=3,不符合题意; 当a>0时,由于函数y=2alog2x,y=a·4x+3在上均单调递增, 此时函数f(x)在上单调递增; 当a<0时,由于函数y=2alog2x,y=a·4x+3在上均单调递减, 此时函数f(x)在上单调递减. 因为函数f(x)在区间上有零点, 所以f f(1)<0, 即3(4a+3)<0,解得a<-. [例7]B 解析:依题意,函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数,即为方程f(f(x)-1)=0根的个数, 令f(x)-1=t,则f(t)=0, 当t>0时,ln t-=0, 令h(t)=ln t-,t>0, 因为函数y=ln t,y=-均在(0,+∞)上单调递增, 所以函数h(t)在(0,+∞)上单调递增, 又h(1)=-1<0,h(e)=1->0, 则存在t1∈(1,e),使得h(t1)=0. 当t≤0时,令-|t+1|+1=0, 解得t=0或t=-2, 作出函数f(x)= 的大致图象,如图. 又f(x)-1=t, 则f(x)=t+1. 当t=0时,f(x)=1, 由y=f(x)的图象知,方程f(x)=1有2个根; 当t=-2时,f(x)=-1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=-1有2个根; 当t=t1,t1∈(1,e)时,f(x)=t1+1∈(2,e+1), 由y=f(x)的图象知,方程f(x)=t1+1有1个根. 综上所述,函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为5. [例8]C 解析:设h(x)=x-,x>0, 则h'(x)=1+>0, 则h(x)在(0,+∞)上单调递增,h(1)=0, 作出f(x)的大致图象如图所示. 令t=f(x),则t2+(m-4)t+2(2-m)=0, 则t1=2,t2=2-m. 由图可知,直线y=2与f(x)的图象有2个交点, 所以直线y=2-m与f(x)的图象必须有3个交点, 则0<2-m≤1,解得1≤m<2. 【提能力·模拟精练】 1.(1,4);(1,3]∪(4,+∞)　2.(4,8)　3.8　4.7　 学科网（北京）股份有限公司 $