第2章 第4讲 函数的周期性和对称性-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数周期性和对称性高考核心考点，依据课标要求构建知识体系，涵盖周期性定义及最小正周期、函数自对称与互对称公式推论，通过梳理考点内在联系，设计考点梳理、方法指导、真题训练教学环节，助力学生突破性质应用难点。 资料以真题为载体创新教学，如例1结合偶函数周期性推导解析式培养数学思维，通过对称性与周期性结论推导发展数学眼光，设置分层练习即时反馈，提升学生符号表达与逻辑推理能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第4讲　函数的周期性和对称性 [课标要求]1.了解函数的周期性及其几何意义. 2.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论. 3.会依据函数的性质进行简单的应用. 1.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且　,  那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的　　　　,那么这个最小　　　　就叫做f(x)的　　　　.  ⦾提醒　并非所有周期函数都有最小正周期. 2.函数图象的对称性 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线　　　　对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象的对称中心是点　　　　.  (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若对于R上的任意x都有f(2a-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)中心对称. 1.对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|(a≠0,下同); (2)若f(x+a)=,则T=2|a|; (3)若f(x+a)=-,则T=2|a|. 2.对称性与周期性之间的三个常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期为T=2|a-b|; (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T=2|a-b|; (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T=4|a-b|. 3.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称; (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称; (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)= (　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 2.(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f的定义域为R,f为偶函数,f为奇函数,则 (　　) A.f=0 B.f=0 C.f=0 D.f=0 3.(2021·全国甲卷)设函数f的定义域为R,f为奇函数,f为偶函数,当x∈时,f(x)=ax2+b.若f+f=6,则f= (　　) A.- B.- C. D. 4.(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　　) A.-50 B.0 C.2 D.50 函数的周期性 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)若偶函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,当x∈(0,1)时,f(x)=+1,则f= (　　) A.2 B. C. D. (2)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x-2)是偶函数,当0≤x≤2时,f(x)=x2-4x,则当6≤x≤8时,f(x)的解析式为 (　　) A.f(x)=-x2-4x B.f(x)=x2-16x+60 C.f(x)=x2-12x+32 D.f(x)=-x2+12x-32 (1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. 函数的对称性 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　自对称中的轴对称 【例2】(多选)设f(x)是R上的奇函数,且对∀x∈R,都有f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x2,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)在[3,5]上单调递增 B.f(x)的最大值是1,最小值是0 C.直线x=1是函数f(x)的一条对称轴 D.当3≤x≤4时,f(x)=-(x-4)2 【例3】(多选)下列说法中,正确的是 (　　) A.函数f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称 C.若函数y=f(x)过定点(0,1),则函数y=f(x-1)+1过定点(1,2) D.函数y=的图象关于点(3,c)中心对称,则b+c=2 角度3　互对称问题 【例4】已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象 (　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 函数对称性有关问题的解题策略 (1)求解与函数对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出函数图象的对称轴或对称中心. (2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(多选)已知函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数,又函数g(x)=,且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2 026个不同的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P2 026(x2 026,y2 026),则下列叙述中正确的是 (　　) A.f(x)的图象关于点(2,2)对称 B.g(x)的图象关于点(1,2)对称 C.x1+x2+…+x2 026=2 026 D.y1+y2+…+y2 026=2 026 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数y=2-x与y=-2x的图象 (　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x轴对称 2.已知函数f(x)=的图象关于直线x=2对称,则a= (　　) A.1 B.2 C.0 D.-2 3.已知函数y=f(x)的定义域为R,且函数y=f(x+1)为偶函数,函数y=f(x+2)-1为奇函数,则 (　　) A.f=0 B.f(0)=1 C.f=0 D.f(1)=1 4.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称,则b= (　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 5.已知f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=-3x2+2,则f= (　　) A.- B. C.- D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲　函数的周期性和对称性 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.(1)f(x+T)=f(x)　(2)正数;正数;最小正周期 2.x=a;(b,0) 高考溯源 1.A　2.B　3.D　4.C 【精准练·题型剖析】 [例1](1)C　(2)D 解析:(1)由已知可得f(x+2)+f(x)=0⇒f(x+4)+f(x+2)=0⇒f(x+4)=f(x), 即T=4是函数f(x)的一个周期, 所以f=f =f=+1=. (2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(x-2)为偶函数, 所以f(-x)=-f(x),f(-x-2)=f(x-2),即f(-x)=f(x-4), 所以f(x-4)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x), 可得f(x+8)=-f(x+4)=f(x), 所以f(x)的一个周期为8, 又当0≤x≤2时,f(x)=x2-4x, 当6≤x≤8时,则0≤8-x≤2,所以f(8-x)=(8-x)2-4(8-x)=x2-12x+32, 又f(x)是周期为8的奇函数, 则f(x)=f(x-8)=-f(8-x)=-(x2-12x+32)=-x2+12x-32, 故f(x)=-x2+12x-32,x∈[6,8]. [例2]ACD　解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),又因为f(2-x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确; 因为f(2-x)=f(x)=-f(-x),即f(2-x)+f(-x)=0,从而f(2+x)+f(x)=0,所以f(4+x)+f(2+x)=0,所以f(4+x)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,又因为当x∈[0,1]时,f(x)=x2单调递增,所以f(x)在[-1,0]上也单调递增,从而f(x)在[-1,1]上单调递增,又因为f(x)的周期为4,所以f(x)在[3,5]上单调递增,故A正确; 因为f(x)在[-1,1]上单调递增,且f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在[1,3]上单调递减,所以f(x)在[-1,3]上的最大值为f(1)=1,最小值为f(-1)=f(3)=-1,故B错误; 当3≤x≤4时,0≤4-x≤1,所以f(4-x)=(4-x)2,因为周期为4,所以f(-x)=f(4-x)=(4-x)2,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(4-x)2=-(x-4)2,故D正确. [例3]ABC　解析:对于A,f(x)===2-,其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,且y=-的图象关于原点对称,故f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称,A正确; 对于B,因为f(2x-1)为奇函数, 所以f(2x-1)=-f(-2x-1), 所以f(x-1)=-f(-x-1), 所以f(x)=-f(-x-2),所以函数f(x)关于点(-1,0)中心对称,B正确; 对于C,函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象,由于y=f(x)过定点(0,1),故函数y=f(x-1)+1过定点(1,2),C正确; 对于D,函数y===1+的图象关于点(3,c)中心对称, 所以解得 所以b+c=4,D不正确. [例4]A　解析:设P(x0,y0)为y=f(x+2)图象上任意一点,则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)), 所以点Q(2-x0,y0)在函数y=f(4-x)的图象上, 而点P(x0,y0)与点Q(2-x0,y0)关于直线x=1对称, 所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. [思维升华](1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x); 若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称. (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x);若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点成中心对称. [对点训练1]BC　解析:函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数,则有f(-x+1)-2=-f(x+1)+2, 即f(-x+1)+f(x+1)=4, 又=1,=2,所以函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称,无法判断是否关于点(2,2)对称,A错误; 函数g(x)==2+,结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知,g(x)的函数图象也关于点(1,2)对称,B正确; f(x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1,2)对称,不妨设x1<x2<…<, 则有x1+=x2+=…=+=2, y1+=y2+=…=+=4, 所以x1+x2+…+=2 026,C正确; y1+y2+…+=4 052,D错误. 【提能力·模拟精练】 1.C　2.B　3.B　4.C　5.B 学科网（北京）股份有限公司 $