第2章 第8讲 指、对、幂大小比较-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦指、对、幂函数大小比较核心考点，依据课标要求梳理经典题型，按“底数/指数/真数异同”分类构建知识体系，通过考点梳理、方法指导（如中间值法、构造函数）、真题训练（2023-2024年高考题）等环节，帮助学生系统掌握比较策略，突破难点。 讲义以分层角度教学为特色，设直接法、运算性质、构造函数等模块，结合例7通过构造函数解决大小比较问题，培养学生数学思维与逻辑推理能力。配套对点训练和分层练习，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第8讲　指、对、幂大小比较 [课标要求]函数“比大小”是非常经典的题型,难度不定,方法多样,很受命题者青睐.每年高考基本会出现,难度逐年上升.高考命题中,常常在选择题中出现,往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起,进行排序.这类问题的解法可以从代数和几何两个方面加以探寻,即利用函数的性质与图象解答. (1)底数相同,指数不同时,如和,利用指数函数y=ax的单调性比较大小; (2)指数相同,底数不同时,如和,利用幂函数y=xa的单调性比较大小; (3)底数相同,真数不同时,如logax1和logax2,利用对数函数y=logax的单调性比较大小. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·天津)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 2.(2023·全国甲卷)已知函数f=.记a=f,b=f,c=f,则 (　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 3.(2023·天津)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 4.(2022·天津)已知a=20.7,b=,c=log2,则 (　　) A.a>c>b B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b 5.(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 (　　) A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 直接法比较大小 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　利用函数的性质 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(2024·内蒙古鄂尔多斯模拟)已知a=,b=log8,c=,则 (　　) A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 角度2　找中间值 【例2】设a=0.20.5,b=log53,c=50.2,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 角度3　特殊值法 【例3】已知a>b>1,0<c<,则下列结论正确的是 (　　) A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“-1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数进行估计,例如log23,易知1=log22<log23<log24=2,进而可估计log23是一个1~2之间的小数,从而便于比较. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)(2024·天津宁河区模拟)设a=,b=,c=log0.50.3,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.c<a<b (2)(2025·天津模拟)设a=log2π,b=loπ,c=,则 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　作差法 【例4】设a=log62,b=log123,c=log405,则 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 角度2　作商法 【例5】(2025·四川成都模拟)若a=,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 角度3　乘方法 【例6】已知a=log35,b=log57,c=,则 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小,结合指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系,要熟练运用指数、对数的公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练2】(1)已知正数a,b,c满足2 024a=2 025,2 025b=2 024,ec=2,下列说法正确的是 (　　) A.logac>logbc B.logca>logcb C.ac<bc D.ca<cb (2)若a=,b=log147,c=log126,则 (　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b 角度4　构造函数 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例7】若ln x-ln y>y2-x2,则 (　　) A.ex-y>1 B.ex-y<1 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0 (1)从题目条件出发,探求比较对象的关系. (2)根据条件等式的结构特征,发现同构特点,构造函数. 【对点训练3】已知实数a,b,c满足a2+log2a=0,2 025-b=log2 025b,c=log7,则 (　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知a=3log83,b=-lo16,c=log45,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 2.设a=20.7,b=,c=log2,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 3.已知a=log32,b=log52,c=,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 4.已知a=log2,b=log2,c=,则 (　　) A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>c>a 5.(2025·山东青岛模拟)已知正数a,b,c满足aea=bln b=ecln c=1,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲　指、对、幂大小比较 【强基础·知识梳理】 高考溯源 1.B　2.A　3.D　4.C　5.A　 【精准练·题型剖析】 [例1]A 解析:由于y=0.7x是R上的减函数, 则0<0.<0.70=1,所以0<a<1, 由于y=log8x是(0,+∞)上的增函数, 则log8<log81=0,所以b<0, 由于y=4x是R上的增函数, 则>40=1,所以c>1, 所以b<a<c. [例2]A 解析:0<a=0.20.5=<=, 1>b=log53>log5=, c=50.2>50=1,所以a<b<c. [例3]C 解析:取特殊值,令a=4,b=2,c=, 则ac=,bc=,∴ac>bc,故A错误; abc=4×=,bac=2×=, ∴abc>bac,故B错误; logac=log4=-1,logbc=log2=-2, alogbc=-8,blogac=-2, ∴alogbc<blogac,logac>logbc,故C正确,D错误. [对点训练1](1)B　(2)C 解析:(1)因为a=,b==, 易知函数y=2x在R上是增函数, 又-0.5<-0.3<0,所以a<b<20=1, 又易知y=log0.5x在(0,+∞)上是减函数, 所以c=log0.50.3>log0.50.5=1. 综上,a<b<c. (2)依题意,a=log2π>log22=1,b=loπ<lo1=0,0<c=<π0=1,所以a>c>b. [例4]D 解析:∵=log312=1+log34=1+=1+, =log540=1+log58=1+=1+, ∴-=- = = =<0, ∴<, 又b>0,c>0,∴b>c; ∵=1+log58<1+log5 =1+log5=,∴c>, ∵=log26=1+log23>1+log2 =1+log2=,∴a<, ∴a<c.∴a<c<b. [例5]D 解析:因为0<a=<30=1, 0<b=<=1, 令==×=×, 而=×12 =3×=<1, 即×<1,所以a<b, 又因为c=lo=lo>lo=lo=1,所以c>b>a. [例6]D 解析:因为53=125>3=81,所以5>, 所以log35>log3=,即a>c. 因为73=343<3=625,所以7<, 所以log57<log5=,即b<c. 所以a>c>b. [对点训练2](1)D　(2)A 解析:(1)∵2 024a=2 025,2 025b=2 024,ec=2, ∴a=lo2 025>1,b=lo2 024<1,c=ln 2<1, ∴a>1,0<b<1,0<c<1, ∴logac<0,logbc>0,∴logac<logbc,故A错误; ∵0<c<1,a>b,∴logca<logcb,ac>bc,ca<cb,故B,C错误,D正确. (2)a=====, b=log147=1-log142=1-, c=log126=1-log122=1-, 因为4log142=log1424=log1416>1,则log142>, 所以1-log142<1-=,即b<a; 而ln 2>0,ln 14>ln 12>0,所以<, 所以1->1-,即b>c, 综上,a>b>c. [例7]A 解析:若ln x-ln y>y2-x2,可得x2+ln x>y2+ln y,且x,y>0, 令f(x)=x2+ln x,x>0, 因为y=x2,y=ln x在(0,+∞)上单调递增,可知y=f(x)在(0,+∞)上单调递增, 由x2+ln x>y2+ln y, 即f(x)>f(y),可得x>y>0. 对于A,B,因为x>y>0,则x-y>0, 且y=ex 在R上单调递增,所以ex-y>e0=1,故A正确,B错误; 对于C,D,假设x=2,y=1,满足x>y>0,但ln|x-y|=ln 1=0,故C,D错误. [对点训练3]B　解析:设f(x)=x2+log2x,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f=-<0,f(1)=1>0,所以<a<1.设g(x)=-log2 025x,易知g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=>0,g(2 025)=-1<0,所以1<b<2 025.因为c=log7<log7=,所以c<.综上可知,c<a<b. 【提能力·模拟精练】 1.A　2.D　3.B　4.C　5.D 学科网（北京）股份有限公司 $