第2章 第3讲 函数的奇偶性-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数奇偶性核心考点，涵盖概念、几何意义及应用，按定义辨析、性质探究、综合应用逻辑架构知识体系。通过考点梳理（表格归纳定义与图象特点）、方法指导（奇偶性判断两条件）、真题训练（2023-2024年高考题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破判断与应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出数学思维与数学语言培养，如例3通过构造奇函数转化最值问题，渗透转化与化归思想。设置角度化例题（常见函数、抽象函数、构造函数）和分层练习（基础题、综合题），配合即时方法总结，确保高效突破考点。助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第3讲　函数的奇偶性 [课标要求]1.了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　,那么函数f(x)就叫做偶函数  关于　　　　对称  奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　,那么函数f(x)就叫做奇函数  关于　　　　对称  (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)若f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min+f(x)max=0. (4)若F(x)=f(x)+c,f(x)为奇函数,则F(-x)+f(x)=2c.特别地,若f(x)存在最值,则F(x)min+F(x)max=2c. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·天津)下列函数是偶函数的是 (　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 2.(2024·上海)已知f=x3+a,x∈R,且f是奇函数,则a=　　　　.  3.(2023·全国甲卷)若f=+ax+sin为偶函数,则a=　　　　.  4.(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 函数奇偶性的判断 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　常见函数奇偶性的判断 【例1】(多选)下列函数是奇函数的是 (　　) A.f(x)=tan x B.f(x)=x2+x C.f(x)= D.f(x)=ln|1+x| 角度2　抽象函数奇偶性的判断 【例2】(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有 (　　) A.若恒有f(x2)=-f(-x2),则f(x)是奇函数 B.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),且f(0)≠0,则y=f(x)为奇函数 C.若恒有f(x)+f(y)=f(x+y),则f(x)为偶函数 D.若恒有f(xy)=yf(x)+xf(y),则f(x)是奇函数 角度3　构造函数的奇偶性 【例3】已知函数f(x)=x+ln(-x)-5(x∈[-2 026,2 026])的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.  判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 函数的奇偶性的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　利用奇偶性求值(解析式) 【例4】(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(-∞,0]时,f(x)=x2-ex+1,则当x∈(0,+∞)时,f(x)= (　　) A.x2-ex+1 B.x2-+1 C.x2++1 D.-x2+-1 (2)若函数y=(2x-m·)x5是R上的偶函数,则实数m=　　　　.  角度2　利用奇偶性解不等式 【例5】设函数f(x)=ln(x2+1)-,则满足f(x)>f(2x+1)的x的取值范围为　　　　.  (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a= (　　) A.-1 B.0 C. D.1 (2)已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x-,则f(x)<0的解集为 (　　) A.(-3,0)∪(0,3) B.(-3,3) C.(-∞,-3)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是 (　　) A.{x|x>1} B.{x|-1<x<0} C.{x|x<-1,或x>1} D.{x|1<x<0,或x>1} 2.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,若f,g(2+x)均为偶函数,则下列结论一定正确的是 (　　) A.f(-1)=f(2) B.g(2)=1 C.f(1)=f(2) D.g(1)=g(5) 3.已知函数f(x)=+3x+1,且f(a2)+f(3a-4)<2,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-4,1) B.(-3,2) C.(0,5) D.(-1,4) 4.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),且f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是 (　　) A.f(-1)<f(0)<f(-6.5) B.f(-6.5)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) D.f(0)<f(-6.5)<f(-1) 5.已知定义域为R的函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且f(1)=1,则下列结论错误的是 (　　) A.f(0)=2 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为奇函数 D.f(2)=-1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　函数的奇偶性 【强基础·知识梳理】 必备知识 f(-x)=f(x);y轴;f(-x)=-f(x);原点 高考溯源 1.B　2.0　3.2　4.D　 【精准练·题型剖析】 [例1]AC　解析:对于A,函数的定义域为,关于原点对称,且f(-x)=tan(-x)=-tan x=-f(x),故函数为奇函数,符合题意; 对于B,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=x2-x≠±f(x),故函数为非奇非偶函数,不符合题意; 对于C,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)==-f(x),故函数为奇函数,符合题意; 对于D,函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,不符合题意. [例2]AD　解析:对于A,若∀t∈R, 当t>0时,令t=x2,因为f(x2)=-f(-x2), 所以f(t)=-f(-t),即f(-t)=-f(t); 当t=0时,令t=x2=0, 因为f(x2)=-f(-x2), 所以f(0)=-f(-0),即f(0)=0; 当t<0时,令t=-x2, 因为f(x2)=-f(-x2), 所以f(-t)=-f(t). 综上,∀t∈R,f(-t)=-f(t), 所以f(x)是奇函数,故A正确; 对于B,在2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0,得2[f(0)]2=2f(0), 因为f(0)≠0,所以f(0)=1,显然不符合f(-x)=-f(x),故B错误; 对于C,令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0), 所以f(0)=0, 令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x), 即f(x)为奇函数,故C错误; 对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令x=y=0得f(0)=0; 令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0; 令x=y=-1得f(1)=-f(-1)-f(-1),所以f(-1)=0; 令y=-1得f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故D正确. [例3]-10　解析:设g(x)=f(x)+5=x+ln(-x),则g(x)的定义域为[-2 026,2 026], 则g(x)+g(-x)=x+ln(-x)-x+ln(+x)=ln[(-x)(+x)]=ln 1=0, ∴g(-x)=-g(x),即g(x)是奇函数, 因此g(x)min+g(x)max=0. 又g(x)min=f(x)min+5=m+5, g(x)max=f(x)max+5=M+5, ∴g(x)min+g(x)max=m+5+M+5=0, 即M+m=-10. [例4](1)B　(2)1 解析:(1)当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0), 则f(-x)=(-x)2-+1=x2-+1, 又f(x)为偶函数,故f(-x)=f(x), 故f(x)=x2-+1. (2)设f(x)=(2x-m·)x5, 则该函数为R上的偶函数, 则对任意的x∈R,f(-x)=f(x), 即(-m·2x)·(-x)5=(2x-m·)·x5, 整理可得+2x-m(2x+)=(1-m)(2x+)=0, 所以1-m=0,解得m=1. [例5]∪ 解析:f(x)=ln(x2+1)-, 则f(x)的定义域为{x|x≠0}, 又f(x)=f(-x),故f(x)为偶函数, 当x>0时,f(x)=ln(x2+1)-, 又y1=ln(x2+1),y2=-在(0,+∞)上都单调递增,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减. 因为f(x)>f(2x+1),所以 故x的取值范围为∪. [对点训练1](1)B　(2)C 解析:(1)因为f(x)为偶函数, 则 f(1)=f(-1), 即(1+a)ln=(-1+a)ln 3,解得a=0. 当a=0时,f(x)=xln. 由(2x-1)(2x+1)>0,解得x>或x<-, 则其定义域为,关于原点对称. f(-x)=(-x)ln=(-x)ln =(-x)ln=xln=f(x), 此时f(x)为偶函数,符合题意. 故a=0. (2)函数f(x)为R上的奇函数, 当x<0时,f(x)=2x-, 则当x>0时,-x<0,有f(x)=-f(-x)=-=-,显然f(0)=0, 不等式f(x)<0转化为或 解得x<-3或0<x<3, 所以不等式f(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3). 【提能力·模拟精练】 1.C　2.C　3.A　4.D　5.C 学科网（北京）股份有限公司 $