第2章 第5讲 幂函数与二次函数-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦幂函数与二次函数高考核心考点，依据课标要求构建“定义-图象-性质-应用”知识体系，涵盖幂函数定义及五种常见函数图象性质，二次函数解析式、图象与性质等内容。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统掌握知识内在联系，突破单调性、最值等难点。 资料以数学眼光观察函数图象规律，以数学思维推理性质应用，创新设计“实例分析-策略总结-分层训练”教学活动，如通过幂函数参数判断单调性，二次函数区间最值分类讨论等实例，培养学生抽象能力与运算能力。精选近三年高考真题及分层练习，确保复习高效，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第5讲　幂函数与二次函数 [课标要求]1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等). 1.幂函数 (1)幂函数的定义:一般地,函数　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α 是常数.  (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数y=xα 的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点　　　　和　　　　,且在(0,+∞)上单调递增;  ③当α<0时,幂函数的图象都过点　　　　,且在(0,+∞)上单调递减.  ⦾幂函数的特征 (1)自变量x 处在幂底数的位置,幂指数α 为常数; (2)xα 的系数为1; (3)只有一项. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); 两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析 式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 R R 值域     单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减 对称性 函数的图象关于直线　对称  ⦾二次函数系数的特征 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,系数a 的正负决定函数图象的开口方向及开口大小; (2)-的值决定图象对称轴的位置; (3)c的取值决定图象与y 轴的交点; (4)b2-4ac的正负决定图象与x 轴的交点个数. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·天津)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2023·北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　) A.f(x)=-ln x B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1| 3.(2020·江苏)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f=,则f(-8)的值是　　　　.  幂函数的图象与性质 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)已知函数f(x)=则y=-f(x)的图象大致为 (　　) A B C D (2)已知幂函数f(x)=(m2+m-5)在区间(0,+∞)上单调递增,则f(3)= (　　) A.27 B.9 C. D. 利用幂函数性质的求解策略 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定幂函数的解析式. (2)判断幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性时,当α 是分数时,一般先将分数指数幂化为根式,再判断. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),则 (　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c (2)如图所示是函数y=(m,n∈N*且互质)与y=x的图象,则 (　　) A.m,n是奇数,且<1 B.m是偶数,n是奇数,且>1 C.m是偶数,n是奇数,且<1 D.m,n是偶数,且>1 二次函数的解析式 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求二次函数f(x)的解析式. 求二次函数解析式的策略 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练2】(1)已知函数y=f(x)的对应关系如表所示,二次函数g(x)的图象如图所示,则g(f(2))= (　　) x 0 1 2 f(x) -3 0 3 A.0 B.1 C.3 D.24 (2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,则二次函数的解析式为　.  二次函数的图象与性质 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　二次函数的图象 【例3】(多选)已知函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则 (　　) A.abc<0 B.b+c>0 C.2a+b+c>0 D.关于x的方程cx2+bx+a=0的解集为 识别二次函数图象应学会“三看” 角度2　二次函数的性质 【例4】设函数f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R. (1)若t=1,且对任意的x∈[0,a+2],都有f(x)≤5,求实数a的取值范围; (2)若对任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求实数t的取值范围. 二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴变动、区间固定;③对称轴固定、区间变动. (2)求解策略:抓住“三点一轴”进行数形结合,三点是指区间的两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可求解. 【对点训练3】(1)(2025· 八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) (2)已知函数f(x)=-x2+mx-m. ① 若函数f(x)的最大值为0,求实数m的值; ② 若函数f(x)在[-1,0]上单调,求实数m的取值范围. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=(x-6)f(x)在区间上的最大值是 (　　) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 2.若幂函数y=xa,y=xb,y=xc的部分图象如图所示,则点(ab-b,c2-c)所在象限是 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2025·黑龙江哈尔滨调研)函数f(x)=(m2-m-1)·是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足<0.若a,b∈R,且a<0<b,|a|<|b|,则f(a)+f(b)的值 (　　) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 4.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-0.5]=-1,[1.5]=1,已知函数f(x)=-3×2x+4(0<x<2),则函数y=[f(x)]的值域为 (　　) A. B.{-1,0,1} C.{-1,0,1,2} D.{0,1,2} 5.(2025·河北联合调研)高斯函数也称取整函数,记作[x],是指不超过实数x的最大整数,例如:[6.8]=6,[-4.1]=-5,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数f(x)=log2(-x2+x+2),则当x∈[0,1]时,[f(x)]的值域为 (　　) A. B. C.{1} D.{2} 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲　幂函数与二次函数 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.(1)y=xα　(3)②(1,1);(0,0)　③(1,1) 2.(2);;x=- 高考溯源 1.C　2.C　3.-4 【精准练·题型剖析】 [例1](1)C　(2)A 解析:(1)结合题意,当x<0 时,易知f(x)=x-2=为幂函数,在(-∞,0)上单调递增且f(x)>0 恒成立;当x≥0 时,易知f(x)==为幂函数,在[0,+∞)上单调递增,且f(0)=0,f(x)在(0,+∞)上恒大于0.故函数f(x)的图象如图所示.只需将y=f(x)的图象沿x 轴对称即可得到y=-f(x)的图象. (2)由题意得,m2+m-5=1,即m2+m-6=0,解得m=2 或m=-3.当m=2 时,可得函数f(x)=x3,此时函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意;当m=-3 时,可得f(x)=x-2,此时函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意.即幂函数f(x)=x3,则f(3)=27. [对点训练1](1)B　(2)C 解析:(1)因为f(x)=mxn 为幂函数,故m=1.因为函数f(x)=mxn 的图象过点(,2),所以()n=2,解得n=3.故函数f(x)=x3,且函数为增函数.因为n>m>ln 2,故c<a<b. (2)函数y==的图象关于y 轴对称,故m 为偶数,n为奇数.当x∈(0,1)时,y=的图象在y=x 的图象的上方,当x∈(1,+∞)时,y=的图象在y=x 的图象的下方,故<1. [例2]解析:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. [对点训练2](1)A (2)y=x2+x-或y=-x2-x+ 解析:(1)根据题中二次函数图象,可设二次函数g(x)=a(x-2)2-1(a>0),因为图象经过点(0,3),所以代入得3=a(0-2)2-1,解得a=1,所以g(x)=(x-2)2-1,所以g(f(2))=g(3)=(3-2)2-1=0. (2)因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),整理得y=ax2+2ax-3a,顶点的纵坐标为=-4a,由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离为2,所以|-4a|=2,即a=±,所以二次函数的解析式为y=x2+x-或y=-x2-x+. [例3]BD　解析:由题图知,当x=0 时,y=c>0,图象开口向下,则a<0,-3+1=-<0,即>0,则b<0,所以abc>0,故A错误;当x=1 时,a+b+c=0且a<0,所以b+c>0,故B正确;因为2a+b+c=a+a+b+c=a<0,故C错误;由cx2+bx+a=0 可得a+b·+c=0,因为-3,1是方程ax2+bx+c=0 的两根,所以-,1是方程a+b·+c=0 的两根,所以关于x 的方程cx2+bx+a=0 的解集为,故D正确. [例4]解析:(1)因为f(x)=x2-2tx+2=(x-t)2+2-t2,所以f(x)在区间(-∞,t] 上单调递减,在区间[t,+∞)上单调递增.若t=1,则f(x)=(x-1)2+1,f(x)在区间(-∞,1] 上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.“对任意的x∈[0,a+2],都有f(x)≤5”等价于“在区间[0,a+2] 上,f(x)max≤5”. 令f(x)=5,得x=-1 或x=3,结合二次函数图象性质得0<a+2≤3,即-2<a≤1,所以实数a 的取值范围为(-2,1]. (2)设函数f(x)在区间[0,4] 上的最大值为M,最小值为m, 所以“对任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x)1-f(x2)|≤8”等价于“M-m≤8”. ①当t≤0 时,M=f(4)=18-8t,m=f(0)=2,由M-m=18-8t-2≤8,得t≥1,又t≤0,无解. ②当0<t≤2 时,M=f(4)=18-8t,m=f(t)=2-t2,由M-m=18-8t-(2-t2)=t2-8t+16=(t-4)2≤8,得4-2≤t≤4+2,因此4-2≤t≤2; ③当2<t≤4 时,M=f(0)=2,m=f(t)=2-t2,由M-m=2-(2-t2)=t2≤8, 得-2≤t≤2,因此2<t≤2; ④当t>4 时,M=f(0)=2,m=f(4)=18-8t,由M-m=2-(18-8t)=8t-16≤8,得t≤3,无解. 综上所述,实数t 的取值范围为[4-2,2]. [对点训练3](1)B　(2)见解析 解析:(1)f(x)=当x<a 时,-x2+ax-2a2<0,所以2≥a.当x≥a 时,f(x)=x2-ax-2a2=-a2>0在(2,+∞)上恒成立.因为y=x2-ax-2a2 图象的对称轴方程为x=,<2,图象开口向上,所以只需f(2)=4-2a-2a2≥0,即a2+a-2≤0,解得-2≤a≤1. (2)① f(x)=-x2+mx-m=--m+,由二次函数的性质得,f(x)的最大值为-m+,因为函数f(x)的最大值为0,所以-m+=0,即m2-4m=0,解得m=0 或m=4. ② f(x)=-x2+mx-m=--m+,所以函数f(x)图象的对称轴是直线x=, 要使函数f(x)在[-1,0] 上单调,只需要≥0 或≤-1,解得m≥0 或m≤-2. 所以实数m 的取值范围为(-∞,-2]∪[0,+∞). 【提能力·模拟精练】 1.D　2.C　3.B　4.B　5.C 学科网（北京）股份有限公司 $