第2章 第2讲 函数的单调性与最值-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的单调性与最值核心考点，依据课标要求构建从定义（增/减函数、单调区间、最值概念）到判断方法（定义法、性质法、复合函数法等）再到应用（比较大小、解不等式、求参数）的知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题精讲及分层练习，帮助学生系统突破难点。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如通过定义法证明单调性的“取值—作差—变形—定号—结论”步骤强化逻辑推理，结合2024新课标Ⅰ卷分段函数单调性真题训练运算能力，设置基础选择、多选及解答题分层练习，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第2讲　函数的单调性与最值 [课标要求]1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值. 3.能够利用函数的单调性解决有关问题. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果∀x1,x2∈D 当x1<x2时,都有　　　　,那么就称函数f(x)在区间D上单调递增  当x1<x2时,都有　　　　,那么就称函数f(x)在区间D上单调递减  图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上　　　　或　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.  2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I,都有　　　　;  (2)∃x0∈I,使得　　　  (1)∀x∈I,都有　　　　;  (2)∃x0∈I,使得　　　  结论 M为最大值 M为最小值 判断函数单调性的主要方法(结论) 1.定义法:∀x1,x2∈D且x1≠x2,有>0(<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减). 2.性质法:①在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数. ②函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. ③奇(偶)函数在对称区间上的单调性相同(相反). 3.复合函数的单调性:函数y=f(u),u=φ(x)在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))单调递减. 4.导数法 5.图象法 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 2.(2023·北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　) A.f(x)=-ln x B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1| 3.(2023·全国甲卷)已知函数f=.记a=f,b=f,c=f,则 (　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 4.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f=在区间上单调递减,则a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 5.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为 (　　) A.f=-x B.f= C.f=x2 D.f= 函数的单调性 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数f(x)=的单调递增区间为 (　　) A. B.(-∞,-1] C. D. 2.(多选)下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0(x1≠x2)”的是 (　　) A.f(x)=- B.f(x)=-3x+1 C.f(x)=x2+4x+3 D.f(x)=x-1 3.函数y=|-x2+4x+5|的单调递减区间是　　　　.  4.已知函数y=x++2(m∈R).若函数在区间[2,+∞)上单调递增,利用函数单调性的定义,求实数m的取值范围. (1)求函数单调区间的方法 ①基本初等函数法:根据常用基本初等函数的单调性确定单调区间. ②图象法:作出函数图象,由图象的升降情况确定单调区间,注意不连续的单调区间不能用“∪”连接,只能用“和”“及”或“,”连接. ③复合函数法:根据“同增异减”确定函数的单调区间. (2)利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 函数的最值(值域) 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)函数f(x)=的值域为　　　　.  (2)已知函数f(x)=-2x2+1,g(x)=-x,x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为M(x)=min{f(x),g(x)},则M(x)的最大值为　　　　.  求函数最值的三种常用方法 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值为 (　　) A.3 B. C.2 D. (2)若函数f(x)=x(|x|-2)在[m,n]上的最小值为-1,最大值为1,则n-m的最大值为　　　　.  函数单调性的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　比较函数值的大小 【例2】(2025·广东湛江模拟)已知函数f(x)在[3,+∞)上单调递减,且f(x)的图象关于直线x=3对称,则a=f(0.2),b=f(4),c=f(0)的大小关系是 (　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 比较函数值的大小的方法 利用函数的单调性比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用函数的性质,将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较,或采用中间量法比较大小. 角度2　解不等式 【例3】(1)已知函数y=f(x)在定义域(-1,3)上是增函数,则不等式f(2x-1)<f(2-x)的解集是 (　　) A.(1,2) B.(-∞,1) C.(0,1) D.(1,+∞) (2)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足>0,且f=2,则不等式f(x)-4x>0的解集为　.  利用函数单调性解不等式的具体步骤 (1)将函数不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式; (2)确定函数f(x)的单调性; (3)根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的不等式,从而求解. 角度3　求参数的值(范围) 【例4】(2024· 新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 细研真题 本题以分段函数的单调性为素材,考查利用函数单调性求参数,提升学生的逻辑推理能力、运算求解能力,可突出数学教学本质,夯实学生学习基础,此类题目,可变为已知分段函数及其性质,求参数. 真题变式　已知函数f(x)= 在R上存在最大值,则a的取值范围为　　　　.  利用函数的单调性求参数的思路 (1)根据函数单调性直接构建参数满足的方程式(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降,再结合图象求解. (2)对于分段函数,要注意各段的单调性以及衔接点的取值. 【对点训练2】(1)已知函数y=f(x)在R上是增函数,且a+b>0,则 (　　) A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b) D.f(a)+f(b)<f(-a)-f(-b) (2)已知函数f(x)=满足对任意的实数x1,x2且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,则实数a的取值范围是　　　　.  (3)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(2)=1.则不等式f(x-2)+f(x)<3的解集为　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知函数f(x)=-x2+ax+1在(2,6)上不单调,则a的取值范围是 (　　) A.(2,6) B.(-∞,2]∪[6,+∞) C.(4,12) D.(-∞,4]∪[12,+∞) 2.若函数f(x)=(m-1)x+1在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是 (　　) A.f(m)<f(1) B.f(m)>f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1) 3.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=3f(|x|)+x2-2x,则f(x)的单调递增区间为 (　　) A.(-∞,-10]和[0,1] B.(-∞,-5]和[0,1] C.[-10,0]和[1,+∞) D.[-5,0]和[1,+∞) 4.已知函数f(x)=(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,则实数t的取值范围是 (　　) A.{1} B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 5.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是 (　　) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2] 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　函数的单调性与最值 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.(1)f(x1)<f(x2);f(x1)>f(x2) (2)单调递增;单调递减 2.f(x)≤M;f(x0)=M;f(x)≥M;f(x0)=M 高考溯源 1.B　2.C　3.A　4.D　5.D 【精准练·题型剖析】 1.C　解析:由题意可得2x2-x-3≥0, 即(2x-3)(x+1)≥0,解得x≤-1 或x≥. 令t=2x2-x-3,则y=,所以t=2x2-x-3 在(-∞,-1] 上单调递减,在上单调递增, 因为y=为增函数, 所以f(x)=在(-∞,-1] 上单调递减,在上单调递增. 2.ACD　解析:由题意得,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.对于A,根据反比例函数性质可知,f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,A符合题意;对于B,根据一次函数的性质可知,f(x)=-3x+1在(0,+∞)上单调递减,B不符合题意;对于C,根据二次函数的性质可知,f(x)=x2+4x+3在(0,+∞)上单调递增,C符合题意;对于D,根据一次函数的性质可知,f(x)=x-1在(0,+∞)上单调递增,D符合题意. 3.(-∞,-1],[2,5]　解析:y=|-x2+4x+5|= 画出函数图象如图所示. 所以函数的单调递减区间是(-∞,-1],[2,5]. 4.解析:任取x1,x2∈[2,+∞)且x1<x2, 设f(x)=x++2, 则f(x2)-f(x1)=-=(x2-x1)·>0, 因为x2-x1>0,x1x2>0,所以x1x2-m>0,即m<x1x2. 因为x2>x1≥2,所以x1x2>4,所以m≤4,即实数m 的取值范围为(-∞,4]. [例1](1)(-∞,2]　(2) 解析:(1)作出函数f(x)=的图象(如图所示),f(x)max=f(0)=2.由函数图象可知,f(x)的值域为(-∞,2]. (2)令-2x2+1>-x,即2x2-x-1<0,解得-<x<1,所以M(x)=作出函数图象如图所示,由图象易得函数M(x)的最大值为. [对点训练1](1)A　(2)2+2 解析:(1)因为f(x)===1+,所以f(x)=在区间[2,6] 上单调递减,所以f(x)在[2,6] 上的最大值为f(2)=3. (2)由题知,当x≥0 时,f(x)=x2-2x;当x<0 时,f(x)=-x2-2x.作出y=f(x)的图象,如图所示,当x≥0 时,令x2-2x=1,解得x=1+;当x<0 时,令-x2-2x=-1,解得x=-1-,所以n-m 的最大值为1+-(-1-)=2+2. [例2]D　解析:因为函数f(x)在[3,+∞)上单调递减,且f(x)的图象关于直线x=3 对称,所以函数f(x)在(-∞,3] 上单调递增,b=f(4)=f(2), 因为0<0.2<2,所以f(0)<f(0.2)<f(2),即c<a<b,即b>a>c. [例3](1)C　(2) 解析:(1)因为函数y=f(x)在定义域(-1,3)上是增函数,则即解得0<x<1,所以不等式f(2x-1)<f(2-x)的解集是(0,1). (2)设x1,x2∈(0,+∞),则x1x2>0,所以=>0,即>0,设g(x)=,x∈(0,+∞),有>0,则任意0<x1<x2,都有g(x1)<g(x2),所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,g===4,则当x∈(0,+∞)时,由f(x)-4x>0,得>4,即g(x)>g,解得x>,故原不等式的解集为. [例4]B　解析:因为函数f(x)在R上单调递增,且当x<0 时,f(x)=-x2-2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a 在(-∞,0)上单调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0 时,f(x)=ex+ln(x+1)为增函数.若函数f(x)在R上单调递增,则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上,实数a 的取值范围是[-1,0]. [真题变式](-∞,-1]∪ 解析:当x≤0 时,f(x)=-(x+a)2+a2-a. 当x>0 时,f(x)是减函数,令g(x)=e-x-ln(x+1),x>0,所以g(x)<g(0)=1, 即f(x)<1. 若-a≥0,即a≤0 时,要使f(x)存在最大值,则-a≥1,即a≤-1. 若-a<0,即a>0 时,a2-a≥1,所以a≥. 所以a 的取值范围为(-∞,-1]∪. [对点训练2](1)A　(2)　(3)(-∞,4) 解析:(1)因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,又因为y=f(x)在R上是增函数,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-b)+f(-a). (2)对任意的实数x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,即当x1<x2 时,f(x1)>f(x2),故f(x)是R上的减函数,可得解得a∈. (3)因为f(2)=1,所以f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=1+1=2,又因为f(6)=f(4+2)=f(4)+f(2)=2+1=3,即由f(x-2)+f(x)<3,得f(x-2)+f(x)<f(6),即f(x-2+x)<f(6)⇔f(2x-2)<f(6),又因为f(x)在R上为增函数,所以2x-2<6,解得x<4,故不等式f(x-2)+f(x)<3 的解集为(-∞,4). 【提能力·模拟精练】 1.C　2.B　3.B　4.D　5.D　 学科网（北京）股份有限公司 $