第1章 第5讲 一元二次方程、不等式-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦一元二次方程与不等式高考核心考点，依据课标要求构建“概念-解法-应用”体系，以二次函数与方程、不等式的关系为核心，通过表格梳理Δ不同情况的解集对应，延伸至分式、绝对值不等式转化及恒成立问题，结合考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生系统突破难点。 资料采用“问题驱动-分类讨论-模型建构”教学策略，如含参数不等式解法通过分类参数a的取值培养数学思维，恒成立问题结合函数图象发展数学眼光，设置分层练习与即时反馈，助力学生规范解题步骤，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第5讲　一元二次方程、不等式 [课标要求]1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 类别 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1< 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集       ax2+bx+c<0(a>0)的解集       ⦾提醒　对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记a=0 时的情形. 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0); (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),|x|<a(a>0)的解集为(-a,a). 4.恒(能)成立的转化 已知m为常数,函数f,g,则有下表.“> ”“< ”或函数值域为开区间时,注意端点值的取舍,其他类似可得. 类型 等价条件 单变量 ①∀x∈D,m≤f m≤f ②∃x∈D,m≤f m≤f ③∀x∈D,m≥f m≥f ④∃x∈D,m≥f m≥f 双变量 ⑤∀x1∈D,∀x2∈I,f≤g f≤g ⑥∃x1∈D,∃x2∈I,f≤g f≤g ⑦∀x1∈D,∃x2∈I,f≤g f≤g ⑧∀x1∈D,∃x2∈I,f=g {f|x∈D}⊆{g|x∈I} 对于二次函数f=ax2+bx+c (1)越大,抛物线开口越小;越小,抛物线开口越大. (2)f=a+b+c,f=a-b+c,f=c. (3)===,其中A,B为二次函数图象与x轴的交点. (4)若对f定义域内任意两个不等的自变量x1,x2,有f=f,则y=f的图象关于直线x=对称. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M=,N=,则M∩N= (　　) A. B. C. D. 2.(2020·山东)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是 (　　) A. B.∪ C. D.∪ 3.(2023·全国乙卷)设a∈,若函数f=ax+在上单调递增,则a的取值范围是　　　　.  4.(2025·天津)若a,b∈R,对∀x∈[-2,2],均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,则2a+b的最小值为　　　　.  不含参数不等式的解法 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)不等式-x2+3x+10>0的解集为 (　　) A.(-2,5) B.(-∞,-2)∪(5,+∞) C.(-5,2) D.(-∞,-5)∪(2,+∞) (2)不等式>2的解集为　　　　.  解不含参数的一元二次不等式的步骤 【对点训练1】(1)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x<4},集合B={x||x|≥2},则(∁UB)∪A= (　　) A.(-2,4) B.(-4,2) C.(-2,2) D.(-4,4) (2)不等式-1<x2+2x-1≤2的解集为　　　　.  三个“二次”的关系 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为∪,则(　　) A.a<0 B.不等式bx-c>0的解集为{x|x<6} C.4a+2b+c>0 D.不等式cx2-bx+a≥0的解集为 “三个二次”之间的关系及其应用 (1)一元二次方程的根就是对应二次函数的零点,也就是对应一元二次不等式解集的端点值. (2)对于不等式ax2+bx+c>0,若其解集为(-∞,m)∪(n,+∞),则a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m,n,且m<n;若其解集为(m,n),则a<0且方程ax2+bx+c=0的两根为m,n,且m<n. 【对点训练2】已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<-2},则不等式bx2-5x+a>0的解集为 (　　) A. B. C.{x|-3<x<2} D.{x|x<-3,或x>2} 含参数不等式的解法 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】解关于x的不等式:ax2-(a+2)x+2<0(a∈R). 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项含有参数应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一元一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式; (2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ 与0的关系; (3)确定方程无根时,可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集. 【对点训练3】解关于x的不等式:x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R). 一元二次不等式恒成立问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】设函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若对一切实数x,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围; (2)若对一切x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数m的取值范围. 恒成立问题求参数范围的解题策略 (1)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ;一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ ,一般分离参数求最值或分类讨论. (2)弄清楚自变量、参数,一般情况下,已知参数范围求函数自变量的范围常常需更换主元:把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解. 【对点训练4】(1)当1≤x≤2时,不等式x2-ax+1≤0恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.a≤2 B.a≥2 C.a≤ D.a≥ (2)对任意a∈[-1,1],函数f=x2+x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是 (　　) A. B.∪ C. D.∪ 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.“a>b”是“关于x的不等式x2-x+ab<0有解”的 (　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为,+<2,则b的取值范围是 (　　) A. B.∪ C.∪ D. 3.命题“∀x∈,x2+1-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 (　　) A.a>5 B.a≥5 C.a≥3 D.a≥2 4.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为,则 (　　) A.a<0 B.a+b+c<0 C.不等式cx2-bx+a<0的解集为 D.+的最小值为6 5.设函数f(x)=x2-(k2-5ak+3)x+7,已知对任意k∈,若x1,x2满足x1∈,x2∈,则f(x1)≥f(x2),则正实数a的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲　一元二次方程、不等式 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.{x|x<x1,或x>x2};;R;{x|x1<x<x2};⌀;⌀ 高考溯源 1.C　2.A　3.　4.-4　 【精准练·题型剖析】 [例1](1)A　(2)(1,4) 解析:(1)由-x2+3x+10>0,得x2-3x-10<0,得(x-5)(x+2)<0,解得-2<x<5. (2)原不等式可化为-2>0, 即>0,即>0, 即(x-1)(x-4)<0,解得1<x<4, 所以原不等式的解集为(1,4). [对点训练1](1)A　(2){x|-3≤x<-2,或0<x≤1} 解析:(1)由x2-3x<4,即(x+1)(x-4)<0,解得-1<x<4,所以A={x|-1<x<4},由|x|≥2,解得x≤-2 或x≥2, 所以B={x|x≤-2,或x≥2}, 所以∁UB={x|-2<x<2}, 所以(∁UB)∪A={x|-2<x<4}. (2)原不等式等价于 即 由①得x<-2 或x>0;由②得-3≤x≤1.画出数轴,如图, 可得原不等式的解集为{x|-3≤x<-2,或0<x≤1}. [例2]BD　解析:因为ax2+bx+c>0 的解集为∪,所以解得A错误; 对于B,将代入原不等式中,得-ax+6a>0,解得x<6,B正确; 对于C,因为不等式ax2+bx+c>0 的解集为∪,所以当x=2 时,4a+2b+c<0,C错误; 对于D,将代入原不等式中,得-6ax2+ax+a≥0,即6x2-x-1≤0,解得-≤x≤,D正确.故选BD. [对点训练2]A 解析:由题意,得解得所以不等式bx2-5x+a>0 为-6x2-5x-1>0,即<0,解集为.故选A. [例3]解析:若a=0,原不等式可化为-2x+2<0,解得x>1,所以不等式的解集为{x|x>1}; 若a≠0,则不等式可化为(ax-2)(x-1)<0, 当(ax-2)(x-1)=0 时,x1=,x2=1, ①若a>0,则当>1,即0<a<2 时,原不等式的解集为; 当=1,即a=2 时,原不等式的解集为⌀; 当<1,即a>2 时,原不等式的解集为; ②若a<0,则<1, 且不等式变化为(-ax+2)(x-1)>0, 解得x>1 或x<, 原不等式的解集为. 综上所述,当a<0 时,不等式的解集为; 当a=0 时,不等式的解集为{x|x>1}; 当0<a<2 时,不等式的解集为; 当a=2 时,不等式的解集为⌀; 当a>2 时,不等式的解集为. [对点训练3]解析:将不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R)变形为(x-a)(x-a2)>0. 当(x-a)(x-a2)=0 时,x1=a,x2=a2. 当a<0 时,a<a2,所以原不等式的解集为{x|x<a,或x>a2}; 当a=0 时,a=a2=0,所以原不等式的解集为{x|x≠0}; 当0<a<1 时,a>a2,所以原不等式的解集为{x|x<a2,或x>a}; 当a=1 时,a=a2=1,所以原不等式的解集为{x|x≠1}; 当a>1 时,a<a2,所以原不等式的解集为{x|x<a,或x>a2}. 综上所述,当a<0 或a>1 时,原不等式的解集为{x|x<a,或x>a2}; 当a=0 时,原不等式的解集为{x|x≠0}; 当0<a<1 时,原不等式的解集为{x|x<a2,或x>a}; 当a=1 时,原不等式的解集为{x|x≠1}. [例4]解析:(1)由已知得,mx2-mx-1<0对一切实数x 恒成立, 当m=0 时,-1<0恒成立,符合题意; 当m≠0 时,只需 解得-4<m<0.综上所述,-4<m≤0, 即实数m 的取值范围是(-4,0]. (2)由已知得,mx2-mx-1<-m+5对一切x∈[1,3] 恒成立,即m(x2-x+1)<6 对一切x∈[1,3] 恒成立, 因为x2-x+1=+>0, 所以m<对一切x∈[1,3] 恒成立, 令g(x)=x2-x+1(x∈[1,3]), 则只需m< 即可, 而g(x)在[1,3] 上单调递增, 所以g(x)∈[1,7],所以∈, 所以m<, 所以实数m 的取值范围是. [对点训练4](1)D　(1)B 解析:(1)由题意得,当1≤x≤2 时,a≥恒成立,则a≥,由于=x+,而y=x+在[1,2] 上单调递增,故当x=2 时,x+取得最大值,故a≥. (2)设g=a+. 由g>0 在a∈[-1,1] 上恒成立, 得解得 所以x<1 或x>3. 所以x 的取值范围是∪.故选B. 【提能力·模拟精练】 1.C　2.B　3.A　4.ACD　5. 学科网（北京）股份有限公司 $