第2章 章末检测-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数核心概念，通过奇偶性、单调性等基础题巩固知识，结合冷却问题、血药浓度等实际情境及中心对称函数新定义，培养抽象能力与模型意识，适配一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数奇偶性（1）、单调性（4）、图象识别（2）|基础概念辨析，梯度合理| |多选题|3/15|函数性质综合（9）、奇偶性与解析式（10）|多维度考查，提升思维严谨性| |填空题|3/15|定义域（12）、黎曼函数应用（14）|融入数学文化，强化细节| |解答题|5/80|函数解析式与零点（15）、实际应用（17）、新定义（18、19）|血药浓度问题体现模型意识，中心对称函数培养创新思维|

第二章 章末检测 1.B　解析:由题意,当x>0时,f=x2+2x,则f=3,又函数f是定义在R上的奇函数,所以f=-f=-3. 2.D　解析:由图象可知函数为奇函数,而选项B的函数很显然是偶函数,所以B错误; 而选项A中,f=≠-f,所以A错误; 由图象可知该函数的定义域为R,而选项C中x≠-1,所以C错误;故选D. 3.D　解析:已知f是定义在R上的偶函数,则f=f,又对任意x1,x2∈,且x1≠x2,都有<0, 所以函数在上单调递减,则由偶函数性质可知函数f在上单调递增, 又f=0,所以f=f=0, 根据函数f的单调性可知f>0等价为 或即或 解得x>2或-2<x<1, 即不等式的解集为∪. 故选D. 4.B　解析:∵函数f在R上单调递减, 当x≤1时,f=x2-ax+5单调递减, ∴≥1,解得a≥2; 当x>1时,f=单调递减, ∴a>0. 又函数f在R上单调递减, ∴1-a+5≥a,解得a≤3, 综上所述,实数a的取值范围是[2,3].故选B. 5.C　解析:对于75 ℃物体冷却的情况,代入公式θ=θ0+e-kt,得50=25+e-2k,即25=50e-2k,化简得e-2k=. 取自然对数得-2k=-ln 2,解得k=. 对于68 ℃物体冷却的情况,代入公式得 32=20+, 即12=48,化简得=. 取自然对数得-·t=-2ln 2,解得t=4.故选C. 6.C　解析:令u=x2-ax,y=log2u, 因为函数f=log2在区间上单调递增, 外层函数y=log2u在上为增函数,所以内层函数u=x2-ax在上为增函数, 所以≤1,解得a≤2, 又对任意的x∈,x2-ax>0恒成立,可得a<x, 故a<1, 综上所述,a<1.故选C. 7.D　解析:因为f=+3x-3-x=5-+3x-3-x,其定义域为, 令h=-+3x-3-x, 则h=-+3-x-3x=-=-h, 所以函数h=-+3x-3-x为奇函数,图象关于原点对称,故f的图象关于对称,因为g+g=10,则g的图象也关于对称, 所以f与g图象的交点也关于点对称, 若函数y=f与y=g的图象有四个交点,分别为,,,, 不妨设x1<x2<x3<x4,则==0,==5, 则x1+x4=x2+x3=0,y1+y4=y2+y3=10, 则所有交点的横、纵坐标之和为x1+x2+x3+x4+=0+10+10=20.故选D. 8.C　解析:令f=t,有1-m2+2mt=t2,即=0, 解得t1=m-1或t2=m+1, 作出f的图象,如图所示, ∵方程1-m2+2mf(x)=有且仅有5个不同实数根, ∴由图得或 解得或 则1<m<2.故选C. 9.ABC　解析:由x2-9≠0,解得x≠±3,所以f的定义域是. f===f,所以函数f是偶函数,其图象关于y轴对称,A选项正确. 当x>3时,f==, 所以函数f在上单调递减,B选项正确. 当-3<x<0时,f==-, 所以函数f在上单调递增, f==-. 当0<x<3时,f== 所以函数f在上单调递减, 所以当x∈时, 函数f有最大值f=-,C选项正确. 由上述分析可知,当x>3或0<x<3时,f=≠0, 而函数f是偶函数,所以当x<-3或-3<x<0时,f≠0也成立, 所以f的值域不是R,D选项错误.故选ABC. 10.BCD　解析:函数f,g分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且满足f+g=ex可得f+g=e-x,即f-g=e-x,与f+g=ex联立, 可得f(x)=,g(x)=,f=, 2fg=2××=,所以f≠2fg,A选项错误; -=-==-1,故B选项正确; 函数g(x)=是定义在R上的奇函数,且在R上单调递增, 若g+g>0,则g>-g=g,有t-2>-2t,所以t>,C选项正确. 令f(x)==m,设ex=t,t∈,e-x=,y=≥1,当且仅当t=1即x=0时,取最小值为1, 所以方程f=m有两个不相等的实数根,则m>1,D选项正确.故选BCD. 11.BCD　解析:由f-g=5,用x+4代入x,得f-g=5, 又f+g=3,两式相加得f+f=8, 由f是偶函数,得f=f,代入上式,得f+f=8, 可得f+f=8,所以f=f,即f=f, 因为f=f,则f=f, 所以f=f,所以f为偶函数,A选项错误; 由f-g=5,得f-g=5, 又f+g=3, 两式相减得g+g=-2, 所以g+g=-2,因此g=g,即4是g的一个周期,B选项正确; 由f+g=3,可得g=1,所以g=g=1, 由f-g=5可得g=-3,所以g=g=-3, 由f+g=3,f-g=5,可得g=g=-1, 由f+g=3,f-g=5,可得g=-1. 所以g=6×+=-28,C选项正确; 由上面推导可知f=f, 因为奇数的平方可表示为=4k2-4k+1,k∈Z,所以奇数的平方除以4的余数为1, 同理可得,偶数的平方除以4的余数为0, 所以f=f=f=4,故D选项正确. 故选BCD. 12.　解析:由题意得解得≤x<1, 则其定义域为.故答案为:. 13.　解析:由题意,函数g=在上为减函数,可得≤g≤1, 即函数g的值域为集合B=, 又由函数f=ax+2(a>0)在区间 上单调递增,可得-a+2≤f≤2a+2, 即函数f的值域构成集合A=[-a+2,2a+2], 又∃x1∈,∀x2∈,使f=g成立,即 B⊆A, 则满足解得 a≥, 即实数a的取值范围是.故答案为:. 14.-　解析:由f+f=0可得f+f=0,可知f的图象关于点对称, 由f为偶函数,可得f=f,可知f的图象关于直线x=2对称, 由⇒f=-f⇒f=-f=f, 所以4为函数f的一个周期.注意到f+f=0,f+f=0, 则f+f=0,f+f=0,f+f=0,f+f=0,f+f=0,f+f=0,f=f=f=f=f=0,从而f+f+…+f+f=0. 注意到2 025=16×126+9,则f=f+f+…+f=f=f=-f=-.故答案为:-. 15.解　(1)函数f的图象,如图所示. 由图象可得,函数f的单调递减区间为(-∞,-1],[0,1]. (2)设x>0,则-x<0, 因为函数f是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f=x2+2x,可得f=f=(-x)2+2(-x)=x2-2x, 所以函数f的解析式为f= (3)关于x的方程y=f-k有且仅有4个不同的零点,即方程f-k=0有且仅有4个不同的实数根, 即函数y=f与y=k的图象有4个不同的交点, 结合图象知,当k∈(-1,0)时,此时函数y=f与y=k的图象有4个不同的交点, 所以实数k的取值范围为(-1,0). 16.解　(1)因为f=是定义在R上的奇函数, 所以f==0, 解得a=-1,f==1-, 任取x1,x2∈R且x1<x2, 则f-f=1--=-=, 因为x1<x2,所以-<0且+1>0,+1>0, 所以f-f<0,即f<f, 所以函数f在R上是增函数; (2)因为不等式f+f<0恒成立,f为奇函数, 所以f<-f=f恒成立, 由函数f在R上是增函数,所以t2-2t<1-2t2, 即3t2-2t-1<0⇒<0⇒-<t<1, 所以实数t的取值范围为; (3)当x≠0时,函数g满足f·=2x-2-x, 将f=代入,得g=2x+2-x, 又不等式g≥m·g-10恒成立, 即-2≥m·-10恒成立, 即m≤+恒成立, 设t=2x+2-x,则t>2,即m≤t+,t>2恒成立, 由均值不等式可得:当t=2时,t+取最小值4, 故m≤4,即实数m的最大值为4. 17.解　(1)选择③,理由如下: 对于①,y=ax2-6ax在x=6时,函数值为y=0,与表格中数据(6,6)不符,故不符合. 对于②, y=klog2x+b(k<0)在定义域内单调递减,不符合表中数据递增,故不符合. 对于③,代入和,得 解得 所以y=-2,代入第一个点,第二个点刚好符合. 故选③. (2)当6<x≤18时,代入,两点, 解得所以y= 所以注射1 mL该药品,其浓度为y= 当0≤x≤6时,2≤-2,解得4≤x≤6; 当6<x≤18时,2≤9-,解得6<x≤14. 所以一次注射1 mL该药品,则药物有效时间可达14-4=10小时. (3)①设从第一次注射起,经x(10≤x≤16)小时后, 其浓度g(x)=9-+a =+-2a, 因为+-2a≥2-2a=4-2a, 当=,即x=18-4时,等号成立. 所以 因为2a-4+2≤0⇒≤2, 解得a≥3-2. ②设从第一次注射起,经x(16≤x≤18)小时后, 其浓度g(x)=9-+a=-·x+14a+9,为减函数. 所以g(x)的最小值为g(18)=5a≥2,a≥0.4. 因为0.4≥3-2,所以a≥0.4, 答:要使随后的8小时内药品能够持续有效治疗,a的最小值为0.4. 18.解　(1)由在R上的函数f的图象关于点中心对称,且f+f=2, 则f+f=2,f+f=2,∴f=1, ∵f=4,∴f=2-f=2-4=-2, ∴f=-2,f=1. (2)若g=-x2为中心对称函数, 则在定义域内有g+g=2n恒成立. g+g =-+- =+2mx2-2m2-2x2, 根据中心对称函数的定义有+2mx2-2m2-2x2=2n,整理得:x2+=0, 为了使等式对所有x成立,系数必须分别等于零: 解得 ∴g=-x2是中心对称图形,且对称中心是. (3)由(2)知,g+g=-;g=-, ∴S=g+g+…+g+g+g+g+g+…+g+g =[g+g]+[g+g]+…+[g+g]+[g+g]+g =·g=·=-. 经检验,当k=1时,满足上式;当k=2时,满足上式,所以S=-. 19.解:(1)当x≥0时,-x2+1-=x4-x2+1=+>0,即g≥f, 当x<0时,令≥-x2+1,可得x+1≤-x3+x,即x3≤-1,解得x≤-1,所以当x≤-1时,f≥g; 当-1<x<0时,g≥f, 所以h=max= 当x≤-1时,h==1+,可得h在单调递减; 当x>-1时,函数h=-x2+1,可得函数h在上单调递减,在上单调递增, 综上可得:函数h的单调递减区间为和,单调递增区间为. (2)(i)当x≤-1时,令=ax+1,可得x2=; 当x>-1时,令-x2+1=ax+1,可得x2+ax=0,解得x=0或x=-a, 因为关于x的方程h=ax+1有三个不同的实根,则满足解得0<a<1, 所以a的取值范围为(0,1). (ii)由(i)可知x1=-,x2=-a,x3=0, 令M=max, 所以M≥+b=+b,M≥-b=4a-b, 可得2M≥+b+-b=+4a≥2=4, 当且仅当a=∈时,等号成立,所以max的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 章末检测 (考试时间:120分钟　总分:150分) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 一、单选题 1.已知函数 f是定义在R上的奇函数,且当 x>0 时, f=x2+2x ,则 f= (　　) A.3　 B.-3　 C.1　 D.-1 2.已知函数 f的部分图象如图所示,则函数 f的解析式可能为 (　　) A.f=　 B.f=　 C.f=　 D.f= 3.已知函数 f是定义在R上的偶函数,对任意 x1,x2∈(-∞,0] ,且 x1≠x2 ,有 <0 ,若 f=0 ,则不等式 f>0 的解集是 (　　) A.∪　 B.　 C.∪　 D.∪ 4.已知函数 f=在R上单调递减,则实数 a 的取值范围是 (　　) A.0≤a≤3　 B.2≤a≤3　 C.a≥2　 D.a>0 5.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 θ1 ℃,空气的温度是 θ0 ℃,那么 t min 后物体的温度 θ (单位: ℃)可由公式 θ=θ0+e-kt 求得,其中 k 为正常数.现有 75 ℃的物体,放在 25 ℃的空气中冷却, 2 min以后物体的温度降为 50 ℃. 若将 68 ℃的物体放在 20 ℃的空气中冷却,则物体温度降为 32 ℃所需要的冷却时间为 (　　) A.2 min　 B.3 min　 C.4 min　 D.6 min 6.设函数 f=log2在区间 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 (　　) A.a≤2　 B.a<2 C.a<1　 D.a≤1 7.已知函数 f=+3x-3-x ,定义域为R的函数 g满足 g+g=10 ,若函数 y=f与 y=g的图象有四个交点,分别为 ,,,,则所有交点的横、纵坐标之和为 (　　) A.0　 B.5　 C.10　 D.20 8.已知函数 f=若方程 1-m2+2mf= 有且仅有 5 个不同实数根,则实数 m 的取值范围是 (　　) A.　 B.　 C.　 D.[1,2) 二、多选题 9.已知函数 f=,则下列说法正确的是 (　　) A.f的图象关于 y 轴对称 B.f在 上单调递减 C.当 x∈时, f有最大值 D.f的值域为 R 10.已知 f,g分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且 f+g=ex ,则下列说法正确的有 (　　) A.f=2fg B.-=-1 C.若 g+g>0 ,则 t> D.方程 f=m 有两个不相等的实数根,则 m>1 11.已知函数 f,g的定义域均为R,且 f+g=3,f-g=5. 若 f是偶函数, f=2 ,则 (　　) A.f是奇函数　 B.4 是 g的一个周期 C.g=-28　 D.f=4 三、填空题 12.函数 y=+ln的定义域是　　　　.  13.已知函数 f=ax+2,g=,若 ∃x1∈,∀x2∈,使 f=g成立,则实数 a 的取值范围是　　　　.  14.黎曼函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的, 其在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 上,其解析式为 R=若定义在R上的函数 f满足 f+f=0,且 f为偶函数,当 x∈[0,1) 时, f=R, 则 f=　　　　.  四、解答题 15.已知函数 f是定义在R上的偶函数,且当 x≤0 时, f=x2+2x. (1)已知函数 f的部分图象如图所示,请将图象补充完整,并写出函数 f的单调递减区间; (2)求函数 f的解析式; (3)若关于x的函数 y=f-k 有且只有4个不同的零点,求实数k的取值范围.(只需写出结论) 16.已知 f=是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值,求证:函数 f在R上是增函数; (2)若不等式 f+f<0 成立,求实数 t 的取值范围; (3)函数 g满足 f·=2x-2-x ,若对任意 x∈R且 x≠0 ,不等式 g≥m·g-10 恒成立, 求实数 m 的最大值. 17.某药品可用于治疗某种疾病,经检测知每注射1 mL 药品,从注射时间起血药浓度 y (单位:μg/mL) 与药品在体内时间 x (单位:h) 的关系如下: x 2 3 4 6 7 9 y 0.67 1.2 2 6 5.5 4.5 已知当 0≤x≤6 时,血药浓度 y (单位: μg/mL)与药品在体内时间 x (单位:h)的关系服从下列三个函数模型中的一个: ①y=ax2-6ax;②y=klog2x+b;③y=-2.当 6<x≤18 时, y 与 x 的关系满足 y=kx+b. 当血药浓度不低于 2 ug/mL时才能起到有效治疗的作用,每次注射药品不超过 2 mL. (1)选择合适的函数模型,作为 0≤x≤6 时 y 与 x 的关系式,并说明理由; (2)求出 0≤x≤18 时 y 与 x 的关系式,并计算注射1 mL 药品时能达到的有效治疗时长; (3)若注射 t mL药品,则从注射时间起血药浓度为 ty;若多次注射,则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和.已知病人第一次注射 1 mL药品,10 h之后又注射 a mL药品,要使随后的 8 h内药品能够持续有效治疗,求 a 的最小值. 18.若函数 f的定义域为D,∀x∈D 都有 f+f=2n,则称函数 f为中心对称函数, 其中为函数 f的对称中心. (1)已知定义在R上的函数 f的图象关于点 中心对称,则有 f+f=2 ,当 f=4 时,求 f,f的值; (2)探究函数 g=-x2 是否为中心对称函数.若是,请求出对称中心并用定义证明; 若否,请说明理由. (3)运用第(2)问的结论,求: S=g+g+…+g+g+g+g+g+…+g+g的值,其中 k∈N+ 19.定义 max{m,n}=已知函数 f=g=-x2+1,h=max{f,g}. (1)求函数h的单调区间. (2)已知 x1,x2,x3是关于 x 的方程 h=ax+1 的三个不同的实根. i.求实数a的取值范围; ii.已知 b∈R,求 max{+b,-b}的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $