进阶篇2 不等式恒（能）成立问题-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦不等式恒(能)成立问题，通过参数全分离、半分离与主元变换、端点效应三阶递进方法体系，系统构建解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |参数全分离|2题|通过分离参数转化为函数最值问题|以函数单调性为基础，建立"分离参数-求最值"的推理链条| |参数半分离与主元变换|2题|部分分离参数或转换主元简化问题|承接全分离，针对复杂情形构建多元变量的逻辑关系| |端点效应|2题|利用定义域端点值突破参数范围|结合函数连续性，形成"端点验证-必要性探路"的思维路径|

进阶篇　不等式恒(能)成立问题 进阶1　参数全分离 1.解:(1)函数f(x)=ax-ln x,求导得f'(x)=a-, 由x∈[1,2],得∈, 当a≤时,f'(x)≤0, 当且仅当a=,x=2时取等号, 函数f(x)在[1,2]上单调递减; 当a≥1时,f'(x)≥0,当且仅当a=1,x=1时取等号,函数f(x)在[1,2]上单调递增; 当<a<1时,由f'(x)<0,得1≤x<, 由f'(x)>0,得<x≤2, 因此函数f(x)在上单调递减,在上单调递增, 综上,当a≤时,函数f(x)在[1,2]上单调递减; 当<a<1时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增; 当a≥1时,函数f(x)在[1,2]上单调递增. (2)依题意,不等式ax-ln x≤3在x∈(0,e]时有解, 即a≤+在x∈(0,e]时有解, 令g(x)=+,x∈(0,e], 求导得g'(x)=-+=-, 由g'(x)>0,得0<x<; 由g'(x)<0,得<x≤e, 所以函数g(x)在上单调递增,在上单调递减, 所以当x=时,函数g(x)取得最大值g=e2,因此a≤e2, 所以实数a的取值范围是(-∞,e2]. 2.解:(1)f'(x)=3x2eax+ax3eax=x2eax(ax+3). ①当a=0时,f'(x)≥0恒成立, 所以f(x)在R上单调递增. ②当a<0时,令f'(x)<0,得x>-; 令f'(x)>0,得x<-, 所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为. ③当a>0时,令f'(x)<0,得x<-; 令f'(x)>0,得x>-. 所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为. (2)因为a=2,所以f(x)≥mx+3ln x对x∈(0,+∞)恒成立等价于m≤对x∈(0,+∞)恒成立. 方法一　设g(t)=t-1-ln t(t>0), 则g'(t)=. 令g'(t)<0,得0<t<1; 令g'(t)>0,得t>1, 所以g(t)min=g(1)=0, 所以t-1-ln t≥0. 取t=x3,则x3-1-ln(x3)≥0, 即x3-3ln x-1≥2x, 所以≥2. 设h(x)=x3, 因为h(0)=0<1,h(1)=e2>1, 所以方程x3=1必有解, 所以当且仅当x3=1时, 函数y=(x>0)取得最小值,且最小值为2, 所以m≤2,即m的取值范围为(-∞,2]. 方法二　(同构法) = ≥=2, 等号成立的充要条件是3ln x+2x=0, 令φ(x)=3ln x+2x, 由φ=-3+<0,φ(1)=2>0知,3ln x+2x=0必有解, 故m≤2,即m的取值范围为(-∞,2]. 进阶2　参数半分离与主元变换 1.解:(1)f'(x)=ex-a. ①当a≤0时,f'(x)>0, 所以f(x)在R上单调递增. 又f(-1)=-1+a<0,f(1)=e-a-1>0, 由函数零点存在定理可知,函数f(x)在R上有唯一零点, 故a≤0符合题意. ②当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln a. 当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)min=f(ln a)=-aln a-1=a-aln a-1. 设g(a)=a-aln a-1(a>0), 则g'(a)=1-(ln a+1)=-ln a, 当0<a<1时,g'(a)>0,g(a)单调递增; 当a>1时,g'(a)<0,g(a)单调递减, 所以g(a)max=g(1)=0, 故a=1. 综上,实数a的取值范围为{a|a≤0或a=1}. (2)方法一　f(x)≤x2ex对x∈[0,+∞)恒成立, 即(1-x2)ex≤ax+1对x∈[0,+∞)恒成立, 即函数h(x)=(1-x2)ex的图象恒在直线y=ax+1的下方, 而h'(x)=(1-x2-2x)ex,h″(x)=(-x2-4x-1)ex<0(x≥0), 所以函数h(x)是上凸函数,且在点(0,1)处的切线斜率k=h'(0)=1, 直线y=ax+1过定点(0,1),斜率为a, 故a≥1,即a的取值范围为[1,+∞). 方法二　f(x)≤x2ex对x∈[0,+∞)恒成立, 即(1-x2)ex≤ax+1对x∈[0,+∞)恒成立, 记h(x)=(1-x2)ex=(1+x)(1-x)ex. ①当a≥1时,设函数m(x)=(1-x)ex, 则m'(x)=-xex≤0, 因此m(x)在[0,+∞)上单调递减. 又m(0)=1,故m(x)≤1, 所以h(x)=(1+x)·m(x)≤1+x≤ax+1, 故f(x)≥x2ex对x∈[0,+∞)恒成立. ②当a<1时,设函数n(x)=ex-x-1, 则n'(x)=ex-1≥0, 所以n(x)在[0,+∞)上单调递增,且n(0)=0, 故ex≥x+1. 当0<x<1时,h(x)>(1-x)(1+x)2, 则(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2), (ⅰ)当0<a<1时,取x0=, 则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0, 所以h(x0)>ax0+1, 故0<a<1不符合题意. (ⅱ)当a≤0时,取x0=, 则x0∈(0,1),h(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1, 故a≤0不符合题意. 综上,a的取值范围为[1,+∞). 2.(1)解:f(x)=-aln x的定义域为(0,+∞), f'(x)=2-. ①当a≤0时,f'(x)>0恒成立, 故f'(x)没有零点. ②当a>0时,因为y=单调递增,y=-单调递增, 所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增. 又f'(a)>0,当b满足0<b<且b<时, f'(b)=2-<2-4<2-4<0, 故由函数零点存在定理可知,f'(x)存在唯一零点. 综上所述,当a≤0时,f'(x)没有零点; 当a>0时,f'(x)存在唯一的零点. (2)证明　方法一　由(1)可设导函数f'(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0, 当x∈(0,x0)时,f'(x)<0; 当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0, 故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, 所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0). 因为2-=0, 所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln, 故当a>0时,f(x)≥2a+aln. 方法二　令g(a)=2a+aln-+aln x, 求导得g'(a)=2+ln-1+ln x =1+ln 2+ln x-ln a, 令g'(a)>0,得a<2ex; 令g'(a)<0,得a>2ex, 所以函数g(a)在(0,2ex)上单调递增,在(2ex,+∞)上单调递减, 所以g(a)max=g(2ex)=4ex+2exln+2exln x-=2ex-. 再令h(x)=2ex-,则h'(x)=2e-2, 所以h(x)在上单调递增,在上单调递减, 所以h(x)max=h=0, 所以g(a)max≤0,得证. 进阶3　端点效应 1.解:当x≥0时,f(x)≥ax⇔f(x)-ax≥0, 令g(x)=f(x)-ax=ex--2ax(x≥0), 求导得g'(x)=ex+-2a, 因为g(0)=0, 所以g'(0)≥0,解得a≤1. 下证当a≤1时,恒有g(x)≥0. 因为g'(x)=ex+-2a≥2-2a≥0, 所以g(x)单调递增, 所以g(x)≥g(0)=0, 故实数a的取值范围为(-∞,1]. 2.解:(1)由题意得,切点坐标为(1,e-2),且g'(x)=ex-1, 所以g'(1)=e-1, 所以所求切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1), 即(e-1)x-y-1=0. (2)记F(x)=kf(x)-g(x) =k[2x-ln(2x+1)]-(ex-x-1)(x≥0), 求导得F'(x)=k-(ex-1) =-ex+1(x≥0), F″(x)=4k·-ex=-ex, 由F(x)≤0恒成立,且F(0)=0,F'(0)=0, 从而F″(0)≤0,得k≤. 下证当k≤时,F(x)≤0恒成立. F(x)=k[2x-ln(2x+1)]-(ex-x-1) ≤[2x-ln(2x+1)]-ex+x+1 ≤[2x-ln(2x+1)]-x2, 下证[2x-ln(2x+1)]-x2≤0(x≥0)恒成立, 设p(x)=[2x-ln(2x+1)]-x2, p'(x)=-x=≤0, 故p(x)单调递减,则p(x)≤p(0)=0,得证. 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 进阶篇 不等式恒（能）成立问题 进阶1参数全分离 (限时训练：20分钟) 1.(2025·兰州模拟)已知函数fx)=ax-nX,a∈R (1)讨论fx)在区间[1,2]上的单调性； (2)若当x∈(0，e]时，不等式x)≤3有解，求α的取值范围 2.已知函数fx)=Xex-1. (1)讨论x)的单调性； (2)若a=2,不等式fx)≥mx+3nx对X∈(0，+o)恒成立，求实数m的取值范围. 独家授权侵权必究。 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 进阶2参数半分离与主元变换 (限时训练：20分钟) 1.已知函数fx)=ex-ax-1(a∈R,其中e为自然对数的底数) (1)若x)在定义域内有唯一零点，求a的取值范围； (2)若fX)≤xe对X∈[0，+∞)恒成立，求a的取值范围. 2.设函数fx)=e2x-dnx (1)讨论fx)的导函数f(x)零点的个数； (2)证明：当a>0时fx≥2a+alna 独家授权侵权必究。 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 进阶3端点效应 (限时训练：20分钟) 1.已知函数fx)=e-e'-ax若x≥0时，恒有fx)≥ax,求实数a的取值范围 2.已知fx)=2x-ln(2x+1),g(x)=e'-x-1, (1)求g(x)在点(1g(1)处的切线方程； (2)当x≥0时，kx)≤gx)恒成立，求实数k的取值范围. 独家授权侵权必究