微专题 几个特殊的函数-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦黎曼函数、高斯函数等特殊函数，通过概念辨析与性质应用，构建从具体到抽象的函数认知体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊函数概念理解|5题（选择/多选）|新定义函数辨析、奇偶性判断、值域求解|以黎曼函数、狄利克雷函数为载体，关联函数基本概念，培养数学抽象能力| |特殊函数性质应用|5题（填空/解答）|周期性综合、单调性分析、最值探究|结合函数周期性、单调性等性质，构建“定义-性质-应用”逻辑链，发展逻辑推理素养|

微专题　几个特殊的函数 1.B　解析:易知函数图象的对称中心为点(1,1),且当x>1时,函数单调递增,故选B. 2.C　解析:f(x)==2+, ∵x2≥0,∴x2+1≥1, ∴0<≤1,∴f(x)∈(2,3]. 3.C　解析:由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2),则f(x+4)=f(x), 所以偶函数f(x)的周期为4, f(π)=f(π-4)=f(4-π)=R(4-π)=0, 因为f=f=f =f=-f=-f =-R=-,所以f(π)-f=. 4.C　解析:由-x2+x+2>0, 解得-1<x<2, 则f(x)的定义域为{x|-1<x<2}, 当x∈[0,1]时,令t=-x2+x+2, 则t∈. 函数y=-x2+x+2在上单调递增, 在上单调递减, 又函数u=log2t在上单调递增, 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减, 所以f(x)的值域为, 所以[f(x)]的值域为{1}. 5.AD　解析:对于A,当x∈Q时,显然-x∈Q,此时恒有D(x)=D(-x)=1,当x∉Q时,此时x是无理数,显然-x也是无理数,此时恒有D(x)=D(-x)=0,所以D(x)是偶函数,因此A正确; 对于B,因为D(0)=D(1)=1,所以函数D(x)不是实数集上的单调函数,因此B不正确; 对于C,由函数的解析式,可知D(x)的值域为{0,1},因此C不正确; 对于D,因为D(π)=0,D(3.14)=1, 所以D(π)<D(3.14),因此D正确. 6.ABD　解析:因为f(-x)+f(x)=+=0,故f(x)为奇函数, 令t=x-1,即f(-t)+f(t)=0,故A正确; 当x>0时,f(x)==1-, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又f(0)=0,f(x)=<1,且f(x)是奇函数, 所以f(x)的值域为(-1,1), 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),故B正确,C错误, 故对∀x1≠x2,>0,D正确. 7.　解析:f(x)== =+,令t=, 则t≥2,f(x)可化为y=t+, 易知该函数在[2,+∞)上单调递增, 故y=t+≥2+=. 8.　解析:设u=sin x+ =(sin x+3)+-3, 又3+sin x∈[2,4],故u∈, 原题可化为φ(u)=|u+t|的最大值记为g(t), 于是g(t)=max =max, 作出g(t)的图象如图所示, 由得 即g(t)的最小值为. 9.解　(1)因为=ex是增函数, 所以f(x)不是“弱增函数”; 因为g(x)=x2+4x+2在(1,2)上单调递增,但=x++4在(1,2)上不单调, 所以g(x)在(1,2)上不是“弱增函数”. (2)由题意得h(x)=x2+x+b在区间(0,1]上是增函数,且=x++在区间(0,1]上是减函数, 所以-≤0,≥1, 所以m≥,b≥1. 10.解　(1)f(x)既不是奇函数又不是偶函数.理由如下:当a=0时,f(x)=|x|-(x≠0), f(-x)=|x|+≠f(x),f(-x)≠-f(x), 所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数. (2)当x∈[1,a]时,f(x)=-x-+2a, 因为f(x)在[1,a]上单调,所以1<a≤3. 法一　由上可知f(x)在[1,a]上单调递增, 则f(x)max=f(a)=-+a, 由题意知f(x)max=-+a<-2恒成立, 即a2+2a-9<0,所以--1<a<-1. 又1<a≤3, 所以a的取值范围为(1,-1). 法二　(参数分离)由于f(x)=-x-+2a<-2,即a<-1, 只要a<-1, 解得--1<a<-1, 又1<a≤3, 所以a的取值范围为(1,-1). (3)当x∈[1,6]时, f(x)= 又a∈(3,6),由上式知,f(x)在区间(a,6]上单调递增. 当a∈(3,6)时,f(x)在[1,3)上单调递增,在[3,a]上单调递减. 所以f(x)在[1,3)上单调递增,在[3,a]上单调递减,在(a,6]上单调递增, 则f(x)max=max{f(3),f(6)} =max= 综上所述,f(x)的最大值的表达式为 M(a)= 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题　几个特殊的函数 (限时训练:30分钟) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.函数y=1-的图象是 (　　) A B C D 2.若函数f(x)=,则f(x)的值域为 (　　) A.(-∞,3] B.(2,3) C.(2,3] D.[3,+∞) 3.(2025·宿州模拟)黎曼函数定义在[0,1]上,其解析式为:当x=为既约真分数(最简真分数)且p,q∈N*时,R(x)=;当x=0,1和(0,1)内的无理数时,R(x)=0.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且∀x∈R,f(x)+f(x+2)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),则f(π)-f= (　　) A.- B.- C. D. 4.(2025·河北联合调研)高斯函数也称取整函数,记作[x],是指不超过实数x的最大整数,如[6.8]=6,[-4.1]=-5,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数f(x)=log2(-x2+x+2),则当x∈[0,1]时,[f(x)]的值域为 (　　) A. B. C.{1} D.{2} 5.(多选)已知狄利克雷函数D(x)=则下列结论正确的是 (　　) A.D(x)是偶函数 B.D(x)是单调函数 C.D(x)的值域[0,1] D.D(π)<D(3.14) 6.对于函数f(x)=(x∈R),下列结论正确的是 (　　) A.f(-x+1)+f(x-1)=0 B.当m∈(0,1)时,方程f(x)=m有唯一实数解 C.函数f(x)的值域为(-∞,+∞) D.∀x1≠x2,>0 7.函数f(x)=的值域是　　　　.  8.若函数f(x)=(x,t∈R)的最大值记为g(t),则函数g(t)的最小值为　　　　.  9.若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数,且y=在区间I上是减函数,则称函数f(x)在区间I上是“弱增函数”. (1)分别判断函数f(x)=xex,g(x)=x2+4x+2在区间(1,2)上是否是“弱增函数”(不必证明); (2)若函数h(x)=x2+x+b(m,b是常数)在区间(0,1]上是“弱增函数”,求m,b应满足的条件. 10.已知函数f(x)=|x-a|-+a,a∈R. (1)若a=0,试判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若f(x)在[1,a]上单调,且对任意x∈[1,a],f(x)<-2恒成立,求a的取值范围; (3)若x∈[1,6],当a∈(3,6)时,求f(x)的最大值的表达式M(a). 学科网（北京）股份有限公司 $