微专题 二次函数根的分布-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦二次函数根的分布，通过不同区间与符号情境的题型设计，系统覆盖根的位置判定方法，强化数形结合与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的符号分布|2题（1,6）|一正一负根判定|由韦达定理或端点函数值符号推导参数范围，体现数学思维的推理能力| |根在特定区间|6题（2,3,4,7,8(2),9）|两根同区间/单根区间|结合判别式、对称轴、端点值构建不等式组，培养几何直观与逻辑链条| |多根与综合应用|4题（5,10,11,12）|方程转化/零点综合|通过函数建模与分类讨论，提升用数学语言表达复杂数量关系的能力|

第二章 微专题　二次函数根的分布 (限时训练:40分钟) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.(2024·山西太原模拟)若一元二次方程ax2-2x-4=0有一个正根和一个负根,则实数a的取值范围为 (　　) A.a>0 B.a>2 C.a>1 D.a>-1 2.(2024·浙江余姚高三期中)已知一元二次方程x2-mx+1=0的两根都在(0,2)内,则实数m的取值范围是 (　　) A. B. C.(-∞,-2]∪ D.(-∞,-2]∪ 3.(2024·广东惠州高三模拟)已知关于x的方程x2+x+m=0在区间(1,2)内有实根,则实数m的取值范围是 (　　) A.[-6,-2] B.(-6,-2) C.(-∞,-6]∪[-2,+∞) D.(-∞,-6)∪(-2,+∞) 4.(2024·安徽滁州模拟)关于x的方程x2+(m-2)·x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则实数m的取值范围是 (　　) A. B. C.[,2) D.∪{6-2} 5.(多选题)(2024·重庆南开中学模拟)已知a,b,c是三个互不相等的正实数,且a(a-b)=b(a-c),则a,b,c的大小关系可能是 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 6.(2024·北京海淀区模拟)方程x2-(2-a)x+5+a=0的一根大于1,一根小于1,则实数a的取值范围是　　　　.  7.(2024·山东潍坊高三模拟)二次方程x2+kx+2k-1=0的两个根x1与x2,当-2<x1<-1,1<x2<2时,则实数k的取值范围为　　　　.  8.设二次函数f(x)=x2+(a-1)x+a. (1)若该二次函数无零点,求实数a的取值范围; (2)方程f(x)=0的两根为x1,x2,若x1∈(-1,0),x2∈(1,2),求实数a的取值范围. 9.(2024·福建厦门高三模拟)若函数f(x)=x2+mx+n在区间(-1,1)上有两个零点,则n2-m2+2n+1的取值范围是 (　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,4) D.(1,4) 10.(多选题)(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)=若关于x的方程4f2(x)-4a·f(x)+2a+3=0有5个不同的实根,则实数a的取值可以为 (　　) A.- B.- C.- D.- 11.(2024·湖南雅礼中学模拟)若方程(x-2)(x2-4x+m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边的长,则实数m的取值范围是　　　　.  12.(2024·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=3x且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数.若关于x的方程2ag(x)+h(2x)=0在(0,1]上有两个不同解,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 微专题　二次函数根的分布 1.A　解析:因为一元二次方程ax2-2x-4=0有一个正根和一个负根,所以解得a>0,故选A. 2.B　解析:设f(x)=x2-mx+1,依题意有解得2≤m<,所以实数m的取值范围是,故选B. 3.B　解析:因为关于x的方程x2+x+m=0在区间(1,2)内有实根,所以m=-x2-x在区间(1,2)内有实根,令f(x)=-x2-x,x∈(1,2),所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以f(2)<f(x)<f(1),即f(x)∈(-6,-2),又直线y=m与函数y=f(x)的图象在(1,2)内有交点,所以m∈(-6,-2),故选B. 4.D　解析:设f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则需要满足:①f(0)·f(1)<0,即(2m-1)(3m-2)<0,解得<m<;②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者(1,0),另一个零点属于(0,1),把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,得2m-1=0,解得m=,此时方程为x2-x=0,两根为0,,而∉(0,1),不合题意,舍去;把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,得3m-2=0,解得m=,此时方程为3x2-4x+1=0,两根为1,,而∈(0,1),故符合题意;③函数图象与x轴只有一个交点,横坐标在区间(0,1)内,Δ=(m-2)2-4(2m-1)=0,解得m=6±2,当m=6+2时,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根为-2-,不合题意;若m=6-2,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根为-2,符合题意,综上,实数m的取值范围为∪{6-2},故选D. 5.BC　解析:设f(x)=x2-2bx+bc,由a(a-b)=b(a-c)知a2-2ba+bc=0,则f(a)=0,故函数f(x)有零点,所以Δ=4b2-4bc≥0,即b≥c,又b≠c,所以b>c,又f(b)=b2-2b2+bc=b(c-b)<0,f(c)=c2-2bc+bc=c(c-b)<0,故b,c均小于a或b,c均大于a,即a<c<b或c<b<a,故选BC. 6.(-∞,-2)　解析:由题意得解得a<-2. 7.　解析:由已知设f(x)=x2+kx+2k-1,则当-2<x1<-1,1<x2<2时,满足 解得-<k<0. 即k∈. 8.解 (1)若函数无零点,则判别式Δ=(a-1)2-4a<0,解得3-2<a<3+2,即实数a的范围为(3-2,3+2). (2)因为方程f(x)=0的两根x1∈(-1,0),x2∈(1,2),则即解得-<a<0,即实数a的取值范围为. 9.A　解析:由题意得所以n2-m2+2n+1=(n+1)2-m2=(n+1+m)(n+1-m)>0,设f(x)的两个零点为x1,x2,则f(x)=(x-x1)·(x-x2),所以(n+1+m)(n+1-m)=f(1)·f(-1)=(1-)(1-)<1,故选A. 10.BCD　解析:令f(x)=m,记g(m)=4m2-4am+2a+3的两个零点分别为m1,m2,则由f(x)的图象可知:方程4f2(x)-4a·f(x)+2a+3=0有5个不同的实根⇔直线y=m1,y=m2与f(x)的图象共有5个交点⇔-2<m1≤-1,且-1<m2<0(不妨设m1<m2). 则解得-<a≤-.故选BCD. 11.(3,4]　解析:∵方程(x-2)(x2-4x+m)=0有三根,∴x1=2,方程x2-4x+m=0有根,Δ=16-4m≥0,解得m≤4.又原方程有三根,且为一个三角形的三边长. ∴x2+x3>x1=2,|x2-x3|<x1=2,而x2+x3=4>2已成立;当|x2-x3|<2成立时,两边平方得(x2+x3)2-4x2x3<4,即16-4m<4,解得m>3.∴3<m≤4. 12.A　解析:依题意,g(x)+h(x)=3x,因为g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,则g(-x)+h(-x)=3-x,即-g(x)+h(x)=3-x,解得g(x)=,h(x)=,h(2x)==+1,令t=3x-3-x,显然函数t=3x-3-x在(0,1]上单调递增,当x∈(0,1]时,t∈,因此关于x的方程2ag(x)+h(2x)=0在(0,1]上有两个不同解,等价于关于t的方程2a·t+t2+1=0在t∈上有两个不等实根,2a·t+t2+1=0⇔φ(t)=t2+2at+2=0,则解得-≤a<-,所以实数a的取值范围是,故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $