微拓展 三次函数的图象与性质-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三次函数图象与性质，通过梯度题型培养数学思维，强化导数应用与函数性质的逻辑关联。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|3题|切线交点、对称中心、图象识别|从导数求切线斜率到二阶导数确定对称中心，构建概念生成链| |综合应用|3题|零点个数、极值点判断、切线方程|结合导数研究极值与零点关系，形成原理推导与应用拓展的逻辑闭环|

第三章 微拓展　三次函数的图象与性质 (限时训练:30分钟) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.已知曲线C:y=x3-3x2+3x-1在点M处的切线为l,则l与曲线C的交点个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知三次函数图象的对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点.若f(x)=x3-3x2+3x+1,则f+f(2-a)= (　　) A.0 B.4 C.2 D.-6a2+12a-10 3.(多选)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x2-ax和g(x)=x3-x2+ax-a的大致图象可能为 (　　) A B C D 4.(2023年全国乙卷)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 5.(2022年新课标Ⅰ卷)(多选)已知函数f(x)=x3-x+1,则 (　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 6.已知函数f(x)=x3-ax2+x+2,且f(x)+f=4,M是曲线y=f(x)上任意一点,曲线在点M处的切线为l. (1)求切线l的倾斜角α 的取值范围; (2)若过点P可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 微拓展　三次函数的图象与性质 1.B　解:y'=3x2-6x+3.令x=1,则y'|x=1=0,所以切线l 的方程为y=0,也即x 轴.由y'=3x2-6x+3=3≥0,可知函数y=x3-3x2+3x-1 在R 上单调递增,只有唯一零点x=1.所以l 与曲线C的交点个数为1个.故选B. 2.B　解:f'=3x2-6x+3,f″=6x-6.令f″=0,得x=1.则f=2,f图象的对称中心为.由=1,得f+f=2f=4.故选B. 3.BCD　解:由已知,得f=x,g'=x2-x+a=. 函数f 的图象为开口向上的抛物线,与x 轴在x=0 和x=a 处相交. g 的图象是“N字型”曲线,当a≠1 时,有x=1 和x=a 两个极值点. 当a=1 时,g单调递增,且g 的图象与y 轴交于点. 对于A,由二次函数图象,知a>0,但三次函数的图象与y 轴的交点在x 轴上方,故A 不正确. B 项图中两条曲线符合当a=1 时的情形. C 项图中两条曲线符合当a<0 时的情形. D 项图中两条曲线符合当a=0 时的情形. 故选BCD. 4.B　解:由题意,知f'=3x2+a.若f 存在3个零点,则f 有极大值和极小值,则a<0. 令f'=0,解得x=- 或. 当x∈(-∞ ,-)∪(,+∞)时,f'>0,当x∈(-,时,f'<0, 故f 的极大值为f,极小值为f. 若f 存在3个零点,则 即 解得a<-3.故选B. 5.AC　解:f'=3x2-1.令f'>0,得x> 或x<-;令f'<0,得-<x<.所以f 在(-,上单调递减,在(-∞ ,-),,+∞)上单调递增.所以x=± 是极值点,故A正确. 因为f=1+>0,f=1->0,f=-5<0,所以函数f 在(-2,-)上有一个零点,在[-,上无零点.当x> 时,f>f>0,即函数f 在,+∞)上无零点.综上,函数f 有一个零点,故B错误. 令h=x3-x,该函数的定义域为R,h=-=-x3+x=-h,则h 是奇函数,是h 的对称中心.将h 的图象向上平移一个单位长度得到f 的图象,所以点是曲线y=f 的对称中心,故C正确. 令f'=3x2-1=2,可得x=±1.又f=f=1,所以当切点为 时,切线方程为y=2x-1,当切点为 时,切线方程为y=2x+3,故D错误.故选AC. 6.解:(1)由f+f=4,得x3-ax2+x+2-x3-ax2-x+2=-ax2+4=4. 解得a=0,所以f=x3-x+2. f'=x2-1≥-1,故tan α≥-1. 显然α≠,所以α∈∪. 即切线l 的倾斜角α 的取值范围是∪. (2)设曲线y=f 与过点P的切线相切于点,-x0+2). 则切线的斜率为k=-1,切线方程为y-(-x0+2)=. 因为点P 在切线上, 所以m-=,即m=-++1. 由题意,知该方程有三个不同的解. 设g=-x3+x2+1,则g'=-2x2+2x=-2x.令g'=0,解得x=0 或x=1. 当x<0 或x>1 时,g'<0;当0<x<1 时,g'>0. 所以g 在 和 上单调递减,在 上单调递增. 故g 的极小值为g=1,极大值为g=,则1<m<. 所以实数m 的取值范围是,. 学科网（北京）股份有限公司 $