第二十九章 圆 章末小结（课件）2026-2027学年人教九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了圆的概念、性质及计算，涵盖点与圆位置关系、垂径定理、圆心角圆周角、弧长扇形面积等核心内容，通过分类整合概念、表格对比易混点、例题串联性质与计算，帮助学生构建完整的圆知识逻辑网络。 其亮点在于结合古代车轮测量半径、马面裙扇环计算等生活实例培养应用意识，通过反证法证明题和推理题发展推理意识，分层例题设计从基础辨析到综合应用，让不同水平学生巩固知识，教师可精准把握复习重点提升教学效率。

第二十九章 圆 章末小结 圆的有关概念 点与圆的位置关系 过三点的圆 圆的有关性质 圆的 对称性 圆的轴对称性 圆的旋转对称性 垂径定理 弧、弦、圆心角之间的关系 同弧所对圆周角和圆心角的关系 圆的有关计算 弧长 扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 圆 单元知识梳理 2 知识点1 圆的有关概念 圆的定义 1. 描述性定义： 如图，在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的图形叫作圆.其固定的端点 O 叫作圆心，线段 OP 叫作半径. 2.集合性定义： 如图，圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合. 单元知识梳理 圆的表示方法 圆的表示方法： 以点 O 为圆心的圆，记作 ⊙O，读作“圆 O”. 知识点1 圆的有关概念 单元知识梳理 点与圆的位置关系 知识点1 圆的有关概念 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 图示 对应关系 点P在圆外⇔d>r 点P在圆上⇔d=r 点P在圆内⇔d<r 单元知识梳理 如图所示，已知矩形  的边 ，，若以点  为圆心作 ，使  三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则  的半径  的取值范围是（ ） A.  B.  C.  D.  解析：如图，连接 ，以点  为圆心，分别以 AB，AC 长为半径作圆. 由题意知 ，. 在  中，由勾股定理，得 . ∴ ， ∴ 以点  为圆心作 ，使  三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径  的取值范围是3<r<5. C 例1 知识点1 圆的有关概念 单元知识梳理 知识点1 圆的有关概念 名称 概念 注意 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦. (1) 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径; (2) 直径长是半径长的 2 倍. 直径 经过圆心的弦叫作直径. 圆弧 (1) 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧.以A，B为端点的弧记作，读作 “圆弧AB” 或 “弧AB”. (2) 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆. (3) 大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧. (1) 弧包括优弧、劣弧和半圆; (2) 半圆既不是劣弧，也不是优弧. 单元知识梳理 知识点1 圆的有关概念 名称 概念 注意 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆. 同圆或等圆的半径相等，半径相等的两个圆是等圆. 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. (1) 等弧只能出现在同圆或等圆中; (2) 等弧是全等图形，而不仅仅是弧的长度相等. 单元知识梳理 知识点1 圆的有关概念 确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形. 注意：根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，任意三角形有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形. 单元知识梳理 已知A，B，C，D为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：分两种情况讨论： （1）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作3个圆； （2）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作1或4个圆； 例2 B 知识点1 圆的有关概念 单元知识梳理 知识点1 圆的有关概念 三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心. 三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径. 单元知识梳理 知识点1 圆的有关概念 三角形外接圆的作法 ① 定圆心：作三角形任意两边的垂直平分线，其交点为圆心. 分别作  的垂直平分线  交于点 ，则点  即为圆心. ② 定半径：以点  为圆心，以 （或 ）为半径作圆，则 ⊙O 即为   的外接圆. 单元知识梳理 反证法 先提出与命题结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫作反证法. 注意： (1)当一个命题从正面不容易证明时，常常采用反证法； (2)当原命题结论的反面不止一种情况时，必须把所有情况一一否定，才能得出原命题成立. 知识点1 圆的有关概念 单元知识梳理 用反证法证明命题：若“a2＞b2，且a＞0，b＞0，则a＞b”． 证明：假设a≤b. 当a=b时，a2=b2，这与已知条件a2＞b2相矛盾； 当a＜b时， 因为a＞0，b＞0， 所以a•a＜b•a，且a•b＜b•b，即a2＜ab＜b2， 因此a2＜b2，这与已知条件a2＞b2相矛盾； 综上，假设a≤b不成立，所以a＞b. 例3 知识点1 圆的有关概念 单元知识梳理 知识点2 垂径定理 圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 圆有无数条对称轴. 直径是线段，而对称轴是直线， 所以不能说“圆的对称轴是直径”. O 单元知识梳理 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言 知识点2 垂径定理 单元知识梳理 垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言 知识点2 垂径定理 单元知识梳理 如图1是博物馆展出的古代车轮实物．为测量车轮半径，如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，作弦AB的垂线OC，D为垂足．经测量：AB＝90 cm，CD＝15 cm，则OA的长度是（　　） A．60 cm B．65 cm C．70 cm D．75 cm D 解析：设⊙O的半径为r cm， ∵OD⊥AB， ∴AD＝BDAB＝45 cm， 在Rt△OAD中，∵OA＝r，OD＝r﹣15，AD＝45， ∴452+（r﹣15）2＝r2， 解得r＝75， 即OA的长度为75 cm． 例4 知识点2 垂径定理 单元知识梳理 圆的旋转对称性 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形. 知识点3 圆心角、圆周角 单元知识梳理 知识点3 圆心角、圆周角 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角. 圆周角 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 单元知识梳理 知识点3 圆心角、圆周角 弧、弦、圆心角之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 单元知识梳理 知识点3 圆心角、圆周角 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径. 单元知识梳理 如图，已知AB,CD是⊙O的弦，且AB=CD，如果∠BOD=84°， 则∠ACO 的度数是( ) A.48° B.42° C.44° D.46° 例5 A 解析：如图，连接OA． ∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD， 即∠BOD+∠AOD=∠AOC+∠AOD,∴∠BOD=∠AOC. ∵∠BOD=84°，∴∠AOC=84°. ∵OA=OC， ∴∠ACO=（180°-∠AOC）=×（180°-84°）=48°． 知识点3 圆心角、圆周角 单元知识梳理 例6 知识点3 圆心角、圆周角 如图， 是  的直径， 是圆上不与点  重合的动点，连接 ，延长  到点 ，使 ，连接 ， 是  的中点，连接 . (1) 求证：. (2) 填空：① 若 ，当  _______时，四边形  是菱形； ② 当  _________时，四边形  是正方形. (1) 证明：如图，连接 . ∵  是  的直径，∴ ， ∴ . ∵ ，∴  是线段  的垂直平分线， ∴ . 单元知识梳理 例6 知识点3 圆心角、圆周角 如图， 是  的直径， 是圆上不与点  重合的动点，连接 ，延长  到点 ，使 ，连接 ， 是  的中点，连接 . (2) 填空：① 若 ，当  _______时，四边形  是菱形； ② 当  _________时，四边形  是正方形. (2) ① 解析：∵ 𝐶 是 𝐵𝐷 的中点，∴ 𝐵𝐶=𝐷𝐶. 又∵ 𝐴𝑃=𝑃𝐷，∴ 𝑃𝐶 是 △𝐴𝐵𝐷 的中位线， ∴ 𝑃𝐶∥𝐴𝐵，即 𝑃𝐶∥𝐴𝑂，且 𝑃𝐶=𝐴𝐵=8. ∴ 𝐴𝑂=𝐴𝐵，∴ 𝐴𝑂=𝑃𝐶. ∴ 四边形 𝐴𝑂𝐶𝑃 是平行四边形， ∴ 当 𝐴𝑃=𝐴𝑂=𝐴𝐵=8 时，平行四边形 𝐴𝑂𝐶𝑃 是菱形. 8 单元知识梳理 例6 知识点3 圆心角、圆周角 如图， 是  的直径， 是圆上不与点  重合的动点，连接 ，延长  到点 ，使 ，连接 ， 是  的中点，连接 . (2) 填空：① 若 ，当  _______时，四边形  是菱形； ② 当  _________时，四边形  是正方形. 8 (2)② 解析：由①可知，，且 ， ∴ 四边形  是平行四边形. 又∵ ，∴ 平行四边形  是菱形， ∴ 当  时，菱形  是正方形. 又∵ ，， ∴ ， ∴ 当  时，四边形  是正方形. 45°  单元知识梳理 知识点4 圆内接多边形 圆内接多边形的概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. 单元知识梳理 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝100°，则∠BOD的度数为（　　） A．100° B．120° C．140° D．160° 解析：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠C+∠A＝180°. ∵∠C＝100°， ∴∠A＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BOD＝2∠A＝160°. D 例7 知识点4 圆内接多边形 单元知识梳理 知识点5 弧长和扇形面积 弧长公式：l = 扇形面积公式：S扇形 = = lR. 单元知识梳理 传统服饰日益受到关注，图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图2）．若长为米，裙长AB为0.8米，圆心角∠AOD＝60°，则的长度为 　 　 米．（结果保留π） 0.6π 解：∵的长为米，∠AOD＝60°． ∴，解得OA＝1． 又∵AB长为0.8米， ∴OB的长为1.8米， ∴的长度为0.6π（米）． 例8 知识点5 弧长和扇形面积 单元知识梳理 如图，在  中，，，分别以点  为圆心、 的长为半径画弧，与  的延长线分别交于点 .若 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A.  B.  C.  D.  D 例9 知识点5 弧长和扇形面积 解析：∵ ， ， ∴ . ∵ ， 即 ， ∴ ， ∴  单元知识梳理 知识点6 圆锥 名称 概念 图示相关说明 圆锥 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 圆锥的母线l、高h、底面圆半径r构成直角三角形，满足勾股定理：r2+h2=l2. 圆锥的母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线；圆锥的母线有无数条，且所有母线长度都相等. 圆锥的高 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高. 单元知识梳理 知识点6 圆锥 圆锥的侧面积公式： S侧= S扇形=rl. 圆锥的全面积公式： S全= S侧+ S底 =rl+ =r(l+r). 单元知识梳理 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿边AC所在的直线旋转一周，所得到的几何体的表面积为　 　 ． 分析：先利用勾股定理得AB＝5，由于Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，然后计算它的侧面积和底面积的和即可． 解：由勾股定理可知AB＝5， Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4， 所以所得到的几何体的全面积＝π×422π×4×5＝36π. 36π 例10 知识点6 圆锥 单元知识梳理 $