3.2课时2 函数的最大（小）值课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的最大（小）值，通过观察函数f(x)=-x²图象引出最值概念，衔接函数单调性，引导学生类比最大值定义自主构建最小值概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察图象特征，用数学思维类比推理概念，借数学语言解决实际问题。如例1图象法直观分析分段函数，例2单调性证明牛顿三叉戟曲线最值，例3利润问题建立模型，分层训练助学生掌握方法，教师可高效开展教学。

第三章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 课时2 函数的最大（小）值 1 情景设置： 问题1： 请观察函数的图象. 除了函数单调性，你能描述该函数的其他特征吗？ 除了单调性，由图象我们还能得到：函数有最高点(0,0)，即最大的函数值为0. 数学含义： (1)0是的函数值，即； (2)0是函数值中最大的一个 即，都有. 概念1：函数最大值的定义 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足: (1)都有; (2)使得. 那么，我们则称是函数的最大值. 函数的最大值可用来表示. 问题2 你能类比函数最大值的定义，以函数为例，给出函数的最小值的定义吗？ M 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x) ≥M; （2）存在 ，使得 ， 那么，我们称M是函数y= f (x)的最小值（minimum value） 函数最小值的定义 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 若对任意，是函数的定义域，都有，则是函数 的最大值. ( ) × （2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( ) √ （3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( ) × （4） 函数的最大值一定比最小值大.( ) × （5） 若函数在区间上单调递减，则函数在区间 上的最大值为 .( ) √ 5 一、利用图象法求函数的最值 例1 已知函数求 的最大值、最小值. 6 一、利用图象法求函数的最值 例1 已知函数求 的最大值、最小值. [解析] 作出函数 的图象（如图）. 由图象可知，当时，取最大值，最大值为 . 当时，取最小值，最小值为 ， 故 的最大值为1，最小值为0. 7 巩固训练1 已知函数 ，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写 出值域. [解析] 图象如图所示， 由图象知，函数 的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为 . 9 二、利用函数的单调性求最值 例2 英国著名物理学家牛顿曾研究过函数 的图象，其形恰如希腊神话中 海神波塞冬的武器——三叉戟，因此的图象又称为牛顿三叉戟曲线．求 在 上的最值． 10 [解析] 取，，且 ， 则 . 11 当时，，，所以 ， 即，所以在 上为减函数． 当时，，，所以 ， 即，所以在 上为增函数． 所以在上有最小值，且 ． 综上，在 上的最小值为3，无最大值． 12 方法总结 1.若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ，最小值为 . 2.若函数在区间上单调递减，则的最大值为 ，最小值为 . 3.若函数 有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的 最值中决定出最大（小）值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值. 4.若函数的定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑 端点处的函数值或者发展趋势. 13 三、函数最值的实际应用 例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到有关生产销售的统计规律：每生产产品 百台，其总成本为 万元，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台产品的生产 成本为1万元（总成本固定成本生产成本）.销售收入 （单位：万元）满足 假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖 掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数的解析式（利润 销售收入-总成本）. （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 14 [解析] （1）由题意得 ， 所以 （2）当时，因为函数单调递减，所以 （万元）； 当时，函数，当时， 有最大值，最大值 为3.6万元. 所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大，最大盈利为3.6万元. 15 方法总结 1.解实际应用题时，要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型， 列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围. 2.在实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值问题， 利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决. 16 巩固训练2 已知函数，求函数 的最大值和最小值. 17 巩固训练2 已知函数，求函数 的最大值和最小值. [解析] 设，是上任意两个实数，且 ， 所以 . 因为，所以，， ， 所以，即，所以在 上单调递增， 所以， . 18 巩固训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个.已知这种商品每 涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ [解析] 设售价为元，利润为元，则单个涨价元，销量减少 个， 销量为 个，则 . 故当时， .即售价为70元时利润最大，最大利润为9000元. 19 探究2 二次函数的最值问题 20 例4 （1）已知函数，若，求函数 的最值； （3）已知函数，求函数 的最值. 23 例4 （2）已知函数，若，求函数 的最值； 24 [解析] （1） 函数的图象开口向上，对称轴为直线 ， 在上单调递减，在上单调递增，且 . ， . （2）由题意得函数图象的对称轴为直线 ， ①当，即 时， ， . 25 ②当，即 时， ， . ③当，即 时， ， . 26 ④当，即 时， ， . 设函数的最大值为，最小值为 ， 则 27 巩固训练 设函数， . （1）当时，求函数的最小值 的表达式； （2）在（1）问条件下求函数 的最大值. 28 [解析] （1） ， 其图象的对称轴为直线 . 当时，在 上单调递增， ； 当时，在 上单调递减， ； 当时，在上单调递减，在 上单调递增， . 综上所述， 29 （2）当时，， ； 当时，， ； 当时，， . 综上所述， . 30 变式： 设函数， . 当时，求函数的最大值 例7 1.函数在上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ) . C A.3，0 B.3，1 C.3，无最小值 D.3， 2.函数在 上的最小值为( ) . A.2 B. C. D. B 36 3.已知函数，当时，恒成立，则实数 的取值范围是 ( ) . B A. B. C. D. 4.画出函数的图象，并写出函数 的单调区间及最 小值. 37 [解析] 作出函数 的图象，如图所示. 由图象可知，的单调递增区间为和，无单调递减区间，函数 的最小值为 . 38 2.函数在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 ( ) . C A.，0 B.0，2 C.，2 D. ，2 39 3.函数在区间 上的最大值、最小值分别是( ) . B A.10，5 B.10，1 C.5，1 D.以上都不对 [解析] 因为，且，所以当 时， ；当时， .故选B. 4.函数，，则 的最大值为___，最小值为__. 1 [解析] 在区间上单调递减，，即 . 40 （限时：30分钟） 1.下列函数中,在区间 上的最大值为3的是( ) . A A. B. C. D. [解析] 由函数性质可知，当时， ； ；； .故选A. 41 2.关于函数 的最值，下列结论正确的是( ) . C A.最小值为0，最大值为4 B.最小值为 ，最大值为0 C.最小值为 ，最大值为4 D.既无最小值，也无最大值 [解析] 当时， ； ②当时， ， 此时 ； ③当时， . 所以， . 故选C． 42 3.（多选题）下列函数中，有最小值的是( ) . AD A. B. C. D. [解析] . 无最小值. 无最小值. . 43 4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，当销售量（单位：辆）为 时，甲、乙两 地的利润（单位：万元）分别为和 .若该公司在两地共销售15 辆，则能获得的最大利润为( ) . C A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 [解析] 设该公司在甲地销售辆，则在乙地销售 辆，公司共获利 . 且 ， 当或时， 取得最大值，最大值为120万元. 44 5.若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数 的值是( ) . C A.1 B. C.1或 D.0 [解析] 当时， ，为常函数，显然不符合题意，舍去； 当时，为图象开口向上，对称轴为 轴的二次函数， 所以它在区间 上单调递增，所以 ，解得 ； 当时，为图象开口向下，对称轴为 轴的二次函数， 所以它在区间 上单调递减，所以 ，解得 ． 45 6.已知若是的最小值，则实数 的取值范围为 ( ) . B A. B. C. D. 46 [解析] 是函数 的最小值， 在 上单调递减， . 当时，在 处有最小值， 即 . ，即 ， 解得 . 综上所述， ， 实数的取值范围是 . 47 7.函数 的值域为____________. ， [解析] 设，则，即 ， ，， 当时，， 函数 的值域为， . 48 8.（多选题）下列说法正确的是( ) . AD A.若函数的值域为，则， B.若，，则函数的值域为 C.若，则直线不一定与 的图象有交点 D.若，则直线一定与 的图象有交点 [解析] 若函数的值域为，则， ，A正确. ，，区间上的某些元素可能不是函数值，因而 不一 定是值域，B错误.若，由定义知一定存在使，即 的图象 与直线 一定有交点，但交点不一定唯一，C错误，D正确. 49 9.已知函数满足：， ； ，.则 的值为( ) . D A.1或3 B.3或 C.3 D. [解析] 由题意知,函数在 上的最大值为9. 因为，函数图象开口向下，对称轴为直线， 所以当时，在上单调递增，在 上单调递减， 故，解得或 ，不符合题意； 当时，在 上单调递增， 故，解得 ，符合题意. 故选D． 50 10.若函数的值域为的子集，则满足条件的实数 的最小值 为___． 3 [解析] 由题意知，函数定义域为，且是增函数，则值域为 . 因为函数的值域为 的子集， 所以，即 ． 则满足条件的实数 的最小值为3． 51 11.已知函数，试画出函数 的图象，并根 据图象解决下列两个问题. （1）写出函数 的单调区间； （2）求函数在区间， 上的最大值. 52 [解析] 的图象如图所示. （1）由图可知的单调递增区间为 ，，；单调递减区间为 ， . （2）因为，，所以在区间，上的最大值为 . 53 a(x－h)2＋k(a≠0) a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ ； 顶点式：f(x)＝ ； 两根式：f(x)＝ ． ax2＋bx＋c(a≠0) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 2.二次函数的图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a))) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a))) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))) x＝－eq \f(b,2a) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 单调性 在 上单调递增；　　 在 上单调递减　　 在 上单调递增；　　 在 上单调递减　　 顶点 对称性 图象关于直线 成轴对称图形 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞)) 例5.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求实数a的值． 【解析】　当对称轴x＝a<0时，如图1所示， f(x)max＝f(0)＝1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1. 当0≤a≤1时，如图2所示，f(x)max＝f(a) ＝－a2＋2a2＋1－a ＝a2－a＋1＝2， 解得a＝eq \f(1±\r(5),2). ∵0≤a≤1， ∴a＝eq \f(1±\r(5),2)舍去． 当a>1时，如图3所示． f(x)max＝f(1)＝a＝2. 且满足a>1，∴a＝2. 综上可知，a的值为－1或2. 【答案】　－1或2 答案：A　 例6已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大 值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是 (　　) A．[1,2]　　　　B．(0,1] C．(0,2] D．[1，＋∞) 解析：作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3.故选A. $