3.2.1第3课时函数的最大(小)值课件--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的最大(小)值，系统讲解概念、几何意义及求法，通过“思考”辨析定义关键（如“存在”与“任意”），“明辨是非”巩固易混点，再以图象法、单调性法、实际应用为支架，构建从理论到解题的学习脉络。 其亮点是以核心素养为导向，分类型设计典例与即学即练，图象法培养直观想象（如作M(x)图象找最低点），单调性法强化逻辑推理（如证明函数单调性求最值），实际应用渗透数学建模（如阅兵评分问题）。结构化的解题步骤和辨析题帮助学生深化理解，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

第3课时　函数的最大(小)值 【学习目标】 1.理解函数的最大值与最小值的概念及其几何意义.(数学抽象) 2.能利用函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.(直观想象、逻辑推理) 3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(数学建模) 函数的最大(小)值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M(或m) 条件 ∀x∈D,都有_______ ∃x0∈D,使得f(x0)=M ∀x∈D,都有_______ ∃x0∈D,使得f(x0)=m 结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称m是函数y=f(x)的最小值 f(x)≤M f(x)≥m [思考] 1.若函数f(x)≥2恒成立,则f(x)的最小值是2吗? 提示:不一定,因为最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,当f(x) ≥2恒成立时,2不一定是一个函数值. 2.任意一个函数是否都有最值? 提示:不一定.有的函数既有最大值也有最小值,如:y=,x∈[1,3];有的函数只有最小(大)值没有最大(小)值,如:y=x2-2x;有的函数无最值,如:y=2x+1, x∈(1,3). [点睛] 函数最大值和最小值定义中的两个关键词 (1)∃(存在):M(或m)首先是一个函数值,它是值域中的一个元素,如函数y=x2(x∈R)的最小值是0,有f(0)=0. (2)∀(任意):最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥m)成立. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.( ) (2)一个函数可能有多个最小值.( ) 提示:最大(小)值至多有1个. (3)函数f(x)在[a,b]上的最值不一定是f(a)(或f(b)).( ) 提示:函数f(x)在[a,b]上不一定是单调函数,故最值不一定是f(a)(或f(b)). (4)若一个函数有最大值,则最大值不一定是其值域中的一个元素.( ) 提示:函数的最大(小)值,一定是其值域中的一个元素. √ × √ × 类型1 图象法求函数的最值(直观想象) 【典例1】(2026·唐山高一检测)已知函数f(x)=x2-2,g(x)=x+4.定义:函数M(x)=max{f(x),g(x)},即M(x)表示函数f(x),g(x)中的较大者.则M(x)的最小值为(　　) A.0　 B.7　 C.4　 D.2 √ 【解析】选D.令f(x)≥g(x),即x2-2≥x+4,解得x≤-2或x≥3, 令f(x)<g(x),得-2<x<3,所以M(x)=, 作出M(x)的图象(图中的实线部分), 由图象结合函数解析式可知,M(x)在(-∞,-2)上单调递减, 在(-2,+∞)上单调递增, 当x=-2时,M(x)的最小值为2. 【解题有招】 图象法求函数最值的步骤 【即学即练】 (2025·滁州高一检测)max{f(x),g(x)}表示f(x)与g(x)中的较大者,设h(x)= max{|x+1|,-x2+2x+3},则函数h(x)的最小值是　　　　　.  【解析】max{f(x),g(x)}表示f(x)与g(x)中的较大者, 设h(x)=max{|x+1|,-x2+2x+3}, 令-x2+2x+3=x+1,解得x=2或-1,令-x2+2x+3=-x-1, 解得x=4(舍去)或-1,画出h(x)=max{|x+1|,-x2+2x+3}的图象,如图: 显然h(x)的最小值为0. 答案:0 类型2 单调性法求函数的最值(逻辑推理) 【典例2】(类题·节节高) (1)函数f(x)=-x+1在[-2,2]上的最大值为　　　　　;  (2)函数f(x)=在[1,5]上的最小值为　　　　.  【解析】(1)因为f(x)=-x+1在[-2,2]上是减函数,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为3. (2)设x1,x2是区间[1,5]上的任意两个实数,且x2>x1, f(x1)-f(x2)=-. 由于x1,x2∈[1,5],且x2>x1,所以x2-x1>0,且(2x1-1)(2x2-1)>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=在区间[1,5]上单调递减. 所以最小值为f(5)=. 答案:(1)3　(2) 【解题有招】 1.利用单调性求最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性写出最值. 2.函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b). (2)若函数在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a). (3)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. 【即学即练】 1.(2026·广州高一检测)已知函数f(x)=,x∈[1,3],则函数f(x)的最大值为　　　　.  【解析】由题意得f(x)==1+,x∈[1,3], 设任意x1,x2∈[1,3],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1+-(1+)=, 由x1,x2∈[1,3],x1<x2,则x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0, 所以<0,即f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),所以f(x)在区间[1,3]上是增函数,可得f(x)max=f(3)=. 答案: 2.函数f(x)=在(1,+∞)上的值域是　　　　.  【解析】f(x)=, 令g(x)=(x-1)+2+≥2+2,所以由对勾函数的图象可知函数g(x)的值域为[2+2,+∞),所以函数f(x)的值域为(0,]. 答案:(0,] 类型3 求实际问题中的最值(数学建模) 【典例3】(2026·淄博高一检测)2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界 反法西斯战争胜利80周年纪念日,我国在北京举行了隆重的纪念大会和阅 兵仪式.阅兵过程中,需要对某军方阵进行综合评分,阅兵活动分为“阅兵式” 和“分列式”两个步骤,“综合评分”P(分)与时间t(分钟,0≤t≤12)的关系式为函 数P(t)=,其中a为训练水平系数,a>0. (1)若a=1,求P(t)在[0,12]上的最小值; (2)若要求整个受阅过程中最低评分不低于70,求训练水平系数a的最小值. 【解析】(1)若a=1,P(t)=, 当0≤t≤4时,P(t)=-t2+4t+70的对称轴为t=2,图象的开口方向向下, 则P(t)在[0,2]上为增函数,在[2,4]上为减函数 当t=0或t=4时,P(t)=70, 所以当t∈[0,4]时,P(t)的最小值为70; 当4<t≤12时,P(t)=t+≥2=4, 当且仅当t=,即t=2时,等号成立, 因为4<2≤12, 所以当4<t≤12时,P(t)的最小值为4. 因为4<70, 所以P(t)在[0,12]上的最小值为4. (2)若要求整个受阅过程中最低评分不低于70,即P(t)≥70恒成立, 当0≤t≤4时,-t2+4at+70≥70恒成立,即-t2+4at≥0,则4a≥t,即4a≥tmax=4,所以a≥1; 当4<t≤12时,t+≥70恒成立,即4a2+16≥t(70-t),则4a2+16≥[t(70-t)]max, 因为y=t(70-t)的对称轴为t=35,图象的开口方向向下,在(4,12]上为增函数, 所以当t=12时,y=t(70-t)取得最大值,最大值为696, 故4a2+16≥696,解得a≥. 所以训练水平系数a的最小值为. 【解题有招】 求解实际应用中的最值问题的步骤 (1)审题:把“问题情境”译为数学语言,找出问题中的主要关系. (2)建模:建立函数解析式,把实际问题转换成函数问题. (3)求解:选择合适的数学方法求解函数最值. (4)评价:对结果进行验证或评估,最后将结果应用于现实,作出解释. 【即学即练】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)=其中x(单位:台)是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) 【解析】(1)月产量为x台,则总成本为(20 000+100x)元, 从而f(x)= (2)当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)2+25 000. 所以当x=300时,f(x)max=25 000; 当x>400时,f(x)=60 000-100x单调递减, f(x)<60 000-100×400<25 000. 所以当x=300时,f(x)max=25 000. 即月产量为300台时利润最大,最大利润为25 000元. $