3.2.1函数的单调性(1)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，通过观察f(x)=x+1和f(x)=x²的图象变化趋势引入，从具体函数到抽象定义，结合性质辨析、证明步骤及应用，构建从直观到逻辑的学习支架。 其亮点在于以图象观察培养几何直观（数学眼光），通过定义辨析和“取值-作差-变形-定号-结论”步骤培养逻辑推理（数学思维），例题中规范符号表达（数学语言）。如用f(x)=x²探究单调性，抽象函数证明提升推理能力，助力学生深化理解，为教师提供系统教学资源。

第三章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 课时1 函数的单调性 问题 观察下列两个函数的图象，回答问题： 从左往右看，图象有什么样的变化趋势？当自变量变化时，函数值是如何变化的？     从左至右，图象呈上升趋势     函数的这种性质称为函数的单调性 f(x)随x的增大而增大 f(x)随x的增大而减小 f(x)随x的增大而增大 问题引入 先研究二次函数 f(x)＝x2 的单调性. 当x≥0时，f(x)随x的增大而增大 取x1，x2∈[0,+∞)，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22 当x1＜x2时，有f(x1)＜ f(x2)． 这时我们就说函数 f(x)＝x2 在区间[0,+∞)上是单调递增的. 探究新知 任意 当x属于开区间0到正无穷时，y随x的增大而增大，那我们用符号语言怎么去描述y随x增大而增大呢？就是说x向右方向移动的时候y向上移动，那么对于数轴上的点来说就是当x从x1变化到x2时 当x≤0时，f(x)随x的增大而减小． 任意取x1，x2∈(－∞,0］，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22， 当x1＜x2时，有f(x1)>f(x2)． 这时我们就说函数 f(x)＝x2 在区间(－∞,0］上是单调递减的.   单调递增 单调递减 定义 都有________________ , 则称函数f(x)在区间I上___________ 区间I为f(x)的_______________. 图示 都有________________, 则称函数f(x)在区间I上________ 区间I为f(x)的________________. 特别地：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数. ②若f(x)在区间I上单调递增(减)，则称f(x)在区间I具有严格的单调性. 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I ⊆ D，∀x1，x2∈I, 当x1<x2时, f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 单调递增, 单调递增区间 单调递减区间 单调递减, 注意： （1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，是局部性质；增（减）函数是对整个定义域而言的；单调区间是定义域的子集. （2）x1,x2有“任意性”，不能用特殊值判断函数的单调性. （3）若函数f(x)有多个单调区间，要用“和”或“，”连接，不能使用“∪” （4）单个的点不具有单调性.故区间端点处若有定义写开写闭均可，若无定义则只能写开区间. 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 所有函数在定义域上都具有单调性.( ) × （2） 因为，所以函数在 上单调递增.( ) × （3） 若是上的减函数，则 .( ) √ （4） 若函数在区间和上均单调递增，则函数在区间 上也单调 递增.( ) × 定义辨析 单调区间有多个时，用“，”或“和”连接 题型一：图象法判断函数的单调性 例1 定义在区间上的函数 的图象如图所示， 根据图象写出函数的单调区间以及函数 在每一单调区间上的单调性. [解析] （1）的单调区间有，，，其中 在区 间上单调递减，在区间， 上单调递增. 三、例题讲解 题型二：利用定义判断或证明函数的单调性 LOGO 9 定义域优先 ①取值 ③变形 ⑤下结论 ②作差 ④定号 ①当k>0时， 于是 ②当k<0时， 于是 一次函数的单调性必须看一次项系数k 三、例题讲解 题型一：利用定义判断或证明函数的单调性 LOGO 10 方法总结 利用定义证明函数单调性的步骤 练习： 证明函数在区间 上单调递减. 练习： 证明函数在区间 上单调递减. [解析] 设，是区间上的任意两个实数，且 ，则 . ， ，，则 ， ，即 ， 在区间 上单调递减. 13 思考：函数在区间 上具有怎样的单调性？ 巩固训练 已知函数.求证：是 上的增函数. 15 巩固训练1 已知函数.求证：是 上的增函数. [解析] 设上任意实数，满足，则 . 因为 ， 所以是 上的增函数. 16 2.判断函数 在区间(0,1)上的单调性. 巩固练习： 2.判断函数 在区间(0,1)上的单调性. 解:任意取x1, x2 ∈(0，1)，且0<x1<x2 <1 则 f(x1)－f(x2) ∵0＜x1＜x2＜1, ∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0, ∴ f(x1)－f(x2)＞0 . 即 f(x1)＞f(x2) . 故此函数在(0,1)上单调递减. 巩固练习： 探究3 函数单调性的应用 问题1: 从单调性的定义，我们知道：若f(x)在区间I上单调递增， 当 与 同号 问题2: 交换，的大小位置，式子与 的符号有什么变化？ [答案] 与 依然同号. 1.增函数满足对任意，都有 ，也可以用一个不等式来替代： 或. 减函数满足对任意 ，都有 ，相应地也可用一个不等式来替代： 或 . 20 2.判断单调性常用的几个结论： （1）函数y=与函数y=- （2）函数y=与函数y= （3）当a>0时，函数y=与函数y=a （4）若f(x)≥0,则 （5）当f(x)恒为正或恒为负时，函数y （6）在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 LOGO 3.几个常见函数的单调性 结论1：一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性，单调区间： k>0, R 上为增区间，k<0,R上为减区间 结论2：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的单调性，单调区间： a>0, 为增区间， 为减区间. a<0, 为增区间， 为减区间； 结论3：反比例函数 的单调性，单调区间： k>0,减区间为(-∞,0)和(0,+∞)；k<0,增区间为(-∞,0)和(0,+∞) 结论4：对勾函数 的单调性， 单调区间：减区间为(- ,)和(0, )；k<0,增区间为(-∞, )和(,+∞) 练一练：求f(x)= 例2 （2）作出函数 的图象， 并指出函数 的单调区间. 题型一.求单调区间 24 （2） 的图象如图所示， 由图可知，函数 的单调递减区间为 和，单调递增区间为 . 25 方法总结 （1）函数单调区间的两种求法 ①图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间. ②定义法，即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解. （2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子 集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来连 接，不能用“ ”连接；在单调区间 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者 兼有. 26 巩固训练1 函数 的单调递减区间是_________________. ， 27 巩固训练2 函数 的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性. [解析] 的单调区间有， ，其中单调递 减区间是；单调递增区间是， . 28 例3 （1）若函数在区间上单调递增，则实数 的 取值范围是__________. 变式：若函数单调递增区间，则实数 的值是__________ -4 【变式探究】 1.若本例（1）的函数在上是单调函数，求 的取值范围. 题型二.根据单调性求参数取值范围 29 【变式探究】2.若本例（2）的函数是定义在上的减函数，求 的取值范围. 例3（2）已知函数在上单调递增，且，则实数 的取值范围为________. 30 【变式探究】 2.若本例（2）的函数是定义在上的减函数，求 的取值范围. [解析] . 2.由题意可知解得 . 所以的取值范围为， . 31 巩固训练 若是定义在上的减函数，则不等式 的解集是 _______. ， [解析] 依题意，得不等式组解得 . 32 1 33 1 34 [方法总结] 由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数 题型三：抽象函数的单调性问题 题型三：抽象函数的单调性问题 证明(1):设x1<x2,即x2-x1>0 当x>0时，恒有f(x)>1,所以f(x2-x1)>1 f(x2)=f[(x2-x1)+x1)]=f(x2-x1)+f(x1)-1 所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0 所以f(x)为R上的增函数 (2)f(2)=f(1)+f(1)-1=2f(1)-1 f(3)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4所以f(1)=2 所以f(a2+a-5)<2=f(1) 因为f(x)为R上的增函数 所以a2+a-5<1即-3<a<2 即原不等式的解集为（-3，2） 1.函数在 上是减函数，则有( ) . C A. B. C. D. 2.（多选题）若函数在区间上单调递增，则对于任意的 ， ，下列结论中正确的有( ) . AB A. B. C. D. 40 3.函数在区间 上( ) . C A.单调递减 B.单调递增 C.先单调递减后单调递增 D.先单调递增后单调递减 [解析] 作出 的图象，如图所示， 所以在区间上单调递减，在区间 上单调递增. 41 4.证明：函数在 上单调递增. [解析] 设 ， 则 . ，，， ， ，即， ， 在 上单调递增. 42 https://clipchamp.com Create videos with https://clipchamp.com/en/video-editor - free online video editor, video compressor, video converter. https://clipchamp.com Create videos with https://clipchamp.com/en/video-editor - free online video editor, video compressor, video converter. 例3、若函数在上为增函数，则实数的取值范围是 . $