3.2.1函数的单调性第二课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性的定义证明，通过旧知回顾“比较函数值的必要性”导入，衔接初中图象猜想，以“取值、作差、变形、定号、结论”五步为支架，结合一次函数及体积压强实例构建知识脉络。 其亮点在于融合数学思维与现实应用，通过一次函数证明强化逻辑推理（数学思维），结合体积压强关系体现用数学眼光观察现实，五步步骤和易错辨析助学生用数学语言精确表达。学生能提升严谨推理能力，教师可借实例和结构化流程提高教学效率。

第三章 · 函数的概念与性质 3.2.1 函数的单调性 第二课时｜用定义证明单调性 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 78 页 本课处理教材例1、例2。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 学习任务 今天把图象猜想变成严格证明 02 能按定义证明一次函数的单调性。 能用作差法比较两个函数值。 能根据条件判断差式的正负。 能解释体积与压强的反向变化。 学习目标对应例1和例2。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 旧知回顾 定义证明为什么要比较两个函数值？ 03 先在区间内任取x₁＜x₂。 再判断f(x₁)与f(x₂)谁大。 最常用的入口：研究f(x₁)−f(x₂)的符号。 复习单调性定义并引出作差法。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 例题1 例1：一次函数的变化方向由k决定 04 定义域是R，任取x₁,x₂∈R且x₁＜x₂。 目标：根据k的正负判断函数值大小。 教材例1原题。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 例题1 作差后，b消去，只剩k与x₁−x₂ 05 因为x₁＜x₂，所以x₁−x₂＜0。 差式的符号只取决于k的符号。 例1核心变形，逐式核验。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 例题1 k＞0时，负数乘正数仍为负 06 k＞0，x₁−x₂＜0。 k(x₁−x₂)＜0，即f(x₁)−f(x₂)＜0。 所以f(x₁)＜f(x₂)，函数在R上单调递增。 例1第一种情况。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 例题1 k＜0时，负数乘负数变为正 07 k＜0，x₁−x₂＜0。 k(x₁−x₂)＞0，即f(x₁)−f(x₂)＞0。 所以f(x₁)＞f(x₂)，函数在R上单调递减。 例1第二种情况。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 例题1小结 一次函数的结论与初中图象认识一致 08 图象给出猜想，定义证明保证结论对任意两点成立。 b只改变直线位置，不改变变化方向。 例1结论。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 方法形成 证明单调性的五步顺序 09 取值时必须写明区间与x₁＜x₂。 定号时必须逐项说明依据。 形成定义证明的规范步骤。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 例题2 例2：体积越小，压强为什么越大？ 10 一定质量气体、温度不变，k为正常数。 要证明p关于V在(0,+∞)上单调递减。 教材例2玻意耳定律，按教材条件表述。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 例题2 任取0＜V₁＜V₂，先把压强作差 11 V₁,V₂∈(0,+∞)，且V₁＜V₂。 分子、分母逐项定号，整个分式为正。 例2作差通分，分式采用上下结构。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 例题2 差为正，所以体积越大时压强反而越小 12 k＞0，V₂−V₁＞0，V₁V₂＞0。 因此p₁−p₂＞0，即p₁＞p₂。 p=k/V在(0,+∞)上单调递减。 例2结论。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 表示连接 图象与物理语言要说同一件事 13 从左向右，曲线下降。 V增大，p减小。 等价地：V减小，p增大。 用图象、符号和物理语言连接例2结论。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 易错辨析 找错：定号不能漏掉定义域条件 14 错误：只写V₂−V₁＞0，就断定分式为正。 还必须由V₁,V₂＞0得到V₁V₂＞0。 分式符号由分子和分母共同决定。 强调定义域在定号中的作用。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 课内练习 当堂练习：证明f(x)=3x+2是增函数 15 任取x₁,x₂∈R，且x₁＜x₂。 f(x₁)−f(x₂)=3(x₁−x₂)＜0。 所以f(x₁)＜f(x₂)，f在R上单调递增。 检查：取值、作差、定号、结论是否齐全？ 对应教材第79页练习第2题，为本课当堂检测。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 课堂小结 定义证明的关键不是计算长，而是依据全 16 在目标区间内任取x₁＜x₂。 作差并变形成容易判断符号的式子。 结合区间条件逐项定号。 由函数值大小回扣递增或递减定义。 归纳例1、例2共同方法。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] 课后作业 课后作业：把证明步骤写完整 17 必做：整理教材第78页例1、例2的定义证明。 练习：教材第79页第2、3题。 预习：教材第79页例3，观察作差后的因式分解。 本页不设置动画。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第78页3.2.1例1、例2（本地PDF第85页）。 [/Sources] $