3.2.3函数的奇偶性 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，通过剪纸艺术“探究1”导入，引导学生观察f(x)=x²、g(x)=2-|x|等函数图像发现对称特征，类比单调性用符号语言抽象定义，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察图像对称，通过数学思维推导定义（强调定义域对称前提），用数学语言精确表达（f(-x)=f(x)/-f(x)）。例习题涵盖判断、求参、图像应用，培养抽象能力和推理意识，助力学生理解，方便教师教学。

第三章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 课时3 函数的奇偶性 1 剪纸-纸上的艺术 探究1 奇、偶函数 部分函数的图像也具有这样的特征，那请观察函数f(x)= x2，g(x)=2-|x|的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？ f(x)=x2 g(x)=2-|x| 新知探究 函数图像关于y轴对称 类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？ -3 -2 -1 0 1 2 3 不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表： 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等. 9 4 1 0 1 4 9 -1 0 1 2 1 0 -1 这时，我们称为偶函数 1.偶函数的定义 一般地，设函数的定义域为 ，如果___________________________________，那 么函数 就叫作偶函数. ，都有，且 ∀x∈I，都有－x∈I 定义域I关于原点对称 思考： 是偶函数吗？ 判断函数是偶函数的前提：函数的定义域关于原点对称 5 2.偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，那么这个函数的图象是以_____为对称轴的轴对称图形；反 之，如果一个函数的图象关于_____对称，那么这个函数是________. 轴 轴 偶函数 偶函数 f(x) ∀x∈I，f(－x)=f(x) 图像关于y轴对称 代数特征 几何特征 观察函数 的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？你能用符号语言精确描述这一特征吗？ 函数图像关于原点对称 新知探究 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)= x 为了用数学符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值， 观察相应函数值的情况，如下表： 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数. -3 -2 -1 0 1 2 3 这时，我们称f(x)= x, 为奇函数 3.奇函数的定义 一般地，设函数的定义域为 ，如果____________________________________，那 么函数 就叫作奇函数. ∀x∈I，都有－x∈I 定义域I关于原点对称 4.奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，那么这个函数的图象是以______为对称中心的中心对称图形； 反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，那么这个函数是奇函数. ，都有，且 原点 ∀x∈I，f(－x)= －f(x) 奇函数 f(x) 图像关于原点对称 代数特征 几何特征 （1）定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数也不是偶函数. （2）对于奇函数，若有意义，则；对于偶函数 ，必有 . （3）有的函数既不是奇函数，也不是偶函数，如 ；有的函数是奇函数，但 不是偶函数，如；有的函数是偶函数，但不是奇函数，如 ；有的函数既 是奇函数，又是偶函数，如 . 注意: 10 一、函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性. （1）；（2） ； （3）；（4） . 11 [解析] （1）的定义域为 . ， 是奇函数. （2）的定义域为 . ， 是偶函数. （3）的定义域为 . 定义域不关于原点对称， 既不是奇函数，也不是偶函数. （4）的定义域为， . ， 既是奇函数，又是偶函数. 12 巩固训练1 判断下列函数的奇偶性. （1） ； （2） ； （3） 13 [解析] （1）函数的定义域为 ，不关于原点对 称，所以 是非奇非偶函数. （2）的定义域为 ，关于原点对称. 因为，所以 为奇函数. （3）的定义域为 ，关于原点对称， 当时，，则 ； 当时，，则 . 所以 是偶函数. 14 奇偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性： 设， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有： 偶 偶 偶 偶 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 方法总结 判断函数奇偶性的方法 （1）定义法： （2）图象法． （3）性质法． 16 二、奇、偶函数图象的应用 例2 定义在上的奇函数在 上的图象如图所示. （1）画出 的图象； （2）解不等式 . 17 [解析] （1）先描出，关于原点的对称点，，连线可得 的图象，如图所示. （2）即函数图象上点的横坐标、纵坐标同号.结合图象可知， 的 解集是 . 18 【变式探究】 把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题. [解析] （1） 的图象如图所示， （2）的解集是 . 方法总结 可以利用奇（偶）函数的图象关于原点（ 轴）对称这一特性去画图、求值、解 不等式等. 19 巩固训练2 已知奇函数的定义域为，且在区间 上的图象如图所示. （1）画出函数在区间 上的图象； （2）写出使的 的取值集合. 20 [解析] （1）如图，在上的图象上选取5个关键点，，，， .分别描出它们关 于原点的对称点，，，，，再用光滑曲线连接即得函数在 上的图象. （2）由图可知，当且仅当时， . 使的的取值集合为或 . 21 探究2 利用函数的奇偶性求值或参数 问题1: 若函数是奇函数，且点是 图象上一点，则点 是否在函数图象上？ [答案] 在.因为为奇函数，所以，故点在函数 的图象上. 问题2 :对于定义域内的任意，若，则函数 是否具有奇偶性？ 若 呢？ [答案] 由，得，所以 为奇函数. 由，得，所以 为偶函数. 22 1.奇（偶）函数的定义域关于______对称. 2.函数奇偶性的概念 （1）偶函数的实质是函数图象上任一点关于 轴的对称点___________也 在 的图象上. （2）奇函数的实质是函数图象上任一点 关于原点的对称点____________ 也在 的图象上. 3.若函数是奇函数，且在处有定义，则必有 ，即函数图象必过原点. 原点 23 例3（1）若函数是偶函数，,，定义域为 ， 则____， ___. （2）已知函数是奇函数，则实数 ___. 0 0 [解析] （1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，解得 . 又函数为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 . （2）由奇函数定义有，得 ， 故 . 24 [解析] 函数的定义域为 . （法一）由已知得 又为偶函数，所以，即 ，即 . 又，所以 . （法二）由题意知，即，解得 .经检验，当 时，为偶函数，所以 . 巩固训练1 若函数为偶函数，则实数 ___. 0 25 巩固训练2 已知函数是奇函数，当时，.若 ， 则 的值为____. [解析] ，， . 26 方法总结 利用奇偶性求参数的常见类型 （1）定义域含参数：奇偶函数的定义域为 ，根据定义域关于原点对称， 利用 求参数. （2）解析式含参数：根据或 列式，利用待定系数法 求解. 27 1.函数 ( ) . B A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 [解析] 函数的定义域为.， 为偶函数. 28 2.如图，给出奇函数的部分图象，则 的值为( ) . A A. B.2 C.1 D.0 [解析] 由题图知，，又 为奇函数， 所以 . 29 3.已知函数为偶函数，则 的值是( ) . B A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 若函数为偶函数，则 ， 即 ， 整理得，故，解得 ． 30 4.已知函数 . （1）若为偶函数，求 的值； （2）求函数在 上的最值. [解析] （1） ， ， ，， . （2）的图象关于直线对称，因此在 处取得最小 值，最小值为，在 处取得最大值，最大值为24. 31 $