3.2.2.1函数的奇偶性(一)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的概念、判断方法及图象特征，通过“明辨是非”辨析定义域对称性等易错点，衔接函数定义等前置知识，以概念表格、思考问题为支架，帮助学生构建从定义到应用的认知脉络。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与直观想象，通过“定义法判断步骤”“解题有招”系统总结方法，结合奇偶函数图象补全（直观想象）、利用奇偶性求值（逻辑推理）等典例，采用“即学即练”强化应用。学生能深化概念理解与解题能力，教师可提升教学效率与针对性。

3.2.2　奇偶性 第1课时　函数的奇偶性(一) 【学习目标】 1.了解奇偶性的概念,掌握判断函数奇偶性的方法.(数学抽象、逻辑推理) 2.了解奇函数、偶函数图象的特征.(直观想象) 3.会利用函数的奇偶性求函数或参数的值.(数学运算) 函数的奇偶性 前提 设函数f(x)的定义域为D,∀x∈D,都有______ 条件 _________ __________ 结论 f(x)叫做偶函数 f(x)叫做奇函数 -x∈D f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) [思考] 1.具有奇偶性的函数,其定义域具有怎样的特点? 提示:奇、偶函数的定义域关于原点对称. 2.偶函数与奇函数的图象具有什么特征? 提示:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,反之也成立. [点睛] 1.若f(-x)=-f(x) 且f(-x)=f(x) ,则f(x)既是奇函数又是偶函数,如函数f(x)=0,x∈R. 2.若f(-x)≠-f(x) 且f(-x)≠f(x) ,则f(x)是非奇非偶函数. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数f(x)的定义域是R,且f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则f(x)是偶函数.( ) 提示:所给关系式f(-1)=f(1),f(-2)=f(2)不满足任意性. (2)函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(5)=-3,则f(-5)=3.( ) 提示:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-5)=-f(5)=3. (3)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.( ) 提示:若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0. (4)定义在A上的函数f(x)=0,既是奇函数又是偶函数.( ) 提示:函数f(x)=0的定义域A不一定关于原点对称. × √ × × 类型1 函数奇偶性的判断(逻辑推理) 【典例1】(1)(多选)(2026·岳阳高一检测)下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x)=x4-2x2　 B.f(x)=x3-2x C.f(x)=　 D.f(x)=x3+1 【解析】选BC.对于A选项,函数f(x)=x4-2x2的定义域为R, f(-x)=(-x)42(-x)2=x42x2=f(x),即函数f(x)为偶函数,A不满足题意; 对于B选项,函数f(x)=x3-2x的定义域为R, f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,B满足题意; √ √ 对于C选项,函数f(x)=的定义域为, f(-x)==-=-f(x), 即函数f(x)为奇函数,C满足题意; 对于D选项,函数f(x)=x3+1的定义域为R, 且f(-x)=(-x)3+1=-x3+1≠-(x3+1)=-f(x),即函数f(x)不是奇函数,D不满足题意. (2)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则 (　　) A.y=f(x)·g(x)是偶函数 B.y=|f(x)|·g(x)是偶函数 C.y=f(|x|)·g(x)是奇函数 D.y=|f(x)·g(x)|是奇函数 【解析】选B.对于A,y=f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x),故y=f(x)·g(x)是奇函数,故A错误; 对于B,y=|f(-x)|·g(-x)=|-f(x)|·g(x)=|f(x)|·g(x),故y=|f(x)|·g(x)是偶函数,故B正确; 对于C,y=f(|-x|)·g(-x)=f(|x|)·g(x),故y=f(|x|)·g(x)是偶函数,故C错误; 对于D,y=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)·g(x)|=|f(x)·g(x)|,故y=|f(x)·g(x)|是偶函数,故D错误. √ 【解题有招】 定义法判断函数奇偶性 【即学即练】 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)   【解析】选B.选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数. √ 类型2 奇偶函数图象的应用(直观想象) 【典例2】(易错·对对碰) (1)如图①,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;  (2)如图②,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小. 【解析】(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于原点的对称点为P'(x,-f(-x)),图③为题图①补充后的图象,易知f(3)=-2.  (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于y轴的对称点为P'(x,f(-x)),图④为题图②补充后的图象,易知f(1)>f(3). 【解题有招】 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据:奇函数⇔图象关于原点对称,偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 【即学即练】 (2026·海南高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x. (1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的单调递减区间;  (2)写出函数f(x)的解析式和值域. 【解析】(1)因为偶函数关于y轴对称,所以补出完整函数图象如图所示: 由图象可知:函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(0,1). (2)当x>0时,f(x)=f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,即f(x)=, 当x>0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,显然f(x)min=f(1)=-1, 根据偶函数的对称性可知:f(x)的值域为[-1,+∞). 类型3 利用函数的奇偶性求值(逻辑推理) 【典例3】(类题·节节高) (1)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2,那么f(-1)=(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】选A.因为函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2, 所以f(-1)=-f(1)=-(12+2)=-3. √ (2)已知函数f(x)=ax3+bx-+2,若f(2 026)=6,则f(-2 026)=(　　) A.-8 B.-6 C.-4 D.-2 【解析】选D.设g(x)=ax3+bx-,函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), g(-x)=-ax3-bx+=-g(x),函数g(x)为奇函数,f(2 026)=g(2 026)+2=6, 故g(2 026)=4,f(-2 026)=g(-2 026)+2=-g(2 026)+2=-2. √ (3)设偶函数f(x)=,则g(-2)=　　　　;  【解析】因为f(x)为偶函数,所以g(-2)=f(-2)= f(2)=22+2=6. 答案:6 【解题有招】 利用奇偶性求值的解题策略 若自变量的取值不在已知的范围内,可利用奇偶性将未知的值(区间)转化为已知的值(区间),必要时需构造奇函数或偶函数便于求值. 【即学即练】 1.已知函数y=xf(x)+2是R上的偶函数,若f(-3)=2,则f(3)=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【解析】选A.y=xf(x)+2是偶函数,则-3f(-3)+2=3f(3)+2, 且f(-3)=2,代入得f(3)=-2. √ 2.(2026·曲靖高一检测)已知f(x)=ax3+,且f(-2)=-7,则f(2)=　　　　.  【解析】f(-x)=a(-x)3+=-ax3+, 则f(x)+f(-x)=ax3+-ax3+=4, 则f(-2)+f(2)=4,故f(2)=4-(-7)=11. 答案:11 $