3.1.1 函数的概念(1)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数概念，通过回顾初中函数定义及解析式，结合列车运行、工资计算等现实问题导入，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生归纳函数的定义域、对应关系和值域三要素。 其特色在于以现实情境为载体，培养学生用数学眼光观察数量关系，通过对比分析不同对应关系发展数学思维，用区间规范表达数集强化数学语言。例题与训练层层递进，助力学生深化概念理解，教师可高效开展概念教学。

第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 课时1 函数的概念 1 问题2：初中对函数概念是怎样定义的？ 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数. 问题1：在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？ 一次函数： 二次函数： 反比例函数： 思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？ 不正确：忽略了t的变化范围 问题1：某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为？ 对应关系 时间的范围 路程的范围 一、新课导入 问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ 对应关系 工作天数的范围 工资的范围 S与t的关系是：S=350t ① t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}, S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}. w与d的关系是：w=350d ② d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}, w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}. 思考：问题1、2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗?为什么? 总结归纳 在问题1中 在问题2中 问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻的空气质量指数的值？你认为这里的是的函数吗？ 对应关系 时间范围 空气质量范围 问题4 国际上常用恩格尔系数r反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况. 时间 （年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔 系数r （%） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那么t和r的变化范围分别是什么？ A4={1991，1992，…，2001}，B4={0<r≤1} 思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关系是否为函数？ 　 思考：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征?你能由此概括出函数概念的本质特征吗? 解析式 图 表 一个对应关系、两个非空数集 f 新知生成 函数的定义 一般地，设 ， 是_______________，如果对于集合 中的_______________，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有_________________和它对应，那么就称___________为从集合 到集合 的一个函数 函数的记法 ___________， 定义域 叫作自变量， 的_____________叫作函数的定义域 值域 函数值的集合 叫作函数的值域 非空的实数集 任意一个数 <m></m> 唯一确定的数 <m></m> <m></m> <m></m> 取值范围 <m></m> 特别提醒:对于函数的定义,需注意:(1)集合A,B都是非空数集;(2)集合A中元素的无剩余性; (3)集合B中元素的可剩余性,即集合B不一定是函数的值域,函数的值域一定是B的子集. 10 函数的三要素 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为_________、___________和_______. 定义域 对应关系 值域 1 2 3 1 2 3 4 5 6 A B 乘以2 1 -1 2 -2 3 -3 1 4 9 A B 求平方 9 4 1 3 -3 2 -2 1 -1 A B 开平方 一对一 多对一 一对多 思考 判断下列对应是否是函数 1 2 3 1 2 3 5 6 A B 乘以2 新知运用 例1 （1） 设 <m></m> ， <m></m> ，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合 到集合 的函数关系的个数是( @25@ ). A. B. C. D. B 13 方法总结 1.判断对应关系是否为函数的两个条件 （1） <m></m> ， <m></m> 必须是非空数集. （2） <m></m> 中任意一元素在 <m></m> 中有且只有一个元素与之对应. 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系. 2.根据图形判断是否为函数的方法 （1）任取一条垂直于 <m></m> 轴的直线 <m></m> . （2）在定义域内平行移动直线 <m></m> . （3）若 <m></m> 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 14 1.下列图形中可以表示以 为定义域，以 为值域的函数的图象是( @29@ ). A. B. C. D. C 15 例1（2） （多选题）下列对应关系是实数集 上的函数的是( @27@ ). A. ：把 对应到 B. ：把 对应到 C. ：把 对应到 D. ：把 对应到 AB 16 巩固训练2 下列对应关系或关系式中是从到 的函数的是( ) . B A.，， B.，2，3，，， ，对应关系如图： C.，， D.，， 17 新知生成 区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 探究2 区间 18 定义 名称 符号 数轴表示 取遍数轴上所有的值 特别提醒:(1)“∞”读作无穷大,是一个符号,不是数,以-∞或+∞作为区间一端时,这一端必须是小括号.(2)区间是数集的另一种表示方法,区间的两个端点必须保证左小、右大. 19 新知运用 一、用区间表示数集 例2 把下列数集用区间表示，并在数轴上表示出来. （1） <m></m> ； （2） <m></m> ； （3） <m></m> . 方法指导：用区间表示数集的关键是确定开、闭区间，含“或”的数集用符号“ ”连接区间 20 [解析] （1）用区间表示为 ，用数轴表示如下： （2）用区间表示为 ，用数轴表示如下： （3）或用区间表示为 ，用数轴表示如下： 例2 把下列数集用区间表示，并在数轴上表示出来. （1） <m></m> ； （2） <m></m> ； （3） <m></m> . 方法总结 应用区间时的三个注意点： （1）区间是数集，区间的左端点小于右端点； （2）在用区间表示集合时，开和闭不能混淆； （3）用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点. 二、求函数的定义域 例3 求下列函数的定义域. （1） <m></m> ； （2） <m></m> ； （3） <m></m> . 方法指导：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于或等于0即可. 23 [解析] （1）当且仅当，即时，函数 有意义， 所以这个函数的定义域为 . （2）要使该函数有意义，则解得且 ， 所以这个函数的定义域为 . （3）要使该函数有意义，则解得 ， 所以这个函数的定义域为 . 例3 求下列函数的定义域. （1） <m></m> ； （2） <m></m> ； （3） <m></m> . 方法总结 求函数定义域的常用方法： （1）若 <m></m> 是分式，则应考虑使分母不为零. （2）若 <m></m> 是偶次根式，则被开方数大于或等于零. （3）若 <m></m> 是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. （4）若 <m></m> 是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. （5）若 <m></m> 是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 25 巩固训练1 已知集合 ，集合 ，则 用区间可表示为__________________________. 巩固训练1 已知集合 ，集合 ，则 用区间可表示为__________________________. [解析] ， . ， . 或或 ，即 . 巩固训练2 求函数 的定义域 ． 巩固训练2 求函数 的定义域 ． [解析] 由函数有意义，得解得 ， 所以函数的定义域为 ． 1.下列四种说法中，不正确的是( @41@ ). A.在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 B 30 2.集合 用区间可表示为( @43@ ). A. B. C. D. A 3.设 是集合 到集合 的函数，若集合 ，则集合 不可能是( @45@ ). A. B. C. D. D 4.函数 <m></m> 的定义域为 <m></m> ， <m></m> 的定义域为 <m></m> ，求 <m></m> . [解析] 函数的定义域为，的定义域为 ，从而 ，，所以 . 31 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 任何两个集合之间都可以建立函数关系.( ) × （2） 函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合.( ) × （3） 根据函数的定义，定义域中的任何一个 可以对应着值域中不同的 .( ) × （4） 在函数的定义中，集合 是函数的值域.( ) × 2.函数 的定义域为( @8@ ). A. B. C. D. D 32 3.（多选题）下列图形中， 是 的函数的是( @10@ ). A. B. C. D. ABC 4.若 为一确定区间，则 的取值范围是_ _________. ， 33 $