第二十八章 旋转 单元卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学“旋转”单元复习卷，全面覆盖中心对称、旋转性质、坐标变换等核心知识，通过基础题与综合探究题结合，培养空间观念、推理能力及创新意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形判断（第1题）、旋转角计算（第2题）、中心对称点坐标（第3题）|基础概念与图形性质结合，注重空间观念| |填空题|6/18|旋转对称图形（第11题）、正方形旋转计算（第14题）、等边三角形旋转综合（第16题）|融入特殊图形，强化几何直观| |解答题|8/72|旋转作图（17题）、矩形旋转证明（18题）、动态旋转探究（23题）、实践应用（24题）|分层次设计，23题三问递进，24题结合动态问题，培养推理能力与创新意识|

第二十八章 旋转（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A不是轴对称图形，是中心对称图形，故不合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； C不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； D是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； 2、如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， 即旋转角的度数为， 3、已知点与点关于原点对称，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 则点在第三象限， 4、如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【详解】点、分别是边、的中点， ，AE=EC 将△ADE绕点E旋转180°得△CFE， ， ，四边形ADCF是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 5、如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE， ∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=， ∴选项A、C不一定正确， ∴∠A =∠EBC， ∴选项D正确． ∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于， ∴选项B不一定正确； 6、如图，已知，，，将△ABC 先向左平移个单位，再绕原点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 将△ABC先向左平移个单位后点坐标为， 点关于原点对称的点， 7、如图，将△ABC绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵将△ABC绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到， ∴，，，但与不一定平行， 故不符合题意， 符合题意， 8、如图，将△ABC绕点B（0，1）旋转180°得到△A1BC1，设点C的坐标为（m，n），则点C1的坐标为（　　） A．（﹣m，﹣n﹣2） B．（﹣m，﹣n﹣1） C．（﹣m，﹣n+1） D．（﹣m，﹣n+2） 【答案】D 【详解】解：设C1（x，y）， 由题意：BC＝BC1， ∴＝0，＝1， ∴x＝﹣m，y＝2﹣n， ∴C1（﹣m，2﹣n）， 9、已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ） A. 点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 B. 点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为 C. 点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 D. 点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为 【答案】D 【详解】解：A、点与点关于轴对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意； B、点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点的坐标为，则此项错误，不符合题意； C、点与点关于原点中心对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意； D、点先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点，则点的坐标为，即为，则此项正确，符合题意； 10、在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ） A. （4n﹣1，） B. （2n﹣1，） C. （4n+1，） D. （2n+1，） 【答案】C 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣， ∴点A2的坐标是（3，﹣）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣， ∴点A4的坐标是（7，﹣），…， ∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n+1的纵坐标是， ∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 【答案】72 【详解】解：因为该图形被平分成五部分，这五部分完全重合， 所以每个部分形成的角度：． 即旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为：72． 12、已知点关于原点对称的点为，则的值为 . 【答案】1 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：1． 13、 如图，把△ABC绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的大小为__________． 【答案】 【详解】解：把△ABC绕点A逆时针旋转，得到， ，， ， 故答案为：． 14、如图，是正方形中边上的中点，，把绕点顺时针旋转得到， 若连接，则__________． 【答案】 【详解】解：连接EF， ∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝AD＝4， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CD＝2， ∴AE＝， ∴EF＝， 故答案为：． 15、如图，P为等边△ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为_________． 【答案】 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图， ∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°， 在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4， ∴AE2＝PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°， ∴∠APB＝90°+60°＝150°． ∴∠APF＝30°， ∴在直角△APF中，AFAP，PFAP． ∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4）2+（）2＝25+12． 则△ABC的面积是•AB2•（25+12）． 故答案为： 16、如图，在等边△ABC中，是上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得△BAE，连接，若，，则下列说法：①；②；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9，其中正确的有_____________（只填序号） 【答案】①③④ 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴，， ∵将绕点B逆时针旋转，得△BAE， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵将绕点B逆时针旋转，得△BAE， ∴，， ∴△BDE是等边三角形，故③正确； ∵在中，， ∴，即， ∴，故②错误； ∵，， ∴△ADE的周长，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)作出关于点O成中心对称的； (2)以点O为旋转中心，将绕点O逆时针旋转得，画； (3)若点是边上的一个动点，则点P在边上的对应点的坐标是_______． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：∵和关于点O成中心对称， ∴关于点O成中心对称的点的坐标是． 18、如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当点在上时，求证：． 【答案】见详解 【详解】∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG， 由旋转可得， ∴AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD， ∴∠AEB=∠ABE， 又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF， ∴∠EDA=∠DEF， 在△DEF和△EDA中， ， ∴△DEF≌△EDA（SAS）． 19、如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合. （1）旋转中心是点 ，旋转了 度； （2）如果，，求的长. 【答案】（1）A，90；（2）. 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∴△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合， 即旋转中心是点A，旋转了90度； 故答案为A，90； （2）∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合， ∴BF=DE，S△ABF=S△ADE， 而CF=CB+BF=8， ∴BC+DE=8， ∵CE=CD-DE=BC-DE=4， ∴BC=6， ∴AC=BC=． 20、如图，点O为等边△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM，连接CM，OM． （1）求证：AO＝CM； （2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明． 【答案】（1）见详解 （2）直角三角形，证明见详解 【详解】 （1）证明：∵BO绕点B顺时针旋转60°到BM ∴∠OBM＝60°，OB＝BM， ∵△ABC为等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB=CB ∴∠ABO+∠OBC=∠CBM+∠OBC=60° ∴∠ABO＝∠CBM， 在△AOB和△CMB中， ∴△AOB≌△CMB（SAS）， ∴AO＝CM． （2）△OMC是直角三角形；理由如下： ∵BO绕点B顺时针旋转60°到BM ∴∠OBM＝60°，OB＝BM， ∴△OBM为等边三角形 ∴OB=OM=10 由（1）可知OA=CM=8 在△OMC中，OM2＝100，OC2+CM2＝62+82＝100， ∴OM2＝OC2+CM2， ∴△OMC是直角三角形． 21、在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4．D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰，设旋转角为，记直线与的交点为P． （1）如图1，当时，线段的长等于______，线段的长等于______；（直接填写结果） （2）如图2，当时，求证：． 【答案】（1）， （2）见详解 【小问1详解】 解：∵∠CAB＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点， ∴AE＝AD＝2， ∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°）， ∴当α＝90°时，AE1＝2，∠E1AE＝90°， ∴BD1＝＝，，E1C＝， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图，连接CE1， ∵∠BAC＝∠D1AE1＝90°， ∴∠CAE1＝∠D1AB， 在△ABD1和△ACE1中 ∴△ABD1≌△ACE1（SAS）， ∴BD1＝CE1． 22、如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F． （1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； （3）在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明． 【答案】（1）见详解 （2）见详解（3）45°，见详解 【小问1详解】 证明：如图， ∵平行四边形ABCD中，ADBC， ∴AFBE， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， 又∵旋转角为90°时，∠AOF＝90°， ∴∠BAC＝∠AOF， ∴ABEF， ∴四边形ABEF是平行四边形． 【小问2详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，ADBC， ∴∠OAF＝∠OCE， ∵∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE（ASA）． ∴AF＝CE． ∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等． 【小问3详解】 当AC绕点O顺时针旋转45度时，四边形BEDF是菱形． 理由如下： 由（2）知：AF＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∴DF＝BE，DFBE， ∴四边形BEDF是平行四边形． 如图： ∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝AC＝1， ∴AO＝AB， ∵AB⊥AC， ∴∠AOB＝45° ∵AC绕点O顺时针旋转45度， ∴∠AOF＝45°， ∴∠BOF＝90°， ∴EF⊥BD． ∴四边形BEDF是菱形． 23、△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 【答案】（1） ， （2）成立，理由见详解 （3） 【小问1详解】 ，，证明如下： 在和中， ∵ ∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC,CD=CE ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 成立，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H， 由旋转性质可得：，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 在Rt△DCH中：， ∵， ∴，即， 在△ACD和△BCH中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，． 24、实践探究题 【问题情境】 在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，，，点为斜边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点为等腰直角三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，，三点共线，求证：； （3）【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长为，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．点在运动过程中，当的周长最小时，的长为______（直接写答案）． 【答案】（1），证明见详解 （2）见详解 （3）2 【小问1详解】 解：，理由如下， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，即，， ∴△ABC,△ADE都是等腰直角三角形， ∴， 又，，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据题意，， 同理，， ∴， ∴的周长为， 又∵△ABC,△ADE都是等腰直角三角形， ∴， ∴的值越小，则的值越小，由此的周长最小， 根据点到直线，垂线段最短，如图所述，过点作于点， ∴当点重合，即时，的值最小，则的值最小， ∴的周长最小，此时， 故答案为：． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2、如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 3、已知点与点关于原点对称，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4、如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 5、如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6、如图，已知，，，将△ABC 先向左平移个单位，再绕原点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是(    ) A． B． C． D． 7、如图，将△ABC绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8、如图，将△ABC绕点B（0，1）旋转180°得到△A1BC1，设点C的坐标为（m，n），则点C1的坐标为（　　） A．（﹣m，﹣n﹣2） B．（﹣m，﹣n﹣1） C．（﹣m，﹣n+1） D．（﹣m，﹣n+2） 9、已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ） A. 点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 B. 点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为 C. 点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 D. 点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为 10、在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ） A. （4n﹣1，） B. （2n﹣1，） C. （4n+1，） D. （2n+1，） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 12、已知点关于原点对称的点为，则的值为 . 13、 如图，把△ABC绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的大小为__________． 14、如图，是正方形中边上的中点，，把绕点顺时针旋转得到， 若连接，则__________． 15、如图，P为等边△ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为_________． 16、如图，在等边△ABC中，是上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得△BAE，连接，若，，则下列说法：①；②；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9，其中正确的有_____________（只填序号） 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)作出关于点O成中心对称的； (2)以点O为旋转中心，将绕点O逆时针旋转得，画； (3)若点是边上的一个动点，则点P在边上的对应点的坐标是_______． 18、如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当点在上时，求证：． 19、如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合. （1）旋转中心是点 ，旋转了 度； （2）如果，，求的长. 20、如图，点O为等边△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM，连接CM，OM． （1）求证：AO＝CM； （2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明． 21、在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4．D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰，设旋转角为，记直线与的交点为P． （1）如图1，当时，线段的长等于______，线段的长等于______；（直接填写结果） （2）如图2，当时，求证：． 22、如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F． （1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； （3）在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明． 23、△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 24、实践探究题 【问题情境】 在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，，，点为斜边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点为等腰直角三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，，三点共线，求证：； （3）【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长为，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．点在运动过程中，当的周长最小时，的长为______（直接写答案）． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $