广东省汕头市龙湖区2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 结合“哭哭马”热销、赵爽弦图等素材，分层考查一元二次方程、二次函数及几何综合，体现数学建模与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次函数图象变换|结合矩形羊圈面积考查方程应用| |填空题|5/15|方程根、二次函数顶点坐标|以抛物线矩形对角线考最值| |解答题|8/55|方程求解、二次函数综合、几何证明|“哭哭马”销量增长考方程应用，赵爽弦图验证勾股定理渗透文化|

2026-2027广东省汕头市龙湖区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x+2y﹣1＝0 B． C．2x+6＝0 D．x2﹣1＝0 2．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 3．（3分）将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的二次函数的表达式是（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣3 4．（3分）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 5．（3分）如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（　　） A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600 6．（3分）二次函数y＝3（x﹣5）2﹣1的最小值为（　　） A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣1 7．（3分）已知（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝（x﹣3）2+2上的点，则（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 8．（3分）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）﹣12＝0，则x2+y2的值是（　　） A．﹣3 B．4 C．﹣4或3 D．4或﹣3 9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣2 ﹣3 ﹣3 ﹣2 0 … 则如下结论错误的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．抛物线与y轴的交点坐标为（﹣3，0） D．当时，y随x的增大而减小 10．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝2 B．2m﹣n＝1 C．m+2n＝2 D．m﹣n＝1 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）若是方程x4+ax2+b＝0的两根，则关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根分别是　 　 ． 12．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+2，当x＞1时，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的a的值：　 　 ． 13．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣3向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为　 　 ． 14．（3分）方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则m的范围　 　 ． 15．（3分）在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+2x﹣6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程：x2﹣14x＝1． 17．（7分）二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，其左侧函数图象如图． （1）根据题目信息，画出对称轴的右侧的函数图象； （2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）位于对称轴右侧的抛物线上，且x1＜x2，试比较y1与y2的大小关系． 18．（7分）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根比另一个根大3，求m的值． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．点P在该抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当△PAD的面积是3时，求点P的坐标． 20．（9分）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． （1）求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 21．（9分）“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）请用图2验证勾股定理； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求ab的值； ②求（a+b）2的值． 五．解答题（共2小题，满分13分） 22．（13分）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）延长BC到点H，使得CH＝DF，连接DH，判断△DEH的形状，并说明理由． 类比迁移： （3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AFD＝60°，DF＝5，CE＝1，求CD的长． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）作直线BC，点D是直线BC上方抛物线上的一动点，连接OD与直线BC交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； （3）将抛物线y＝﹣x2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y′，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c上一个动点，作以点P为中点的线段MN，且MN∥x轴，MN＝2．设点P的横坐标为m，若线段MN与抛物线y′有交点，求m的取值范围． 2026-2027广东省汕头市龙湖区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x+2y﹣1＝0 B． C．2x+6＝0 D．x2﹣1＝0 【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【解答】解：A、方程3x+2y﹣1＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程0含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程2x+6＝0最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程x2﹣1＝0只含一个未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【分析】根据题意，把x＝2，代入方程，得到关于a的等式，即可求得结果． 【解答】解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解， ∴22+2a﹣a＝0， ∴4+a＝0， ∴a＝﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 3．（3分）将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的二次函数的表达式是（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣3 【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可． 【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 得到的抛物线相应的函数表达式为：y＝（x+3）2+2，即y＝（x+3）2+2， 故选：A． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 4．（3分）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 【分析】根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，再求出P1、P2、P3到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【解答】解：由条件可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵1﹣（﹣1）＝2，，6﹣1＝5，， ∴y3＞y1＞y2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握以上知识点是关键． 5．（3分）如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（　　） A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600 【分析】根据题意用含x的代数式表示出BC长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【解答】解：由题意得，BC＝60+2﹣2x＝（62﹣2x）m， 根据羊圈的面积为600m2，得x（62﹣2x）＝600， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式，理解题意是解题的关键． 6．（3分）二次函数y＝3（x﹣5）2﹣1的最小值为（　　） A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣1 【分析】由题知二次函数已为顶点式，直接由顶点坐标可得最小值． 【解答】解：根据二次函数顶点式特征可知：二次函数y＝3（x﹣5）2﹣1为顶点式， 其中a＝3＞0，h＝5，k＝﹣1， ∴当x＝5时，函数取得最小值y＝﹣1． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数顶点式的性质，熟练掌握该知识点是关键． 7．（3分）已知（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝（x﹣3）2+2上的点，则（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【分析】依据题意，由抛物线为y＝（x﹣3）2+2，则抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝（x﹣3）2+2上的点，可得|1﹣3|＝2＜|﹣2﹣3|＝5＜|﹣4﹣4|＝8，进而可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝（x﹣3）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝（x﹣3）2+2上的点， ∴|1﹣3|＝2＜|﹣2﹣3|＝5＜|﹣4﹣4|＝8． ∴y3＜y2＜y1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8．（3分）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）﹣12＝0，则x2+y2的值是（　　） A．﹣3 B．4 C．﹣4或3 D．4或﹣3 【分析】设t＝x2+y2，则原方程化为t（t﹣1）﹣12＝0，再解关于t的一元二次方程，然后根据非负数的性质确定x2+y2的值． 【解答】解：设t＝x2+y2，则原方程化为t（t﹣1）﹣12＝0， 整理得t2﹣t﹣12＝0， 解得t1＝﹣3，t2＝4， 当t＝﹣3时，x2+y2＝﹣3，不合题意舍去， 所以x2+y2＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了整体换元法解一元二次方程．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣2 ﹣3 ﹣3 ﹣2 0 … 则如下结论错误的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．抛物线与y轴的交点坐标为（﹣3，0） D．当时，y随x的增大而减小 【分析】由表格中的数据可知抛物线经过点（﹣2，0），（3，0），（0，﹣3），根据待定系数法求出，然后通过二次函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：根据表格中的数据可知： ，解得：， ∴， A、∵，， ∴抛物线的开口向上，原选项正确，不符合题意； B、∵， ∴抛物线的对称轴是直线，原选项正确，不符合题意； C、在函数中，当x＝0时，y＝﹣3， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），原选项错误，符合题意； D、由上得抛物线的对称轴是直线，， ∴抛物线的开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，原选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝2 B．2m﹣n＝1 C．m+2n＝2 D．m﹣n＝1 【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N， ∵点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上，A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0）， ∴点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4）， ∴AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°， ∴∠CDN＝∠DAM． 在△CDN和△DAM中， ， ∴△CDN≌△DAM（AAS）， ∴DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， ∴MN＝DM+DN＝m+n， 又∵MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2， ∴m2﹣n2＝m+n， 即（m+n）（m﹣n）＝m+n， ∵m＞n＞0， ∴m+n≠0， ∴m﹣n＝1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）若是方程x4+ax2+b＝0的两根，则关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根分别是x或x　 ． 【分析】依据题意，由是方程x4+ax2+b＝0的两根，则，从而a＝﹣10，b＝1，进而方程ax2+bx+2＝0为﹣10x2+x+2＝0，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵是方程x4+ax2+b＝0的两根， ∴， ∴a＝﹣10，b＝1． ∴方程ax2+bx+2＝0为﹣10x2+x+2＝0， ∴（2x﹣1）（5x+2）＝0． ∴2x﹣1＝0或5x+2＝0． ∴x或x． 故答案为：x或x． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 12．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+2，当x＞1时，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的a的值：　1（答案不唯一）　 ． 【分析】由当x＞1时，y随x的增大而增大可知抛物线开口向上，据此写出一个a的值即可． 【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+2， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵当x＞1时，y随x的增大而增大 ∴抛物线开口向上，a＞0， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 13．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣3向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为　（0，﹣4）　 ． 【分析】依据题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，结合y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，又向右平移1个单位长度，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意得，抛物线为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4． 根据“左加右减，上加下减”的平移规律，∵抛物线向右平移1个单位长度， ∴新抛物线为y＝（x+1﹣1）2﹣4即y＝x2﹣4． ∴顶点坐标为（0，﹣4）． 故答案为：（0，﹣4）． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质，解题时要熟练并灵活运用二次函数的性质是关键． 14．（3分）方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则m的范围m≤3且m≠2　 ． 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为零，且根的判别式大于等于零即可求解． 【解答】解：由题意得，Δ＝4﹣4（m﹣2）≥0且m﹣2≠0， 解得m≤3且m≠2， 故答案为：m≤3且m≠2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义．熟练掌握以上知识点是关键． 15．（3分）在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+2x﹣6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为　5　 ． 【分析】先求得抛物线的顶点坐标为（1，﹣5），进而求得AC的最小值为5，再根据矩形的性质得到BD＝AC即可解答． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣6＝﹣（x﹣1）2﹣5， ∴顶点坐标为（1，﹣5）， ∵AC⊥x轴， ∴yA＝AC， ∴当点A在抛物线的顶点处时，点A到x轴的距离最小，即AC的最小值为5， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD＝AC． ∴对角线BD的最小值为5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、矩形的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程：x2﹣14x＝1． 【分析】先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：原方程配方可得： x2﹣14x+49＝1+49， （x﹣7）2＝50， ， ，． 【点评】本题考查了配方法解方程，熟练掌握该知识点是关键． 17．（7分）二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，其左侧函数图象如图． （1）根据题目信息，画出对称轴的右侧的函数图象； （2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）位于对称轴右侧的抛物线上，且x1＜x2，试比较y1与y2的大小关系． 【分析】（1）根据题意，画出对称轴的右侧的函数图象即可； （2）根据二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）如图所示， ； （2）因为抛物线的开口向上， 所以在对称轴右侧的部分y随x的增大而增大． 因为点A（x1，y1），B（x2，y2）位于对称轴右侧的抛物线上，且x1＜x2， 所以y1＜y2． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 18．（7分）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根比另一个根大3，求m的值． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝m2，则Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）设方程的两根分别为t，t+3，利用根与系数的关系得t+t+3＝m+4，t（t+3）＝2m+4，先消去m得到t2+3t＝2（2t﹣1）+4，解得t1＝﹣1，t2＝2，然后计算m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×（2m+4） ＝m2+8m+16﹣8m﹣16 ＝m2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设方程的两根分别为t，t+3， 根据根与系数的关系得t+t+3＝m+4，t（t+3）＝2m+4， ∴m＝2t﹣1 t2+3t＝2（2t﹣1）+4， 整理得t2﹣t﹣2＝0， 解得t1＝﹣1，t2＝2， 当t＝﹣1时，m＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3； 当t＝2时，m＝2×2﹣1＝3， 综上所述，m的值为±3． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根与系数的关系． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．点P在该抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当△PAD的面积是3时，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法可求函数解析式，化成顶点式即可得解； （2）由题意易得P（m，m2﹣4m+3），D（2，0），根据三角形的面积，即可得解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴该抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）； （2）由题意可得P（m，m2﹣4m+3），D（2，0）， ∴AD＝1， ∴， 解得：， ∴或， 当△PAD的面积是3时，求点P的坐标为或． 【点评】本题主要考查二次函数与几何的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 20．（9分）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． （1）求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x，利用该毛绒小马3月份的销量＝该毛绒小马1月份的销量×（1+该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（30﹣y﹣15）元，日销售量为（70+10y）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【解答】解：（1）设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：20（1+x）2＝24.2， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为10%； （2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（30﹣y﹣15）元，日销售量为（70+10y）件， 根据题意得：（30﹣y﹣15）（70+10y）＝1200， 整理得：y2﹣8y+15＝0 解得：y1＝3，y2＝5， 又∵要尽快减少库存， ∴y＝5， 答：每件应降价5元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（9分）“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）请用图2验证勾股定理； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求ab的值； ②求（a+b）2的值． 【分析】（1）利用两种不同的方法计算正方形的面积，列等式化简即可验证； （2）①将大正方形的面积代入a2+b2＝c2得a2+b2＝13，将小正方形的面积代入（a﹣b）2＝3得ab＝5；②利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可； 【解答】解：（1）∵小正方形的面积为（a﹣b）2，大正方形的面积为c2，一个直角三角形面积为， ∴， 整理得c2＝a2+b2， 即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）①∵大正方形的面积为13， ∴c2＝13， 又∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝13， ∵小正方形的面积为3， ∴（a﹣b）2＝3， 即a2﹣2ab+b2＝3， 将a2+b2＝13代入得13﹣2ab＝3， 解得2ab＝10， ∴ab＝5． ②由①知a2+b2＝13，2ab＝10， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+10＝23． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 五．解答题（共2小题，满分13分） 22．（13分）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）延长BC到点H，使得CH＝DF，连接DH，判断△DEH的形状，并说明理由． 类比迁移： （3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AFD＝60°，DF＝5，CE＝1，求CD的长． 【分析】（1）根据矩形性质，得到∠ADE＝∠BAF，证明△ADE≌△BAF，得到AD＝AB从而得出结论； （2）先证明△ADE≌△BAF（AAS），得到DF＝EC，再证明△DCE≌△ECH（SAS）得到DE＝DH，即可得出结论； （3）延长BC至H，使CH＝DF＝5，连DH，通过菱形性质证明△ADF≌△DCH，得到△DEH是等边三角形，过D作DM⊥EH于M，通过勾股定理即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， 在△ADE和△BAF中， ， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴AD＝AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形； （2）解：△DEH是等腰三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠DCH＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠ADC＝∠AGD＝90°， ∴∠EDC+∠ADG＝90°，∠DAF+∠ADG＝90°， ∴∠EDC＝∠DAF， ∵DE＝AF，AD＝DC， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴DF＝EC， ∵CH＝DF， ∴EC＝CH， ∵DC⊥BH， ∵DC＝DC ∴△DCE≌△ECH（SAS） ∴DE＝DH， ∴△DEH是等腰三角形； （3）解：如图，延长BC至H，使CH＝DF＝5，连DH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，CD＝AD， ∴∠ADC＝∠DCH， 在△ADF和△DCH中， ∵AD＝DC，∠ADC＝∠DCH，DF＝CH， ∴△ADF≌△DCH（SAS）， ∴DH＝AF，∠ADF＝∠H， 又∵AF＝DE， ∴DH＝DE， ∴∠AFD＝∠H＝60°， ∴△DEH是等边三角形， ∴DH＝EH＝EC+CH＝1+5＝6， 过D作DM⊥EH于M， 则， 在Rt△DMH中， 在Rt△DMC中，CM＝EM﹣CE＝3﹣1＝2， ∴， 即CD的长为． 【点评】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）作直线BC，点D是直线BC上方抛物线上的一动点，连接OD与直线BC交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； （3）将抛物线y＝﹣x2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y′，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c上一个动点，作以点P为中点的线段MN，且MN∥x轴，MN＝2．设点P的横坐标为m，若线段MN与抛物线y′有交点，求m的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过D作DH∥OC交BC于H，求解直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设D（m，﹣m2+2m+3），可得DH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，证明△DHE∽△OCE，再进一步求解即可． （3）求解y′＝﹣（x﹣3）2+2，可得顶点坐标为：（3，2），设P（m，﹣m2+2m+3），当顶点（3，2）在线段MN上时，可得，如图，当M（m﹣1，﹣m2+2m+3）在y′＝﹣（x﹣3）2+2上时，可得：，进一步可得答案． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．将点A ，点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图，过D作DH∥OC交BC于H， 设直线BC的解析式为y＝kx+n，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得： ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设D（m，﹣m2+2m+3）， ∴H（m，﹣m+3）， ∴DH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵DH∥OC， ∴△DHE∽△OCE， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴； （3）将抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y′， ∴y′＝﹣（x﹣3）2+2， ∴顶点坐标为：（3，2）， 如图2， 设P（m，﹣m2+2m+3）， 当顶点（3，2）在线段MN上时， ∴﹣m2+2m+3＝2， 解得：，（不合题意，舍去）， 如图3，当M（m﹣1，﹣m2+2m+3）在y′＝﹣（x﹣3）2+2上时， ∴﹣（m﹣1﹣3）2+2＝﹣m2+2m+3， 解得：， 综上所述，线段MN与抛物线y′有交点，m的取值范围为． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，平行线的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/2 15:47:59；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $