5.3 实际问题与一元一次方程（课时2） 教学设计 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦销售盈亏问题，通过购物折扣情境导入，制造“直观判断可能出错”的认知冲突，衔接已学的一元一次方程解法，搭建从概念梳理到数量关系推导的学习支架，帮助学生理解进价、售价、利润率等核心概念。 此资料亮点在于以典例“两件售价60元的衣服一盈25%一亏25%”引导学生经历“估计-列方程-检验”过程，突破直觉误区，体现数学思维（推理意识）与数学语言（模型意识）。分层练习从单件到多件，巩固数量关系，提升学生数据分析能力，为教师提供清晰的教学逻辑与实践路径。

5.3 实际问题与一元一次方程 （课时2：销售盈亏问题）教学设计 课题 5.3 实际问题与一元一次方程（课时2：销售盈亏问题） 学科 数学 年级 七年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 1.经历销售盈亏实际问题的分析过程，理解进价、售价、利润、利润率之间的数量关联，掌握相关公式的推导逻辑，能依托等量关系列出一元一次方程并规范完成求解。 2.能分别对单件商品、多件组合商品开展盈亏分析，通过计算总进价与总售价判断整体盈亏情况，熟练完成销售类问题的建模与运算。 3.体会将复杂销售情境转化为一元一次方程的建模思想，提升生活经济类实际问题的数据分析、逻辑推理与问题解决能力。 教学重点 梳理销售问题里进价、售价、利润率的核心数量关系，依据等量关系列一元一次方程求解，能通过总进价、总售价判断整体盈亏。 教学难点 灵活运用利润率相关公式梳理隐蔽的等量关系，处理多件、多品类组合销售的综合盈亏问题，准确完成建模列式。 教学方法 讲授法、探究法、合作交流、练习巩固 教学准备 多媒体课件 课后练习 完成课本第5.3节随堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、新知导入 提问：日常购物时，折扣、加价随处可见，商家经营也离不开成本与收入的核算。生活中不少场景看似一赚一亏、得失相当，实际核算后收支却并不平衡。前面我们学会了解一元一次方程的各种计算方法，那方程只是用来做计算题吗？ 引导：方程还可以用来解决生活里的实际问题。 引出课题：方程是分析和解决问题很有用的数学工具。今天我们就利用一元一次方程，梳理成本、售价、利润率三者的数量关系，精准算出经营里真实的盈利与亏损。有些实际问题的数量关系藏得很深，直观判断容易出错，只有拆解分析，才能准确列出方程求解。 回顾一元一次方程解法，思考方程的实际用途，体会购物折扣情境中“直观判断可能出错”的现实问题 从贴近学生的购物折扣情境切入，制造“直观判断可能出错”的认知冲突，点明本节课学习方向，建立方程作为解决实际问题工具的认知。 二、探究新知 销售盈亏问题 （概念梳理） 探究：销售盈亏问题。 出示促销场景：生活中我们经常能在各种销售场合看到商品的优惠信息，例如“全场五折起”“低至4折”“全场满200减50”，你知道它们的意思吗？ 识图：如图，同学们观察这几张促销海报，感受打折销售的常见形式。 概念梳理：先认清打折销售问题中的几个相关概念—— 1.成本价（进价）：商家采购商品时付出的进货价格，是核算盈亏的基础成本； 2.标价：商品货架、标签上标注的售卖定价； 3.实际售价：顾客最终成交付款的商品实际卖出价格，常由标价打折得到； 4.利润：售价高出成本价的部分； 5.利润率：商品的利润与成本价（进价）的比值； 6.打折：打几折后的价格，就是标价乘十分之几。 观察促销海报，理解“五折、4折、满200减50”等优惠含义；与教师一起梳理成本价、标价、实际售价、利润、利润率、打折六个概念 借助生活中常见的优惠海报激活经验，系统梳理销售问题的基本概念，为后续列方程找准“隐蔽的等量关系”打好基础，突出概念到公式的推导逻辑。 三、探究新知 核心数量关系 提问：销售问题中的等量关系往往隐藏在下面的几个关系里，谁能说一说？学生梳理，教师板书核心数量关系： （1）利润 售价 进价； （2）利润率 利润 进价 100%； （3）商品售价 进价 （1 利润率）。 联系概念尝试梳理三条核心数量关系：利润＝售价−进价；利润率＝利润÷进价×100%；商品售价＝进价×(1＋利润率) 系统梳理销售问题的三条核心数量关系，帮助学生理解公式推导逻辑，为列方程找准等量关系打好基础。 四、典例精讲 （销售盈亏问题） 【典型例题】 例：一商店以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 提问：有同学认为，一件盈利25%、另一件亏损25%，合起来就是不盈不亏，这样判断对吗？ 点拨：是盈是亏，要看这家商店买进这两件衣服时一共花了多少钱。我们先大体估计盈亏，再通过准确计算检验判断。判断依据是：总售价＞总进价→盈利；总售价＜总进价→亏损；总售价＝总进价→不盈不亏。 追问：题目中我们还不知道进价是多少，怎么办？能不能利用利润公式反过来求出进价？ 设元求解：设盈利25%的那件衣服进价为 x 元。 设盈利 25% 的那件衣服进价为 元。由“利润＝进价×利润率＝”，根据“进价＋利润＝售价”，列得方程 ，解得 ，即盈利的衣服进价为 48 元。 设亏损25%的那件衣服进价为 y 元。 设亏损 25% 的那件衣服进价为 元。由“利润＝进价×利润率＝”，根据“进价＋亏损（负利润）＝售价”，列得方程 ，解得 ，即亏损的衣服进价为 80 元。 比较总进价与总售价： 总进价＝（元），总售价＝（元）。因为 ，所以卖这两件衣服总的是亏损，共亏损 8 元。 追问1：列、解方程后得出的结论与你先前的估计一致吗？ 学生的结论：不一样。因为利润＝进价×利润率，利润与售价无关，两件衣服售价相同但进价不同，不能简单相抵。 追问2：卖这两件衣服总的是盈利还是亏损？怎么算的？ 学生的结论：总的是亏损，亏损了8元。可以用“总利润＝总售价−总进价”计算，也可以用“总利润＝盈利的利润＋亏损的利润”计算。 估算整体盈亏→设盈利衣服进价为 x 元，列方程 ，得 ；设亏损衣服进价为 y 元，列方程 ，得 。总进价 （元），总售价 （元），由 知亏损 8 元。 依托经典的“同售价、不同进价”盈亏问题，引导学生经历“先估计—再列方程—后检验”的完整过程，利用利润率公式反推进价，突破“一赚一亏必相抵”的直觉误区，深化对隐蔽等量关系与整体盈亏判断方法的理解，落实建模思想。 五、课堂活动 （分层练习） 【课堂活动】 引导：同学们尝试下面的练习题，考查自己本节课知识掌握情况。 练习1：某商品进价为 200 元，标价为 300 元，若按标价的八折出售，此时的利润是多少元？利润率是多少？ 练习2：某种服装每件售价为 150 元，盈利率为 25%，这件服装的进价是多少元？ 练习3：商店同时卖出两件商品，每件都卖 120 元，一件盈利 20%，一件亏损 20%，这次买卖是盈利还是亏损？盈亏多少元？ 组织同桌互查，评价学的练习情况。 独立思考后在练习本上写出答案，同桌之间互相检查。练习1算利润与利润率；练习2反求进价；练习3判断整体盈亏并算盈亏金额 设置由单件到多件、由正向计算到反向求进价再到整体盈亏判断的分层练习，及时巩固核心数量关系与列方程的方法，排查“利润与售价无关”这一易错点，规范解题书写。 六、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知。 检测围绕销售盈亏类问题展开：已知进价、标价、打折求利润与利润率；已知售价、利润率反推进价；多件组合判断整体盈亏并计算盈亏金额。 独立完成课件中的当堂练习，集体评议、订正，重点核对等量关系（利润＝售价−进价、利润率公式）及盈亏判断步骤 当堂检验学生对销售盈亏类应用题的掌握情况，反馈矫正，巩固核心数量关系与列方程方法。 七、课堂小结 提问：今天我们学习了哪些知识？ 1.销售问题中的等量关系：利润＝售价−进价；利润率＝利润÷进价×100%；商品售价＝进价×(1＋利润率)。 2.销售盈亏类问题列方程及判断盈亏的思路：当进价未知时，利用“利润＝进价×利润率”由售价、利润率反推进价并列方程；求出各件商品进价后，比较总进价与总售价——总售价大于总进价为盈利，小于为亏损，相等为不盈不亏。 回顾销售问题的三条等量关系与盈亏判断思路，畅谈收获 梳理销售问题的等量关系与整体盈亏判断方法，帮助学生建构用一元一次方程解决销售类实际问题的体系。 板书设计 5.3 实际问题与一元一次方程 （销售盈亏问题） 一、基本概念 进价、标价、实际售价 利润、利润率、打折 二、核心数量关系 利润=售价−进价 利润率=利润÷进价×100% 售价=进价×(1+利润率) 三、盈亏判断 总售价>总进价→盈利 总售价<总进价→亏损 总售价=总进价→不盈不亏 板演：例题列方程求解过程 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $