5.3 实际问题与一元一次方程——产品配套问题和工程问题 教学设计 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦产品配套问题和工程问题，通过生活中课桌与凳子、螺钉与螺母等配套实例导入，衔接一元一次方程解法，巩固前序知识并为后续函数学习奠定基础。 以生活情境激发兴趣，通过分组讨论、自主探究分析等量关系，如螺柱螺母配套中螺母数量是螺柱2倍，工程问题设工作总量为1，培养抽象能力、推理意识和模型观念。提供PPT、微课视频等资源，助力教师教学，提升学生解决实际问题能力。

教学设计 课题 产品配套问题和工程问题 科目 数学 年级 课时 1 课型 新授课 授课人 教学分析 课程标准分析 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义. 2.掌握等式的基本性质. 3.能解一元一次方程. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.1.能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 2.掌握等式的基本性质。 3.会解一元一次方程。 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。 教学内容分析 这一节是人教版新课标实验教材中学数学七年级上册第三章第四节第一课时的内容，是学生学习了代数式、简易方程及、一元一次方程的解法后一个理论联系实际的最好教材内容，也是前一部分知识的应用与巩固。.所有列方程解应用题的基本方法都与列一元一次方程解应用题的基本方法类似，所以这一节又是整个列方程解应用题的重点。.列方程解应用题体现了现实世界中事物的相互联系，学生从这些联系中看问题的同时也为今后学习函数奠定了基础。.在能力方面，无论是逻辑思维能力、计算能力，还是分析问题、解决问题的能力，都可在本节教学中得以培养和提高。.该节课主要学习的内容是“成龙配套问题”和“工程问题”相关的应用题；教材通过例1和例2与学生共同总结出列一元一次方程方程解决实际问题的一般步骤。 学情 分析 本节课教学的对象是七年级一班学生，他们思想活跃，兴趣广泛，善于思考，在进行教学设计时，力争从教学内容、教学形式、教学评价中体现出趣味性和切近生活的原则。.通过教学活动，让学生自主探究、分组讨论，引导他们由浅入深、步步推进，从广度、高度和深度上开拓学生的思维，也有助于学生形成完整的知识体系。. 资源环境分析 装有“智慧黑板”教学设备的教室 教学准备 教学 目标 1. 理解配套问题、工程问题的背景。. 2. 分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依 据的主要等量关系。. 3. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.. 重点 难点 重点：掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过 程.. 难点：分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.. 教法 学法 现代教育要求我们创设一种环境，有意识地让学生在实践中感知、感悟和体验，进而上升为智慧，形成思维的张力，逐步养成解决问题的思想、方法和能力. .教育家波利亚认为，“学东西最好的途径是亲自去发现它”. .基于这些认识，在设计本节课时利用儿歌让学生知道现实生活中很多的配套问题，再通过探究使学生理解配套的两个量之间存在着某种倍数关系。.如例1中“1个螺钉需要配2个螺母”即是螺母的数量是螺钉数量的2倍。.练习中“一套仪器由一个A部件和三个B部件构成” 即是B部件的数量是A部件数量的3倍..将教学素材与实际紧密结合起来，大大提高学生学习数学的积极性和学习情趣. .教师在整个教学过程的设计中努力贯彻“学生是数学学习的主人. .亲自实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式..” 教具 资源 ppt多媒体课件，微课动画视频 设计 思路 1、.让学生自己去尝试发现问题，而不是被动的地回答老师的问题、接受老师的答案。. 2、.精心设计问题，因为好的问题设计能不断激发学生学习动机，还能给学生提供学习的目标和思维的空间，使学生自主学习真正成为可能。.授课中通过一系列层层递进的问题，给学生充分的时间和广阔的思维空间，充分表达自己的想法，在此基础上解决问题并得出结论。. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 资源应用 创设情境，引入新知 前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将讨论一元一次方程的应用. .生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中其他配套问题的例子吗？ 学生踊跃发言积极讨论交流，各抒己见，踊跃发言. 课件展示相关图片提出问题，目的在于引发和提高学生学习的积极性，启发学生的探索欲望，同时为本课学习做好准备和铺垫。. 探究新知，概念引入 产品配套问题 典例精析 例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺柱钉或2 000个螺母. 1个螺柱钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺柱钉和螺母刚好配套，应安排生产螺柱钉和螺母的工人各多少名？ 想一想：本题需要我们解决的问题是什么？ 题目中哪些信息能解决人员安排的问题？ 螺母和螺柱钉的数量关系如何？ 如果设x名工 人生产螺母，怎 样列方程？ 解：设应安排 x 名工人生产螺柱钉，(22－x)名工人生产螺母.依题意，得 2000(22－x)＝2×1200x . 解方程，得 x＝10. 所以 22－x＝12. 答：应安排10名工人生产螺柱钉，12名工人生产螺母. 还有别的方法吗？ 解：设应安排 x 名工人生产螺柱钉，(22－x)名工人生产螺母..依题意，得 解方程，得 x＝10. 所以2－x＝12. 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母. 方法归纳： 生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程..解决配套问题的思路： 1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；. 2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.. 变式训练 如图，足球是由32块黑、白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，、黑皮各多少块？. 分析：由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍．. 解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32-x)块， 五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32-x)条．. 依题意,得 2×5x=6（32-x）,. 解得x=12，则32-x=20. 答：白皮20块，黑皮 12块. 做一做 一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. .用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件..现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？ 分析：由题意知， B 部件的数量是 A 部件数量的 3 倍，可根据这一等量关系式得到方程.. 解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用 (6－x)立方米做 B 部件..根据题意，列方程： 3×40x = (6－x)×240. 解得 x = 4. 则6－x = 2. 共配成仪器： 4×40=160 (套). 答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套.. 工程问题 例2 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成.. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. .假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 如果设先安排 x人做4 h，你能列出方程吗？ 解：设先安排 x 人做 4 h，根据题意得等量关系： 前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1 可列方程 解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应先安排 2人做 4 h小时.. 变式训练 加工某种工件，甲单独做作要20天完成，乙只要10天就能完成任务，.现在要求二人在12天内完成任务．问：乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？ 解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了（12-x）天.. 依题意，得 解得 x=8. 答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.. 想一想：若要求二人在8天内完成任务，乙先加工几天后，甲加入合作加工，恰好能如期完成任务？ 解：设甲加工y天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，乙先工作了(8-y)天.. 依题意，得 解得y=4,则8-y=4. 答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可正好按期完成任务.. 要点归纳 解决工程问题的基本思路： 1. 三个基本量：工作总量、工作效率、工作时间.它们之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间.. 2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.. (1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； (2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.. 3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1. 做一做 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. .如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？ 分析：把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，根据工作效 率×工作时间=工作量，列方程.. 解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意，得： 解方程，得 x = 8. 答：要8天可以铺好这条管线.. 学生分组讨论，. 提出问题，学生自己看书学习，培养他们的自学能力，之后让学生在小组中进行讨论，畅所欲言，体现学生学习的主体地位，. 运用新知，实战演练 1. 某人一天能加工甲种零件 50个或加工乙种零件20个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，30天制 作最多的成套产品，若设 x 天制作甲种零件，则可列方程为 .. 2. 一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为 . 3. 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，？共可生产多少张方桌？(一张方桌有1个桌面，4条桌腿) 解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立方米的木材做桌腿.. 根据题意， 得 4×50x = 300(10－x)，. 解得 x =6， 所以 10－x = 4，. 可做方桌为50×6=300(张). 答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌.. 4. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、 乙合做.. 剩下的部分需要几小时完成？ 解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意,得： 解得x = 6. 答：剩下的部分需要6小时完成.. 5. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．.现在甲、乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？ 解：设乙队还需x天才能完成，由题意，得： 解得 x = 13. 答：乙队还需13天才能完成．. 学生独立完成，板演结果并对题目进行分析讲解。.全班同学互评互改，学生及时纠错，共同提高，进一步让学生巩固基本知识。. 结合实际题目，运用所学知识，. 小结巩固 学生回顾本节课学习内容，总结知识点，主动发言。.教师补充。. 通过总结，利用多媒体课件分层次展示本节课的知识点，使学生学到的知识能梳理得井井有条。. 课后练习，拓展提升 作业： 完成教材上的练习题3.4第3、4题 课后作业可以设成必做题和选做题，来满足不同学生的需求，使其新知识得到巩固。. 板书设计 一、解决配套问题的思路： 1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据. 2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 二、解决工程问题的基本思路： 1. 三个基本量：工作总量、工作效率、工作时间.它们之间的关系是工作总量=工作效率×工作时间. 2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和. (1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； (2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和. 3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1. 销售问题中的两个基本关系式：  (1)利润＝售价－进价；  (2)利润率＝利润商品进价×100%.  (1)式中等式左边的“利润”若为正，就是盈利；若为负，就是亏损．  (2)式还可以变形为利润率×进价＝售价－进价． 教学反思 本节课从和我们的生活息息相关的利润配套问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在生活实际中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣．.根据配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据“实际售价＝进价＋利润”等数量关系列一元一次方程，解决与打折销售配套有关的实际问题．.解决工程问题时，注意工作总量、工作效率、工作时间之间的关系.遇到实际问题，需要审清题意，找出等量关系是解决问题的关键 .     学科网（北京）股份有限公司 $