5.3 实际问题与一元一次方程教学设计 2026-2027学年数学人教版七年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元一次方程解决实际问题，涵盖配套、工程、销售、积分、分段计费等类型。通过生活实例（如螺柱螺母、商场销售、篮球比赛）导入，搭建方程解法到实际应用的学习支架，梳理问题分析与方程构建脉络。 特色是以“问题情境—表格梳理—模型建立”为主线，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理等量关系）、数学语言（列方程表达）。如配套问题用表格分析生产人数与产量，销售问题通过盈亏计算强化模型意识，助力学生提升解决实际问题能力，为教师提供结构化教学范例。

5.3 实际问题与一元一次方程 第1课时 配套问题与工程问题 教学设计 课题 第1课时 配套问题与工程问题 授课人 教学目标 1. 会运用方程解决实际问题，掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤； 2. 经历分析配套问题中的数量关系，列出方程并求解的过程 教学重点 根据配套问题、工程问题中各量的数量关系，找出相等关系 教学难点 根据等量关系列出正确的一元一次方程 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将讨论一元一次方程的应用. 生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？ 从生活中的实物引入，激发学生的学习兴趣，体会数学与生活的联系. 探究新知 （一）配套问题 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺柱或2 000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ 思考1：“1个螺钉需要配2个螺母”这句话包含着什么等量关系？ 每天生产的螺母数量是螺柱数量的2倍时，它们刚好配套. 思考2：完成表格. 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺柱 x 1 200 1200x 螺母 22-x 2 000 2000(22 - x) 思考3：你能找出其中的等量关系，并列出方程吗？ 螺母数 = 螺柱数×2，所以列出方程为2000(22 - x) = 2×1200x. 思考4：写出完整的解题过程. 解：设应安排 x 名工人生产螺柱，则安排 (22 - x) 名工人生产螺母. 根据螺母的数量是螺柱的两倍，列出方程 2000 (22 - x)=2×1200x. 解方程，得 5(22 - x) = 6x， 110 - 5x = 6x， x = 10. 22 - x = 12. 答：应安排 10 人生产螺柱，12 人生产螺母. 归纳：在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据. （二）工程问题 整理一批图书，由1人整理需要 40h 完成. 现计划由一部分人先整理 4h，然后增加 2 人与他们一起整理8h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人整理？ 分析： 如果把总工作量设为 1，则人均效率 (一个人 1h 完成的工作量) 为 ，x 人先做 4h 完成的工作量为，增加 2 个人后再做 8h 完成的工作量为 ，这两个工作量之和应等于总工作量. 解：设先安排x人整理4 h． 根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量， 列出方程 ＋＝1. 解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应安排2人先做4 h. 归纳： 工程问题基本关系式 工作量= 工作效率× 工作时间， 工作时间= ，工作效率= . 特别提醒： 1. 当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总工作量看作整体1. 2. 常见的相等关系为：总工作量=各部分工作量之和. 通过提问和学生回答，了解学生对问题中信息的理解能力，引导学生对问题中的信息通过表格做初步梳理和简单加工；通过对表格填空，检验学生是否能够理解问题中信息的含义，并渗透如何寻求相等关系．学生通过对表格信息的探究，参考其他同学对问题中数量关系的观点后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定建立模型的研究方式，使学生的学习由“感性认识”逐步过渡到“理性分析”. 典例精析 【变式训练】 1.螺蛳粉是柳州的城市新名片．某包装螺蛳粉厂有80名工人生产包装螺蛳粉料包，已知每袋包装螺蛳粉里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工110个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？ 【解】设安排x人去加工生产汤料包，则安排(80－x)人生产配料包. 依题意，得4×110x＝200(80－x)，解得x＝25. 答：安排25名工人去加工汤料包. 2.一个水池有进水管甲和出水管乙，单独开放甲管10分钟可以注满水池，单独开放乙管15分钟可以把满水池的水放尽．一次，由于工作人员的疏忽，在打开甲管后若干分钟才匆忙关闭乙管，又过了相同的时间才注满全池，造成了浪费．问甲管一共注水多少时间？ 【解】设甲管一共注水x分钟. 由题意，得－×＝1，解得x＝15. 答：甲管一共注水15分钟. 通过练习使学生刚刚获取的经验得到进一步的巩固和深化，进一步熟悉利用建模思想解决实际问题的方法和过程，从而提高分析和解决问题的能力. 随堂检测 1.机械厂加工车间有27名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？ 解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排(27－x)名工人加工小齿轮， 依题意，得12×(27－x)×2＝10x×3，解得x＝12. 则27－x＝15. 答：安排12名工人加工大齿轮，安排15名工人加工小齿轮. 2.由于洪水渗漏造成堤坝内积水，用三部抽水机抽水，单独用一部抽水机抽尽，第一部需用24小时，第二部需用30小时，第三部需用40小时．现在第一部、第二部共同抽8小时后，第三部也加入，问从开始到结束，一共用了多少小时才把水抽尽？ 解：设从开始到结束共抽水x小时， 由题意，得(＋)x＋(x－8)＝1，解得x＝12. 答：从开始到结束共抽水12小时. 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 课堂小结 (1)用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？ (2)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？学习本节课后，还存在哪些困惑？ 加强反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯. 作业布置 《课时训练》p89-90练习题 板书设计 第1课时　配套问题、工程问题与一元一次方程 列方程解应用问题的一般步骤： 审→设→列→解→答 教学反思 第2课时 销售利润问题 教学设计 课题 第2课时 销售利润问题 授课人 教学目标 1.理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润、打折、利润率等这些基本量之间的关系． 2．能利用一元一次方程解决商品销售中的实际问题 教学重点 用一元一次方程解决销售问题 教学难点 正确分析销售问题中的数量关系，找出相等关系 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 与销售有关的几个概念： 1．进价：购进商品时的价格(有时也叫成本价)． 2．售价：在销售商品时的售出价(有时也叫成交价，卖出价)． 3．标价：在销售时的标出价(有时称原价，定价)． 4．利润：在销售商品的过程中的纯收入，在教材中规定： 利润＝售价－进价． 5．利润率：利润占进价的百分率，即利润率＝利润÷进价×100%. 6．打折：销售价占标价的百分率(如打八折，即按标价的80%出售)． 通过回顾旧知引入新课，消除学生对新知识的陌生感. 探究新知 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 思考1：盈亏取决于什么？ 取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系 120＞总成本，盈利；120＜总成本，亏损；120＝总成本，不盈不亏. 思考2：现在两件衣服的售价为已知条件，要知道卖这两件衣服是盈利还是亏损，还需要知道什么？ 两件衣服的成本(即进价). 设盈利25%的那件衣服进价是x元．根据题意，得 x＋0.25x＝60. 解得x＝48. 设亏损25%的那件衣服进价是y元．根据题意，得 y－0.25y＝60. 解得y＝80. 思考3：根据两件衣服的进价，能判断具体盈亏吗？ 两件衣服的进价是x＋y＝48＋80＝128(元)， 而两件衣服的售价是60＋60＝120(元)， 进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元． 销售问题相关关系式： 利润＝售价－进价，售价＝标价×， 利润率＝×100%，售价＝进价×(1＋利润率). 通过结合具体问题的思考和讨论得出各数量间的关系．使学生明白在销售问题中各种量之间的相等关系，这是解决销售问题的关键，为进一步的探究活动做铺垫. 典例精析 【例1】某商场因换季准备处理一批服装，若每套服装按标价的六折出售，则每套将亏 110 元，而按标价的八折出售，每套将赚 70 元，则每套服装的标价是多少元，进价是多少元？ 【分析】0.6×标价＝进价－110 0.8×标价＝进价＋70 【解】设每套服装的标价为 x 元， 依题意，得 0.6x＋110＝0.8x - 70. 解这个方程，得 0.2x＝180， x＝900. 0.6x＋110＝650 (元). 答：每套服装的标价是 900 元，进价是 650 元. 【提醒】在标价的基础上打折时，打几折，售价等于标价乘十分之几. 【例2】 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫500 件，并以每件120 元的价格销售了400 件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售. 请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45% 的预期目标？ 【解】设每件衬衫降价x 元， 根据题意，得 120×400＋(500－400)×(120－x)＝500×80×(1＋45%). 解得x＝20. 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45% 的预期目标． 进一步强化对销售问题中各基本量间的关系的理解及灵活运用． 随堂检测 1.某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打 八 折． 2．一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得 10×0.8x＝11(x－30)， 解得x＝110， 答：这种服装每件的标价为110元． 通过设置当堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”. 课堂小结 (1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 加强反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯. 作业布置 《课时训练》p91-92练习题 板书设计 第2课时　销售问题与一元一次方程 利润＝售价－进价 售价＝标价× 利润率＝×100% 售价＝进价＋利润＝进价×(1＋利润率) 商品的原价×(1＋提高的百分数)＝商品的现价 商品的原价×(1－降低的百分数)＝商品的现价 教学反思 第3课时比赛积分问题 教学设计 课题 第3课时比赛积分问题 授课人 教学目标 1.通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分这一类问题的方法． 2．学会解决信息图表问题的方法． 3．经历探索球赛积分中数量关系的过程，进一步体会方程式解决 教学重点 掌握用方程计算球赛积分问题和信息图表问题的方法 教学难点 学会从图表中获取有用的信息，找出等量关系列方程 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？ 体会数学在生活中无处不在. 探究新知 某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 (1)胜一场和负一场各积多少分? (2)用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系. (3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗? 思考1：胜一场和负一场各积多少分? 可以得到：① 钢铁队胜场总积分 = 0； ② 钢铁队负场总积分 = 14 = 14×1； ③ 负一场积分 = 1. 可以得到：① 前进队负场总积分 = 1×4 = 4； ② 钢铁队胜场总积分 = 20 = 2×10； ③ 胜一场积分 = 2. 思考2：怎样用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系？ 分析表格，得 (1) 胜场数 + 负场数 = 14； (2) 总积分 = 胜场总积分 + 负场总积分； (3) 胜场总积分 = 胜一场积分×胜场数， 负场总积分 = 负一场积分×负场数. 分析：设若某队胜 m 场，则负 (14 - m) 场. 解：如果一个队胜 m 场，则负(14 - m)场. 胜场总积分为 2m，负场总积分为 14 - m，总积分为： 2m + (14 - m) = m + 14. 思考3：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 设一个队胜了y场，则负了(14－y)场，若这个队的胜场总积分等于负场总积分， 则2y－(14－y)＝0，解得y＝. 想一想，y表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出什么结论？ 解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际，y(胜的场数)的值必须是整数，所以y＝不符合实际，由此可以判定没有哪个队的胜场总积分能等于负场总积分. 归纳： 1. 这是一道探究篮球比赛积分的问题，由于它以表格的形式呈现，所以我们首先要通过观察表格，尽可能多地获取其中的信息； 2. 当遇到判断一个结论是否正确的问题时，我们可以先假设结论成立，然后依据这个假设列出方程，最后检验求出的解是否为所列方程的解，是否符合实际意义. 在比赛积分问题中，基本相等关系有： 参赛场数= 胜场数+ 负场数+ 平场数； 比赛总积分= 胜场积分+ 负场积分+ 平场积分. 引导、分析，为解决问题建立数学模型．培养学生观察能力的同时，帮助学生建立数学模型，让学生明白列一元一次方程是解决实际问题的一种方法. 典例精析 【例】 12 月4 日为全国法制宣传日，当天某初中组织4 名学生参加法制知识竞赛，共设20 道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中2 名参赛学生的得分情况. 参赛者 答对题数 答错题数 得分/分 A 20 0 100 B 17 3 79 (1)参赛学生C 得72分，他答对了几道题？答错了几道题？ (2)参赛学生D 说他可以得88 分，你认为可能吗？为什么？ 【解】根据表格得出答对一题得5分，答错一题扣2分． （1）设参赛学生C答对了x道题，答错了(20－x)道题， 由题意，得5x－2(20－x)＝72， 解得x＝16. 则20－x＝20－16＝4. 答：他答对了16道题，答错了4道题． (2) 不可能． 假设他得88分，设答对了y道题，答错了(20－y)道题， 由题意，得5y－2(20－y)＝88， 解得y＝. 因为y为整数，所以参赛学生D说他可以得88分是不可能的． 体会数学的乐趣. 随堂检测 1.中超联赛中，甲足球队在联赛30场比赛中除输给乙足球队外，其他场次全部保持不败，取得了67个积分的骄人成绩，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设甲足球队一共胜了x场，则可列方程为(A) A.3x＋(29－x)＝67 B．x＋3(29－x)＝67 C.3x＋(30－x)＝67 D．x＋3(30－x)＝67 2.一张数学试卷有20道选择题，规定答对一道得5分，不做或做错一道扣1分，结果某学生得了76分，则他做对的题数为16道. 3.爷爷与孙子下12盘棋(未出现和棋)后，得分相同，爷爷赢一盘记1分，孙子赢一盘记3分，两人各赢了多少盘？ 解：设爷爷一共赢了x盘，则孙子赢了(12－x)盘．由题意，得 x＝(12－x)×3. 解得x＝9.则12－9＝3(盘). 答：爷爷赢了9盘，孙子赢了3盘. 加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知. 课堂小结 (1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 加强反思. 作业布置 《课时训练》p93-94练习题 板书设计 第3课时　球赛积分问题与一元一次方程 教学反思 第4课时 分段计费与方案决策问题 教学设计 课题 第4课时 分段计费与方案决策问题 授课人 教学目标 1.初步学会用一元一次方程解决实际问题． 2．体会用一元一次方程解决实际问题的基本过程．经历观察、猜想、分析、总结、归纳等体验分类讨论思想和方程思想，感受数学与生活的联系 教学重点 在实际背景中找到相等关系建立电话计费问题的方程模型，并解决实际问题 教学难点 借助表格、式子分析，选择适当的等量关系，建立一元一次方程 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 探究新知 不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，如表所示，是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW·h),请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 分析：在这个问题中， 综合费用＝空调的售价＋电费. 选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关. 设空调的使用年数是t,则1级能效空调的综合费用(单位：元)是 3000＋0.5×640t, 即 3000＋320t. 3级能效空调的综合费用(单位：元)是 2600＋0.5×800t, 即 2600＋400t. 先来看t取什么值时，两款空调的综合费用相等. 列方程 3000＋320%＝2600＋400%, 解得 t＝15. 为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即(3000＋320%)＋(80t－400), 也就是 3 000＋320t＋80(t－5). 这样，当t<5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低； 当t>5时，t－5是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低. 由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于此较省电；使用年份长(超过5年)时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起),因此购买、使用1级能效空调更划算. 让学生体验使用表格整理信息的益处，并通过填表使学生进一步明确两种计费方式的变化规律，同时考察学生列式表示未知量的能力. 典例精析 【例】 近几年我国部分地区不时出现的严重干旱，使我们认识到节水的重要性. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对自来水收费采用阶梯价格的调控手段以达到节水的目的. 该市自来水收费价格见价目表(水费按月结算). (1)若某户居民2 月份用水10.5 m3，应交水费多少元？ (2)若该户居民3，4 月份共用水16 m3(4 月份用水量超过3 月份)，共交水费44 元，则该户居民3，4 月份各用水多少立方米？(结果精确到0.1 m3) 解：(1)由题意，得2×6＋4×(10－6)＋8×(10.5－10)＝32(元). 所以应交水费32 元. (2)设3 月份用水x m3，则4 月份用水(16－x)m3. ①当x ≤ 6 时，16－x ≥ 10， 依题意，得2x＋2×6＋4×4＋8(16－x－10)＝44. 整理，得6x＝32，所以x≈5.3， 此时16－x≈10.7，符合题意. ②当6 ＜ x ≤ 10 时，6 ≤ 16－x ＜ 10， 依题意，得2×6＋4×(x－6)＋2×6＋4(16－x－6)＝44. 整理，得40＝44，故此方程无解.所以6＜x≤10不可能成立. ③因为4 月份用水量超过3 月份，所以x 不可能超过10. 综上所述，3 月份用水约5.3 m3，4 月份用水约10.7 m3. 进一步巩固所学新知，提高学生的计算能力，同时培养学生养成细心检查的好习惯. 随堂检测 1.一家三口每月用水不超过6吨，每吨水按3.7元收费，如超过规定的用水量，每吨水按7元收费，王红一家三口八月交了36.2元水费，则他们家超过规定用水量(C) A．9.8吨 B．5吨 C．2吨 D．3吨 2．某市居民生活用电基本价格为0.4元，若每月用电量超过a度，超出部分按基本价格的70%收费．某户5月份用电84度，共交电费30.24元，则a的值是(B) A．60 B．56 C．65 D．50 3.某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，票价每张为20元，售票员说，30人以上的团体票有两个优惠方案可选择： 方案一：全体人员可打八折； 方案二：若打九折，则有5人可以免票． (1)若1班有40名学生，则选择方案一需付640元，选择方案二需付630元； (2)若2班选择方案二需付810元，则2班有50名学生； (3)3班班长思考了一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，请问3班有多少人？ 解：设3班有x人，由题意，得 0．8×20x＝0.9×20(x－5)，解得x＝45. 答：3班有45人． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 (1)你在本节课的学习中学到了什么？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 通过课堂小结的形式，对本课时所学知识进行整理，明确学习重点. 作业布置 《课时训练》p95-96练习题 板书设计 第4课时　分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $