27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）课件 2026-2027学年人教版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，先复习待定系数法求解析式、增减性及实际情境中函数图象特点，通过拉面实例衔接，以港口卸货、杠杆原理为例题，构建从知识回顾到实际建模的学习支架。 其亮点是结合生活实例，通过分层提问引导数学思维，归纳常见反比例关系表格化呈现。体现用数学眼光观察现实、思维推理和语言表达，帮助学生提升模型意识，教师可高效开展教学。

实际问题与反比例函数（第1课时） 人教版九年级上册数学 1．用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是什么？ （2）列：把一组 x 与 y 的对应值同时代入 (k≠0)中，得到关于 k 的方程． （1）设：设反比例函数的解析式为 (k≠0)． （3）解：解方程，求出 k 的值． （4）写：将求出的 k 的值代回所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式． 2．一般地，反比例函数 的图象是双曲线，请说一说它的增减性． （1）当 k＞0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； （2）当 k＜0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大． 在实际问题中，自变量往往不能取全体非零实数，想一想，此时函数图象还是完整的双曲线吗？ 不是，只是双曲线在第一象限内的一支． 拉面又叫甩面、扯面、抻面，是中国城乡独具风味的一种传统面食． 如果要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，你能写出面条的总长度 y （单位：cm）关于面条横截面积 S （单位：cm2）的函数关系式吗？ 你还能举出日常生活、生产中具有反比例函数关系的实例吗？ 例1　港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h． （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸货速度v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间 t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ （2） 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 分层提问： （1）题目中不变的量是什么？ （2）速度、时间、总货物三者存在怎样等量关系？ （3）“卸载时间不超过 6 h”意味着 t≤6，结合函数增减性分析， v 的取值有什么要求？ 例1　港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h． （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸货速度v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间 t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ 分析：根据“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，可以先求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸载速度＝货物总量÷卸载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式． 所以 v 关于 t 的函数解析式为 (t＞0)． 解：（1）轮船上的货物总量为 700×9＝6 300（t）， 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h 卸载完，那么平均每小时卸载 1 050 t．对于函数 ，当 t＞0 时，t 越小，v 越大． 因此，若货物不超过 6 h 卸载完，则平均每小时至少要卸载 1 050 t． （2）把 t ＝6 代入 ， 得 ＝1 050（t/h）． 解决这道题最核心的等量关系是什么？分析“至少”这类取值范围问题，我们利用了反比例函数的哪一条性质？ 古希腊科学家阿基米德（公元前287—前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．杠杆原理为： 阻力×阻力臂＝动力×动力臂． 例2　某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m． （1）动力 F （单位：N）与动力臂 l （单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 分层提问： （1）杠杆平衡公式是什么？ （2）哪些量固定不变，哪些是变量？ （3）题（2）中求动力臂至少加长多少，要注意区分“动力臂总长度”与“增加的长度”，解题关键点是什么？ 所以 F 关于 l 的函数解析式为 ． 解：（1）根据“杠杆原理”，得 Fl ＝1 200×0.5， 当 l＝1.5 m 时， （N）． 对于函数 ，当 l＝1.5 m 时，F＝400 N，此时杠杆平衡． 因此，撬动石头至少需要 400 N 的力． 将 F＝400× ＝200 代入 ，得 200＝ ， 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于 3 m，则动力臂至少要加长 3－1.5＝1.5（m）． 所以 （m）． （2）对于函数 ，当 l＞0 时，F 随 l 的增大而减小．因此，只要求出 F＝200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量． 用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 思考 ∴k＝Fl，∴ (k＞0)． 在我们使用撬棍时，当阻力、阻力臂一定时，阻力×阻力臂是一个定值． 不妨设阻力×阻力臂＝k (k＞0)． ∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∵k＞0，l＞0，∴F 随 l 的增大而减小，∴动力臂越长，所需动力越小，越省力． 对比例 1、例 2，两道题目建模存在什么共同特点？ 归纳 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式给出），并理清常量与变量之间的关系． （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示． （3）列：由题目中的已知条件列出方程（组），求出待定系数． （4）写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范围． （5）解：运用函数的解析式和相关性质解决实际问题． 实际问题中建立反比例函数解析式的常用思路： （1）已知函数属于反比例函数：使用待定系数法求解； （2）实际情境中未知函数类型：先寻找等量关系列出等式，整理变形得到函数解析式． 归纳 常见定值情境中的反比例数量关系： 涉及的量 反比例函数的解析式 路程s（定值）、时间t、速度v 阻力×阻力臂乘积为定值k；动力F、动力臂l 矩形的面积S（定值）、矩形的长a、宽b 或 归纳 （k为定值） 或 常见定值情境中的反比例数量关系： 涉及的量 反比例函数的解析式 三角形的面积S（定值）、三角形的底边a、该底边上的高h 圆锥的体积V（定值）、圆锥的底面积S、高h 或 或 归纳 跟踪训练　如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 120 cm3（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． （1）漏斗口的面积 S（单位：cm2）与漏斗的深 h（单位：cm）有怎样的函数关系？ （2）如果漏斗口的面积不超过 50 cm2，那么漏斗的深 h 至少为多少？ 分层提问： （1）圆锥体积公式是什么？如何推导出 S 与 h 的关系式？ （2）“面积不超过 50 cm2”对应怎样的不等关系？结合函数增减性如何分析？ 整理，得 (h＞0)． 解：（1）由圆锥体积公式 ，V＝120，得 ， （2）因为 h＞0， ，所以 S 随 h 的增大而减小． 漏斗口的面积不超过 50 cm2，即 S≤50． 当S＝50时， ，解得 h＝7.2． 结合函数增减性：若 S≤50，则可得 h≥7.2． 答：漏斗的深 h 至少为 7.2 cm． 实际问题与 反比例函数 常见定值型反比例数量关系 用反比例函数解决实际问题的一般步骤 建立反比例函数的解析式的常用思路 $