27.3实际问题与反比例函数（第2课时）课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦实际问题与反比例函数应用，先复习反比例函数解析式及性质，通过分层设问衔接旧知与实际情境，以力学功、行程问题等为学习支架，引导学生建立函数模型。 其特色在于结合跨学科实例，通过分层设问培养数学眼光与思维，如例1从力与位移抽象关系，例2用增减性分析范围，归纳精确与近似建模方式，助学生发展模型意识，教师可高效开展教学。

实际问题与反比例函数（第2课时） 人教版九年级上册数学 1．反比例函数解析式的一般形式以及常见变形形式是什么？ ， ，xy＝k．(k 为常数，k ≠0) 2．反比例函数 的图象是双曲线，请说一说它的性质和增减性． （1）当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； （2）当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大． 3．反比例函数图象上的点有什么共同特征？ 横、纵坐标的乘积等于常数 k，即 xy＝k． 例1　在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移 s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足W＝Fs．当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示． （1）当力F为10 N时，求F所做的功W； （2）写出s关于F的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围． 分层设问： （1）图象中点(10，50)的横、纵坐标分别对应题目中哪个物理量？结合实际情境，自变量F存在什么取值限制？ （2）题目给出等量关系式W＝Fs，如何借助图象信息求出恒定的功W，建立函数模型？ （3）第（3）小问要求位移满足s＜100，可以运用反比例函数的什么性质分析力F的取值范围？ 解：（1）由图可知，当力 F 为 10 N 时，物体在力 F 的方向上发生的位移 s 为 50 m，此时 F 所做的功 W＝Fs＝10×50＝500(J)． （2）当W 为定值时，可以用反比例函数描述 s 与 F 之间的关系． 由（1）可知其解析式为 (F＞0)． （3）将 s＝100 代入 ，可得 F＝5(N)． 因为 s 随着 F 的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于 100 m，力 F 要大于 5 N． 我们得到解析式 ，为什么一定要标注 F＞0？ 解第（3）问时，为什么s＜100对应的结论是F＞5，不是F＜5？ 利用反比例函数解决实际问题的要点： （1）建模时结合实际意义确定自变量取值范围； （2）求解变量不等范围，既可以代数计算，也可以借助图象、增减性数形结合分析． 归纳 例2　一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位：km/h）与行驶全程所用时间t（单位：h）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120． （1）写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； （2）若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围． 分层设问： （1）路程不变，平均速度与行驶时间是什么函数关系？如何借助图象上的点求出甲乙两地总路程？ （2）题目给出速度范围 60≤v≤120，结合反比例函数增减性，怎样确定自变量时间 t 的取值范围？ （3）如何根据到达时间段，先算出行驶时间范围，再反向求出对应的速度取值？ 解：（1）甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系． 由图可知，当t＝2时，v＝120．于是有　 　 ． ① 当v＝60时，由①得t＝4． 因为60≤v≤120，并且平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小，所以2≤t≤4． （2）客车上午 8 时从甲地出发，若当天 10 时 40 分到达乙地，则行驶全程所用时间 t＝ h，代入①，可得v＝90(km/h)； 若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t＝3 h，代入①，可得v＝80(km/h)． 因为平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小， 所以客车平均速度 v 的范围是 80≤v≤90． 第（1）问为什么一定要配套求出 t 的取值范围？ 时间越长，行驶速度越小，那当行驶时间为 3≤t≤ 时，为什么最终速度是 80≤v≤90？ 解决这类范围问题除了代数计算，还有什么方法辅助验证？ 运用反比例函数解决行程类实际问题要点： （1）抓住“路程不变”建立反比例函数模型，结合实际情景确定自变量取值范围； （2）已知自变量范围求函数值范围、或是已知函数值范围求自变量范围，要注意反比例函数增减性带来的区间反向问题，不要直接照搬不等号方向． 归纳 常见的典型反比例函数数量关系： 涉及的量 反比例函数的解析式 功 W（定值）、力 F、移动的距离 s 路程 s（定值）、速度 v、时间 t 压力 F（定值）、压强 p、受力面积 S 电压 U（定值）、电流 I、电阻 R 归纳 或 或 或 或 跟踪训练　一辆汽车从甲地开往乙地，甲乙两地相距 120 km． 设汽车行驶的平均速度为 v(单位：km/h)，行驶时间为 t(单位：h)． （1）写出 v 关于 t 的函数解析式； （2）若要求 2.5 h 之内到达，求汽车平均速度的取值范围． 分层设问： （1）本题中不变的量是什么？v 与 t 存在怎样的函数关系？ （2）“2.5 h 之内到达”如何转化为自变量的取值限制？结合反比例函数增减性，怎样确定速度取值范围？ 解：（1）设 v 关于 t 的函数解析式为 ， 路程为 120 km，即 k＝120，所以 (t＞0，v＞0)． （2）当t＝2.5时， ＝48， 要求 2.5 h 之内到达，即行驶时间 0＜t＜2.5． 因为在第一象限内，v 随 t 的增大而减小， 所以当 0＜t＜2.5 时，可得 v＞48． 所以汽车平均速度大于 48 km/h． 求解取值范围时，很容易把不等号方向写反，是什么原因？ 探究 　　某物理实验小组研究气体的压强 p（单位：kPa）与体积 V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了 6 组数据． 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 　　气体的压强 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为 132 kPa 时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）． 分层设问： （1）观察表格，随着体积 V 不断减小，压强 p 如何变化？ （2）仅凭表格数据，能直接判定是什么函数吗？可以用什么方式直观观察变化趋势？ （3）描点之后，点的分布形状有什么特征？你猜想是什么函数模型？ （4）每组数据计算出来的 k＝pV 不完全相等，为什么？我们该如何确定解析式中的 k？ （5）得到函数关系式后，直接代入计算就结束了吗？还需要做什么？ 分析：由表可知，压强 p 是体积 V 的函数．由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型． 解：（1）为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图（如图）．观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点．可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强 p 与体积 V 之间的关系． （2）建立模型．设函数解析式为 (V＞0)，根据表中的数据，分别求出 k 的值，列出下表． V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2 016 1 968 2 030 1 956 2 010 计算所有 k 值的平均值，得 k＝ (2 000＋2 016＋1 968＋2 030＋1 956＋2 010)≈1 997． 我们把这个平均值 1 997 作为 k 的值，就得到一个函数模型 ． （3）检验模型．将已知数据代入①，或画出函数①的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强 p 与体积 V 的关系． （4）求解问题．将 p＝132 代入①，得 132＝ ． 解得 V＝ ≈15.13(mL)． 因此，当压强为 132 kPa 时，气体的体积约为 15.13 mL． 对比前面例 1、例 2、跟踪训练，这道题建立反比例函数模型和之前题目最大区别是什么？ 如果描出来的散点完全不在双曲线附近，我们还能选用反比例函数模型吗？ 问题 　　回顾“探究”，回答以下问题： （1）题目表中的有些数对只能近似满足函数解析式 ，即图（1）中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有何不同？ （2）结合“探究”和问题（1）所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤． 分层设问： （1）前面例 1、例 2、跟踪训练得到的函数关系式，所有数据都严格符合解析式，本题为什么无法完全吻合？ （2）本节课两种建模方式分别适用于什么场景？ （3）如果以后拿到一组陌生实验数据，完整的分析流程应该是什么？ 解：（1）以往问题依托固定公式推导，可以得到精确函数模型；本题来源于实验测量，数据存在测量误差，只能构建近似函数模型，点不会全部落在函数图象上． （2）我们可以总结出利用函数解决实际问题的通用流程． 利用函数模型解决实验类实际问题的一般步骤： ①收集实验数据； ②描点画图，猜想函数类型； ③根据数据建立函数解析式； ④检验模型与数据的匹配程度； ⑤利用模型进行预测、求解实际问题． 归纳 反比例函数实际应用两类建模： （1）依托公式、等量关系列式：解析式为精确表达式； （2）依托实验测量数据拟合：得到近似函数模型． 归纳 实际问题与反比例函数 利用反比例函数解决实际问题 反比例函数跨学科实际模型 识别定值，建立反比例解析式 注意自变量实际取值范围，借助函数增减性分析、解决问题 $