第1章 集合与逻辑用语 章节复习（知识点+7考向14角度）-【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

专题1.6 章节复习 知识点1：集合 2 知识点2：常用逻辑用语 3 考向1：集合的含义与表示 4 角度1：集合的概念 4 角度2：元素与集合的关系 5 角度3：集合中元素的特性 6 角度4：集合的表示方法 7 考向2：集合间的关系 8 角度1：子集和真子集 8 角度2：包含关系 9 角度3：相等关系 11 考向3：集合的基本运算 12 角度1：交并补的混合运算 12 角度2：Venn图 13 角度3：集合的应用 14 角度4：集合的新定义 16 考向4：命题及其关系 18 角度1：四种命题 18 角度2：四种命题间的相互关系 19 考向5：充分条件与必要条件 20 角度1：充分不必要条件 20 角度2：必要不充分条件 20 角度3：必要条件 21 考向6：简单的逻辑联结词 21 考向7：全称量词和存在量词 23 学习目标导航 关键词 1. 通过实例，了解集合的含义、体会元素与几何的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 （1）集合元素 （2）数集 知识点1：集合 1. 集合的有关概念 （1）集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． （2）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． （3）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉． （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 2. 集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3. 集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x ∉A} 【常用结论】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 知识点2：常用逻辑用语 1. 充分条件、必要条件、充要条件 （1）定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. （2）从逻辑推理关系上看 ①若且，则是的充分不必要条件； ②若且，则是的必要不充分条件； ③若且，则是的的充要条件(也说和等价)； ④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 2. 全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. （2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 3. 含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，. （2）存在量词命题的否定为. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一. 【常用结论】 1．从集合与集合之间的关系上看：设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若AB，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 2. 常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 考向1：集合的含义与表示 角度1：集合的概念 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 2．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（22-23高一上·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 4．（多选）（23-24高一上·重庆·期末）下列命题中，为真命题的是（    ） A． B．，使同时被3和4整除 C． D． 5．（多选）（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 6．（多选）（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 角度2：元素与集合的关系 7．（2024高一上·全国·专题练习）若，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 10．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 11．（23-24高一上·广西·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 角度3：集合中元素的特性 13．（23-24高一上·浙江金华·期末）已知集合，，若，则实数可以为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 14．（23-24高二上·山东威海·期末）已知集合，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，则集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 16．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 17．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，则实数 . 18．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 角度4：集合的表示方法 19．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·河南·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·山东济南·期末）方程组解的集合是（　　） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·四川雅安·期末）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·浙江·期中）设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数． (1)若，求集合； (2)若，求的所有可能的值组成的集合； (3)若，求证：． 24．（23-24高一上·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 考向2：集合间的关系 角度1：子集和真子集 25．（23-24高一下·广东广州·期中）若集合，，则的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 26．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若集合，，则的子集个数是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知集合，，则的真子集的个数为（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 28．（23-24高一上·广东广州·期末）设集合，则的子集个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知集合，． (1)写出的所有子集； (2)若关于的不等式的解集为，，，求的值． 30．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 角度2：包含关系 31．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）下列结论错误的是（    ） A．集合的真子集有8个 B．设是两个集合，则 C．与角的终边相同的角有无数个 D．若，则 32．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 33．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，若，求a的取值集合． 34．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 35．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 36．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 角度3：相等关系 37．（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 38．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 40．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知集合，，且，则（    ） A．0 B．3 C． D．3或0 41．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 42．（21-22高一上·广东佛山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 考向3：集合的基本运算 角度1：交并补的混合运算 43．（2024·天津滨海新·三模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高二下·广东梅州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 45．（四川省达州市2023-2024学年高二下学期7月期末监测数学试题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高二下·湖南·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高二下·重庆·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 48．（多选）（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 角度2：Venn图 49．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知全集，集合，，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（    ） A． B． C． D． 51．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 53．（23-24高一上·重庆·期末）已知全集，能表示集合，，关系的图是（    ） A． B． C． D． 54．（多选）（23-24高一上·江西·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 角度3：集合的应用 55．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知集合（   ） A．或 B．或 C． D． 56．（23-24高一下·四川达州·期中）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 57．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集和交集的概念求出答案. 【详解】，故. 故选：C 58．（23-24高一上·山西·期末）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 59．（23-24高一上·浙江·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数a的值． 60．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 角度4：集合的新定义 61．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 62．（23-24高一下·上海·期末）设是给定的正整数．对于数列，，…，，令集合． (1)对于数列，，，直接写出集合；（用列举法表示） (2)设常数．若，，…，是以为首项，为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为； (3)若，，…，是等比数列，且，公比．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和． 63．（23-24高一下·安徽宿州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 64．（23-24高一下·北京·期中）设为正整数，若满足：①；②对于，均有.则称具有性质.对于和，定义集合. (1)设，若具有性质，写出一个及相应的； (2)设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由. 65．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 66．（23-24高一上·河南开封·期末）对于集合，定义且.例如:，则有.已知集合，，其中. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 考向4：命题及其关系 角度1：四种命题 67．（多选）（23-24高一上·广西南宁·期中）下列命题正确的是(    ) A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．命题“”的否定是“” C．若“且”为真命题，则、均为真命题 D．“”是“”的充分不必要条件 68．（多选）（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．若命题p为假命题，则命题p的逆命题一定为假命题 B．命题p：“若，则”为真命题 C．“”的一个必要不充分条件是“或” D．命题“小明的语文、数学月考成绩均超过了100分”的否定是“小明的语文、数学月考成绩都没有高于100分” 69．（多选）（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．命题“，”的否定是“，” C．若“且”为真命题，则，均为真命题 D．“”是“”的充分不必要条件 70．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知. (1)若是的必要不充分条件，求实数的范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的范围. 角度2：四种命题间的相互关系 71．（2024·陕西·模拟预测）已知：向量与的夹角为锐角．若是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 72．（2008高一·全国·竞赛）已知，若“且”为假命题，则（　　）. A．或 B． C． D． 73．（2007高一·全国·竞赛）设命题p：关于x的方程的解为正解；命题q：函数是减函数.若p或q为真，p且q为假，则实数m的取值范围是 . 74．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知p：关于x的方程（）无实数根． (1)若p是假命题，求实数m的取值范围； (2)已知条件q：，，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 考向5：充分条件与必要条件 角度1：充分不必要条件 75．（23-24高一下·四川德阳·期末）若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 76．（2023高一下·吉林·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 77．（23-24高一下·河南·期末）已知甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，且甲的年龄大于乙的年龄，则“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 78．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 角度2：必要不充分条件 79．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 80．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 81．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 82．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 角度3：必要条件 83．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 84．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 85．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 86．（23-24高一上·上海·期中）已知，则“成立”是“成立”的 条件. 考向6：简单的逻辑联结词 87．（23-24高一上·四川泸州·期末）下列命题的否定是真命题的是（    ） A．每个正方形都是平行四边形 B．是无理数，是无理数 C．， D．，关于x的方程有实数根 88．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 89．（23-24高一下·河南·开学考试）已知：实数满足：实数满足. (1)若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 90．（20-21高一上·湖北十堰·期中）设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足. (1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围； (2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 考向7：全称量词和存在量词 91．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 92．（18-19高一上·重庆·期中）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 93．（23-24高一上·广东汕尾·期末）已知命题p：，，则（    ） A．：， B．：， C．：， D．：， 94．（19-20高三上·江西抚州·阶段练习）若命题“”为假命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 95．（22-23高二下·山东泰安·期末）若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 章节复习 知识点1：集合 2 知识点2：常用逻辑用语 3 考向1：集合的含义与表示 4 角度1：集合的概念 4 角度2：元素与集合的关系 7 角度3：集合中元素的特性 9 角度4：集合的表示方法 11 考向2：集合间的关系 15 角度1：子集和真子集 15 角度2：包含关系 17 角度3：相等关系 20 考向3：集合的基本运算 23 角度1：交并补的混合运算 23 角度2：Venn图 25 角度3：集合的应用 27 角度4：集合的新定义 30 考向4：命题及其关系 36 角度1：四种命题 36 角度2：四种命题间的相互关系 38 考向5：充分条件与必要条件 40 角度1：充分不必要条件 40 角度2：必要不充分条件 41 角度3：必要条件 43 考向6：简单的逻辑联结词 45 考向7：全称量词和存在量词 47 学习目标导航 关键词 1. 通过实例，了解集合的含义、体会元素与几何的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 （1）集合元素 （2）数集 知识点1：集合 1. 集合的有关概念 （1）集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． （2）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． （3）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉． （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 2. 集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3. 集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x ∉A} 【常用结论】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 知识点2：常用逻辑用语 1. 充分条件、必要条件、充要条件 （1）定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. （2）从逻辑推理关系上看 ①若且，则是的充分不必要条件； ②若且，则是的必要不充分条件； ③若且，则是的的充要条件(也说和等价)； ④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 2. 全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. （2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 3. 含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，. （2）存在量词命题的否定为. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一. 【常用结论】 1．从集合与集合之间的关系上看：设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若AB，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 2. 常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 考向1：集合的含义与表示 角度1：集合的概念 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 2．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①特殊值判断；②由方程根判断；③列举出集合中元素，结合有限集定义判断. 【详解】①当时不成立，不正确； ②有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ③集合是有限集，正确． 故选：B 3．（22-23高一上·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据常用数集的表示符合与各自的范围判断各命题，即可得出答案. 【详解】为无理数，有理数与无理数统称为实数，所以，所以①正确； 为无理数，不属于整数，所以，所以②错误； 0不是正整数，所以，所以③正确； 是正整数，属于自然数，所以，所以④错误； 是无理数，所以，所以⑤正确； 是正数，所以，所以⑥错误； 综上，共由3个正确命题， 故选：C. 4．（多选）（23-24高一上·重庆·期末）下列命题中，为真命题的是（    ） A． B．，使同时被3和4整除 C． D． 【答案】BD 【分析】可通过举例逐项判断. 【详解】当时，，故A错， 当时，同时被3和4整除，B对， 当时，，故C错， 当时，，故D对； 故选：BD. 5．（多选）（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 6．（多选）（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 角度2：元素与集合的关系 7．（2024高一上·全国·专题练习）若，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，将代入原不等式，可得，解之即可求解. 【详解】由题意知，当时，可变为，符合题意； 当时，由，得， 即，解得或且； 综上，实数a的取值范围为. 故选：D 8．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 9．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定. 【详解】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 10．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【详解】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数， 奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确. 故选：B 11．（23-24高一上·广西·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，再集合与元素、集合与集合间的基本关系以及集合交集运算性质依次判断即可. 【详解】， 根据元素与集合的关系可得，故A正确； 元素与集合间只有属于与不属于，故B错误； 集合与集合间不能是属于关系，故C错误； ，故D错误. 故选：A. 12．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合A，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解. 【详解】， ，故ABD正确； 而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误. 故选：C 角度3：集合中元素的特性 13．（23-24高一上·浙江金华·期末）已知集合，，若，则实数可以为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【分析】由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解. 【详解】由，知，C不可能； 由，知且，否则中有元素1或者3，矛盾，即AB不可能； 当时，，符合题意，因此实数可以为7. 故选：D 14．（23-24高二上·山东威海·期末）已知集合，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数. 【详解】当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， ，可知以上四种情况循环，故集合，的元素个数为3. 故选：C 15．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，则集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用并集定义即得. 【详解】由集合可得：，显然集合中的元素个数为6. 故选：B. 16．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可. 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 17．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，则实数 . 【答案】 【分析】讨论、，结合集合的性质求参数a即可. 【详解】由题设，当时，则，此时，不符合互异性； 当时，由上不符合，而时，此时集合为. 综上，. 故答案为： 18．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【答案】且且 【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可. 【详解】解：由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且 角度4：集合的表示方法 19．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的并集运算即可. 【详解】集合， 所以. 故选:D. 20．（23-24高一上·河南·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求解，再求解其，判断选项. 【详解】 所以. 故选：C 21．（23-24高一上·山东济南·期末）方程组解的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出方程组的解，解集的元素只有一个点. 【详解】解：由解得 方程组解的集合只有一个元素 所求解的集合为 故选：D 22．（23-24高一上·四川雅安·期末）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出不等式后，由即可得. 【详解】由可得，又，故该集合为. 故选：D. 23．（23-24高一下·浙江·期中）设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数． (1)若，求集合； (2)若，求的所有可能的值组成的集合； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义直接求解B,C; （2）令，由和集合得到数的大小关系，再讨论大小关系分类求解； （3）记集合为，且，由和集合得到数的大小关系，求出B有两种可能，当得，由及数的大小关系分别讨论和，讨论五种情况即可求解. 【详解】（1）（1）由，则， ． （2）当，不妨记集合为， 且令， 则必有， 和中剩下的满足， 并且，下列有四种可能： 一是，则； 二是与与与三对数有两对相等， 另一对不相等，则； 三是与与与三对数有一对相等， 其它两对不相等，则； 四是与与与三对数全不相等，则； 综上述，的所有可能的值组成的集合为. （3）当，不妨记集合为，且， 则必有， 和中剩下的元素为，满足， 所以有两种可能，当，；当，； ⅰ）当，不妨记这6个元素为，且让， 则必有，所以； ⅱ）当，， 不妨记，，，，， 则，则必有， 积中剩下的满足，则， 下面先证明． 假设，由，则， 即，所以， 令，由，则， 所以，则，与事实不符，所以． 下面再证明． 由上述分析知：要使，积中剩下的满足， 必有两对积与七对中的两对相等，有如下五种情况： 一是，则可推得，令其比值为，则， 于是，由， 则，则，显然无解，故此情况不能； 二是，则可推得，令， 显然，由，则， 所以，而显然，故此情况不可能； 三是，则可推得，令其比值为，则，由， 又，则，这与矛盾，故此情况不可能； 四是，可推得，令其比值为，则， 于是，，，， 于是由，则， 所以，代入得，推得，所以， 所以，有，所以，这与是有理数相矛盾，所以此情况不能； 五是，可推得，令其比值为，则，于是， 由，则，则， 显然无解，故此情况不可能．所以． 综上，所以． 【点睛】关键点点睛:本题考查集合新定义，关键是对集合元素数的大小关系进行讨论，推出矛盾证明第三问. 24．（23-24高一上·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）代入求解出方程的解，则可知； （2）根据进行分类讨论：当时，根据（1）的结果分析即可，当时，考虑的情况，由此可求结果. 【详解】（1）当时，由解得， 所以. （2）因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素， 当时，，显然满足； 当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解， 所以，解得，解方程可得，此时，满足条件； 综上所述，的取值为0或 考向2：集合间的关系 角度1：子集和真子集 25．（23-24高一下·广东广州·期中）若集合，，则的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据指数不等式求出集合，即可求出，从而判断其子集个数. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以，则的子集有个. 故选：C 26．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若集合，，则的子集个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，进而可求出集合，确定集合的元素个数，利用子集个数公式可求得结果. 【详解】因为，，则， 所以，的元素个数为，的子集个数是， 故选：C. 27．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知集合，，则的真子集的个数为（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】B 【分析】解不等式确定集合，由集合的运算法则求得，再由子集定义判断． 【详解】， ，， ∴，它是真子集有7个． 故选：B． 28．（23-24高一上·广东广州·期末）设集合，则的子集个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】求出，利用子集的个数公式求解即可. 【详解】令，解得或，故，则的子集个数是个. 故选：D 29．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知集合，． (1)写出的所有子集； (2)若关于的不等式的解集为，，，求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）先求出，再写出子集； （2）由题意先得出，再由一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系求值. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以． 所以的所有子集为：，，，． （2）因为，，所以． 由题意得1和3是方程的两根，，， 所以． 30．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出集合，再根据真子集的定义即可得解； （2）选①，由“”是“”的充分条件，可得，再分两种情况讨论即可. 选②，由，可得，再分两种情况讨论即可. 【详解】（1）， 所以集合的真子集有； （2）选①，因为“”是“”的充分条件， 所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 选②，因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 角度2：包含关系 31．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）下列结论错误的是（    ） A．集合的真子集有8个 B．设是两个集合，则 C．与角的终边相同的角有无数个 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据真子集的定义判断A；根据集合间的基本关系判断B；根据终边相同角的定义判断C；满足得，判断D. 【详解】对于A，集合的真子集有（个），所以A选项错误； 对于B，对于集合，若，所以B选项错误； 对于C，与角的终边相同的角用集合可以表示为， 这样的角有无数个，所以C选项正确； 对于D，若，则，所以不一定等于，故D选项错误． 故选：ABD. 32．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用建立不等关系，求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 33．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，若，求a的取值集合． 【答案】或. 【分析】解方程求得集合，由题意可得，分和两种情况，分别求出实数的取值范围，再取并集即得所求. 【详解】， 若，则有， 当时，，解得. 当，若B中仅有一个元素，则， ，解得或， 当时，，不满足条件；当时，，满足条件. 当中有两个元素时，，解得或. 当时，，无解. 当时，，解得：. 当时，，无解. 综上可得，实数的取值集合为或. 34．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 35．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解； （2）直接根据列不等式求解； （3）先得到，再根据包含关系列不等式求解. 【详解】（1）若，则， 又， 所以， 解得； （2）因为， 所以或或， 解得或或， 所以； （3）若，， 对，都有，则， 所以，该不等式无解， 故命题：“，都有”为真命题不可能. 36．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集运算可得结果； （2）根据条件对集合A分类讨论，分别求出实数的范围. 【详解】（1）由时，集合， ， 所以， （2）当，即时，集合，符合， 当时，由，有， 解得 ， 综上可知，若，则的范围是. 角度3：相等关系 37．（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合相等得到，解得即可. 【详解】因为，若， 所以，解得. 故选：A 38．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析集合M、N，得到，从而得解. 【详解】， ， 因为表示奇数，列举为， 同样表示奇数，所以. 故选：A 39．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 40．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知集合，，且，则（    ） A．0 B．3 C． D．3或0 【答案】A 【分析】根据集合相等列方程，解方程，然后根据元素的互异性进行取舍. 【详解】由得，解得或， 当时，，不满足元素的互异性，舍去； 当时，成立. 故选：A. 41．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据集合关系，可得，从而可求解. 【详解】由题意得， 则，解得. 故答案为：. 42．（21-22高一上·广东佛山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出集合，再根据列方程求解即可； （2）根据分，讨论求解. 【详解】（1）由已知得 ， 解得； （2） 当时，，得 当时，或，解得或， 综合得或. 考向3：集合的基本运算 角度1：交并补的混合运算 43．（2024·天津滨海新·三模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合补集和交集的运算法则即可计算求解. 【详解】， ∴， 又， ∴. 故选：B. 44．（23-24高二下·广东梅州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集结合一元二次不等式求，再根据交集运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：B. 45．（四川省达州市2023-2024学年高二下学期7月期末监测数学试题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，进而可判断ABCD. 【详解】因为， 所以或，故A错误；所以，故B错误； 所以，故C正确；所以不是Z的子集，故D错误. 故选：C. 46．（23-24高二下·湖南·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集和补集的定义直接计算即可. 【详解】由题意得，所以， . 故选：A 47．（23-24高二下·重庆·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，再根据补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】，， 则. 故选：C. 48．（多选）（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意得， 根据，,，，, 则； 作出Venn图:    则，A正确； 集合A中有3个元素，故A的不同子集的个数为，B正确； 由于，C正确； 因为，且，故，D错误， 故选：ABC. 角度2：Venn图 49．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】图中阴影部分所表示的集合为，求出集合，再根据交集和补集的定义即可得解. 【详解】， 图中阴影部分所表示的集合为， ，所以， 即图中阴影部分所表示的集合为. 故选：A. 50．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知全集，集合，，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定阴影部分表示的集合为，再根据补集与交集定义求解. 【详解】全集，集合，， 图中阴影部分的集合是. 故选：D. 51．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集及补集运算可得结果. 【详解】因为， 所以，图中阴影部分表示的集合为, 故选：B. 52．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解即得. 【详解】由，得或，而， 依题意，阴影部分表示的集合. 故选：B 53．（23-24高一上·重庆·期末）已知全集，能表示集合，，关系的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解集合A中的不等式，判断集合A，B的关系. 【详解】, 因为，所以BA，B正确. 故选：B. 54．（多选）（23-24高一上·江西·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果. 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 角度3：集合的应用 55．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知集合（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，结合集合运算法则求即可. 【详解】解不等式，可得或， 所以或， 又， 则或． 故选：B． 56．（23-24高一下·四川达州·期中）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，根据集合的交集的运算，即可求得答案. 【详解】由题意知集合，， 故， 故=， 故选：A 57．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集和交集的概念求出答案. 【详解】，故. 故选：C 58．（23-24高一上·山西·期末）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解分式不等式可求得，再由集合基本运算可求得结果； （2）易知，对集合是否为空集进行分类讨论即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）解不等式可得，则， 若，则， 所以． （2）若是的必要条件，则． 当，即时，，符合题意； 当，即时，，要满足， 可得， 解得， 综上实数的取值范围为或 59．（23-24高一上·浙江·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】当时，可得或，先求，再求其补集即可； （2）由可知，然后结合集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）依题意解得：，当时，或， 此时或， ； （2）由可知． 因为，； 当，即时，，符合题意， 当，即时，或， 则或，此时不存在； 当，即时，或， 则或，此时不存在， 所以． 60．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别解两个一元二次不等式，得到集合,再根据补集定义和交集的求法即可求得； （2）由的含义，表示出不等式组，解之即得. 【详解】（1）由可得，，即， 又由可得，,即. 因，则. 于是，或或； （2）由（1）得，，，因，故得: ，解得， 所以实数m的取值范围为. 角度4：集合的新定义 61．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 62．（23-24高一下·上海·期末）设是给定的正整数．对于数列，，…，，令集合． (1)对于数列，，，直接写出集合；（用列举法表示） (2)设常数．若，，…，是以为首项，为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为； (3)若，，…，是等比数列，且，公比．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，． 【分析】（1）由新定义和集合的列举法，可得所求集合； （2）运用等差数列为递增数列，以及性质，即可得到所求个数； （3）由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论． 【详解】（1）因为数列，，，则. （2）因为构成以为首项，()为公差的等差数列， 所以有()，以及()． 此时，集合中的元素有以下大小关系： ． 因此，集合中含有个元素． （3）依题意可得，设， 设集合，． ①先证中的元素个数为，即从集合中任取两个元素，它们的和互不相同． 不妨设，于是． 显然，即． 假设，可得， 即． 因为，，所以，又， 于是，等式不成立． 因此，． 同理可证． ②再证． 不妨设，于是． 显然，． 假设，可得， 即， 因为，所以，又，于是， 等式不成立． 因此，． 由①②，得，且． 此时，集合中的元素个数为． 集合中所有元素的和为． 63．（23-24高一下·安徽宿州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用数域的定义直接判断即可. （2）利用关于乘法运算封闭的定义推理即得. （3）利用数域的定义，逐一验证各个条件被满足即可. 【详解】（1）由于，而，因此不是数域； 由于，而，因此不是数域； 中，都有零元：0和单位元：1； 关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； 对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律， 所以可以是数域. （2）设(都为整数)，显然,且， 则 显然，因此， 所以集合A关于乘法运算是封闭的. （3）①显然,当时，；当时，， 显然对任意，都有，所以集合中有零元0和单位元1； ②设，则， 因为都为有理数，则也都为有理数， 因此； 又由（2）同理可得，都为有理数时，也都为有理数， 于是； 当时，令， 显然都是有理数，则，于是， 因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的； ③显然任意，都有，由中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 所以集合A是一个数域. 64．（23-24高一下·北京·期中）设为正整数，若满足：①；②对于，均有.则称具有性质.对于和，定义集合. (1)设，若具有性质，写出一个及相应的； (2)设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）根据性质的定义可得答案； （2）利用反证法以及性质的定义推出相互矛盾的结论可得解. 【详解】（1），； ，； ，； ，； ，； ，. （2）假设存在和均具有性质，且， 则， 因为与同奇同偶，所以与同奇同偶， 又因为为奇数，为偶数， 这与与同奇同偶矛盾，所以假设不成立. 综上所述：不存在具有性质的和，满足. 65．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1350. 【分析】（1）根据新定义直接求出； （2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得； （3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论． 【详解】（1）由已知，则，； （2）由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； （3）设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值． 66．（23-24高一上·河南开封·期末）对于集合，定义且.例如:，则有.已知集合，，其中. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义集合求得. （2）由列不等式来求得的取值范围，进而求得时的取值范围. 【详解】（1）若，则， 而，所以. （2）由，由于， 所以解得，所以， 若，则，所以，解得， 所以时，的取值范围是. 考向4：命题及其关系 角度1：四种命题 67．（多选）（23-24高一上·广西南宁·期中）下列命题正确的是(    ) A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．命题“”的否定是“” C．若“且”为真命题，则、均为真命题 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】根据逆否命题的定义判断A，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B，根据且命题的真假判断C，根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A：命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确； 对于B：命题“”的否定是“”，故B错误； 对于C：若“且”为真命题，则、均为真命题，故C正确； 对于D：由，即，解得或， 所以由能推出，故充分性成立， 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确； 故选：ACD 68．（多选）（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．若命题p为假命题，则命题p的逆命题一定为假命题 B．命题p：“若，则”为真命题 C．“”的一个必要不充分条件是“或” D．命题“小明的语文、数学月考成绩均超过了100分”的否定是“小明的语文、数学月考成绩都没有高于100分” 【答案】ACD 【分析】根据命题的逆命题、否命题、充要条件的相关概念即可判断. 【详解】对A：设命题p为“若m，则n”，p的逆命题为“若n，则m”.当n是m的充分不必要条件时，命题p为假命题，p的逆命题为真命题，所以A错误； 对B：若命题不正确，则，当时，与矛盾，所以B正确； 对C：“”的充要条件是“或”，所以C错误； 对D：否定是“小明的语文、数学月考成绩不都高于100分”，所以D错误. 故选：ACD. 69．（多选）（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．命题“，”的否定是“，” C．若“且”为真命题，则，均为真命题 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】由逆否命题、特称命题的否定的定义写出原命题的逆否命题、否定判断A、B；由且命题的真假判断简单命题真假判断C；解一元二次不等式，根据充分、必要性定义判断D. 【详解】A：由逆否命题是否定条件和结论并调换位置，原命题的逆否命题为若，则，对； B：全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为，，错； C：由“且”为真命题，易知：，均为真命题，对； D：或，故“”是“”的充分不必要条件，对. 故选：ACD 70．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知. (1)若是的必要不充分条件，求实数的范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据必要不充分条件的定义，先求出的范围，在确定即可； （2）由题意可转化为是的充分不必要条件，再根据充分不必要条件的定义求解即可. 【详解】（1）由题意可得，不是空集， 因为是的必要不充分条件，所以，解得， 即实数的范围. （2）因为是的必要不充分条件，， 所以是的充分不必要条件，故，解得， 所以实数的范围为. 角度2：四种命题间的相互关系 71．（2024·陕西·模拟预测）已知：向量与的夹角为锐角．若是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量夹角为锐角得到关于的不等式组，进而求得的取值范围，再结合为假命题取的取值范围的补集即可得解. 【详解】当向量向量与的夹角为锐角时， 有且与方向不相同，即，解得且， 因为是假命题，所以实数的取值范围是. 故选：C. 72．（2008高一·全国·竞赛）已知，若“且”为假命题，则（　　）. A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出命题，为假命题时a的范围，根据“且”为假命题求其并集可得结果. 【详解】为假，即，则； 为假，即，则， 且为假，即取两解集的并集，所以， 故选：B. 73．（2007高一·全国·竞赛）设命题p：关于x的方程的解为正解；命题q：函数是减函数.若p或q为真，p且q为假，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】 分别解出当命题、命题为真时，对应的的取值范围，再由命题与一真一假,即可得出答案. 【详解】 命题:且， 为真,即且，解得：，且； 命题为真时，，解得：. 又若p或q为真，p且q为假，即p与q为一真一假， ①当真，假时，,无解； ②当假，真时，，解得. 所以. 故答案为：. 74．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知p：关于x的方程（）无实数根． (1)若p是假命题，求实数m的取值范围； (2)已知条件q：，，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为假命题，结合一元二次方程的判别式，解不等式，即得答案； （2）求出命题p相应的m的范围，由题意可得，分类讨论是否为空集，解不等式，即得答案. 【详解】（1）由题意知p是假命题，则可得关于x的方程（）有实数根， 即，即， 解得或； 则实数m的取值范围为. （2）p：关于x的方程（）无实数根， 则，即， 解得， 设命题p相应的集合为，命题q相应的集合为， 若p是q的必要不充分条件，则有， 当为空集时，，符合题意； 当不为空集时，需满足，等号不能同时成立， 解得，验证时符合题意， 综上可得实数a的取值范围为. 考向5：充分条件与必要条件 角度1：充分不必要条件 75．（23-24高一下·四川德阳·期末）若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用充分不必要条件的判断方法，借助于数轴理解即得的取值范围. 【详解】因是的充分不必要条件，可得，但， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 76．（2023高一下·吉林·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为可以推出，即充分性成立； 但不能推出，例如，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 77．（23-24高一下·河南·期末）已知甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，且甲的年龄大于乙的年龄，则“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，甲的年龄大于乙的年龄，易判断“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于”的充分不必要条件. 【详解】若乙的年龄大于丙的年龄，则乙与丙的年龄之差不小于1．因为甲的年龄大于乙的年龄， 所以甲与乙的年龄之差不小于1，所以甲与丙的年龄之差不小于2，反之不成立． 故“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于”的充分不必要条件． 故选：C. 78．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如，，不能得到， 由，则，又，所以一定能得到， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：. 角度2：必要不充分条件 79．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 80．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可. 【详解】如果，比如，则有， 根据定义，， 即“”不是“”的充分条件， 如果，则有， ，所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 81．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的规定,分别判断充分性和必要性是否满足即得. 【详解】因，故由得不出，即p不是q的充分条件； 而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件， 故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 82．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 角度3：必要条件 83．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论. 【详解】由于，则成立，等价于成立， 充分性：若，且，则，则， 所以成立，满足充分性； 必要性：若，则成立， 其中，且， 则可得成立，即成立，满足必要性； 故选：C. 84．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质化简“”，得到的结论与“”加以比较，可得到答案． 【详解】根据指数函数是上的增函数， 可知等价于，即， 因为“”是“”的充要条件， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C. 85．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据不等式的性质以及作差法结合充分、必要条件分析判断. 【详解】 因为，， 若，则，可得， 则，所以成立，即甲是乙的充分条件； 若，可知，则，即， 可得，即，即甲是乙的必要条件． 综上可知：甲是乙的充要条件． 故选：C． 86．（23-24高一上·上海·期中）已知，则“成立”是“成立”的 条件. 【答案】充要 【分析】先证充分性，由求出的取值范围，再根据的取值范围化简即可，再证必要性,根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若，则， ， 所以“成立”是“成立”的充要条件. 故答案为：充要 考向6：简单的逻辑联结词 87．（23-24高一上·四川泸州·期末）下列命题的否定是真命题的是（    ） A．每个正方形都是平行四边形 B．是无理数，是无理数 C．， D．，关于x的方程有实数根 【答案】B 【分析】利用相关知识，逐一分析各命题的真假性，从而得到其否定的真假性，由此得解. 【详解】对于A，显然每个正方形都是平行四边形，故该命题是真命题， 所以该命题的否定是假命题，故A错误； 对于B，当时，满足是无理数，但是有理数，故该命题是假命题， 所以该命题的否定是真命题，故B正确； 对于C，当时，满足，此时，故该命题是真命题， 所以该命题的否定是假命题，故C错误； 对于D，对于方程，有恒成立，故该命题是真命题， 所以该命题的否定是假命题，故D错误； 故选：B. 88．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，取其补集即可得答案. 【详解】 命题为真时恒成立，，即，， 命题为真时，即 ，解得：或. 命题“且”是真命题时，取交集部分，可得或， 所以命题“且”是假命题时，可得且， 故选： D. 89．（23-24高一下·河南·开学考试）已知：实数满足：实数满足. (1)若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意解一元二次不等式得命题，结合命题真假确定取值范围； （2）利用充分条件、必要条件的定义解不等式即可. 【详解】（1）：实数满足，解得. 当时，，解得， 和至少有一个为真命题，， 实数的取值范围为. （2）由，解得， 即 是的充分不必要条件， （等号不同时取）， ， 又， 故实数的取值范围为 90．（20-21高一上·湖北十堰·期中）设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足. (1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围； (2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，化简命题p，命题q，再根据为真命题，则p真且q真求解； （2）化简两个命题，，根据p是q的必要不充分条件，由求解. 【详解】（1）解：当时，若命题p为真命题， 则不等式为，解得； 若命题q为真命题，则由，解得. ∵为真命题，则p真且q真， ∴实数x的取值范围是. （2）由，解得， 又， ∴. 设，， ∵p是q的必要不充分条件， ∴， ∴，解得. ∴实数a的取值范围是. 考向7：全称量词和存在量词 91．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由量词命题的否定判断即可． 【详解】特称命题的否定是全称命题， 是：， 故选：B． 92．（18-19高一上·重庆·期中）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】C 【分析】存在量词的否定为全称量词命题. 【详解】命题“，使”的否定是： ，使. 故选：C 93．（23-24高一上·广东汕尾·期末）已知命题p：，，则（    ） A．：， B．：， C．：， D．：， 【答案】D 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题. 【详解】由命题p：，”， 则：，. 故选：D. 94．（19-20高三上·江西抚州·阶段练习）若命题“”为假命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合命题和它的否定的真假性关系，以及一元二次不等式恒成立问题的充要条件即可求解. 【详解】由题意命题“”为真命题， 所以当且仅当， 解得，即m的取值范围是. 故选：C. 95．（22-23高二下·山东泰安·期末）若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】因为“，使得”是假命题， 所以“，使得”是真命题， 所以，解得， 故答案为: . 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$