4.1 投影 课前预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础认知、理解应用、综合拓展三层设计，覆盖投影概念到实际应用，梯度合理，助力新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|正投影、平行/中心投影概念|结合生活情境（如“更上一层楼”减少盲区），考查概念辨析，发展抽象能力与空间观念| |理解应用|投影计算、盲区分析|通过图形问题（如旗杆影长），融合相似三角形性质，培养推理意识与几何直观| |综合拓展|相似三角形应用、实际测量|设计实践操作题（如测量古塔高度），关联跨学科情境，发展应用意识与模型观念|

4.1 投影 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（　　） A． B． C． D． 2．“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 3．小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，不是中心投影的是（    ） A． B． C． D． 5．某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 6．广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为16米，落在斜坡上的影长为8米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1米的标杆竖立在斜坡上的影长为2米，则旗杆的高度为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 7．一块三角形纸板如图所示，，，测得边的中心投影的长为，则边的中心投影的长为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，观察图形，三角形的正投影可以是___________，也可以是___________；一条线段的正投影可以是___________，也可以是___________． 10．阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 11．如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在__________（填“太阳”或“灯光”）光线下形成的． 12．甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的倍．当甲到达点，乙到达点时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为_________． 13．小明家的客厅有一张直径为，高 的圆桌 ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为 ．如图，根据题意，以 为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为 ，则点 E 的坐标是_________． 三、解答题 14．分别画出下列几个几何体从正面和上面看的正投影． 15．数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 16．在长、宽都为，高为的房间的正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡A，为了集中光线，加上了灯罩（如图所示）．已知灯罩深，灯泡离地面，为了使光线恰好照在墙角、处，灯罩的直径应为多少？（结果保留两位小数，） 17．如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？ （2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 18．好学的小明为了探究物体投影规律做了一些实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小明将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①若木杆的长为，则其影子的长为_______； ②在同一时刻同一地点，将另一根木杆直立于地面，请画出表示此时木杆在地面上影子的线段． (2)如图2，夜晚在路灯下，小明将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②若木杆的长为，经测量木杆距离地面，其影子的长为，直接写出路灯P距离地面的高度． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C D D B C D 1．【答案】B 【知识点】正投影 【分析】根据正投影的特点及图中正六棱柱的摆放位置即可直接得出答案． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是矩形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正投影的性质，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形． 2．【答案】B 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可． 【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误； 选项B，减少盲区，正确； 选项C，不可能改变光点，错误； 选项D，不是增加亮度，选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区． 3．【答案】C 【知识点】平行投影 【详解】解：∵太阳光是平行光， ∴相等长度的木棍的投影应该在同一侧，且影子的长度相等，只有选项C符合． 4．【答案】D 【知识点】中心投影 【分析】本题考查中心投影的定义，由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的定义逐一判断各选项，即可得答案． 【详解】解：A．影子在物体异侧，作投影线时相交于一点，是中心投影，不符合题意； B．影子在物体同侧，作投影线时相交于一点，是中心投影，不符合题意； C．影子在物体同侧，作投影线时相交于一点，是中心投影，不符合题意； D．影子在物体同侧，作投影线时互相平行，不是中心投影，符合题意． 故选：D． 5．【答案】D 【知识点】正投影 【分析】本题考查了正投影的定义，在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影，分两种情况：当投影线垂直于地面时，当投影线平行于地面时，即可得出答案，熟练掌握正投影的定义是解此题的关键． 【详解】解：当投影线垂直于地面时，此时这名同学的正投影的长为小于， 当投影线平行于地面时，此时这名同学的正投影的长为等于， 综上所述，某同学身高，那么这名同学的正投影的长小于或等于， 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、平行投影 【分析】如图作交于M，于N，根据相似三角形的性质求出，在中利用等腰直角三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：如图作交于M，于N． 由题意得， ∴，即， ∴米， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． ∵在直角中，， ∴米， ∴米． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行投影，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、中心投影 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 由投影得，由相似性质得，求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解、平行投影 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：， ． ． ． 故选：D． 9．【答案】 一个三角形 一条线段 一条线段 一个点 【知识点】正投影 【分析】本题考查了投影，关键是掌握投影的定义． 如图，从三角形侧面投影为一个三角形，从三角形上方侧面投影为一条线段，从这条线段上方投影为一个点，从这条线段侧面投影为一条线段． 【详解】解：观察图形，三角形的正投影可以是一个三角形，也可以是一条线段，一条线段的正投影可以是一条线段，也可以是一个点， 故答案为：一个三角形，一条线段，一条线段，一个点． 10．【答案】平行 【知识点】平行投影 【分析】本题主要考查平行投影的概念，解题关键是熟练掌握平行投影与中心投影的概念区别，根据平行投影的定义进行判断即可，平行投影是指由平行光线所形成的投影． 【详解】解：阳光发出的光线可以看成是平行光线，像这样的平行光线所形成的投影叫做平行投影，阳光照射下体育馆的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 11．【答案】灯光 【知识点】平行投影、中心投影 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识．根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影． 【详解】解：因为影子的顶点和木杆的顶点的连线不平行， 所以它们的光线应该是点光源．它们是灯光下的投影． 故答案为：灯光． 12．【答案】8 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题主要考查平行投影，相似三角形的实际应用，得到关系式是解题的关键．根据题意得到，根据时间相等列出等式即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∴ ∴， ， ， 设乙的速度为，故甲的速度为， 根据题意，甲所走的路程为，即，乙所走的路程为，即， 故可得， 解得． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标确定，正确的识别图形是解题的关键．先根据圆桌与影子的平行关系，判定三角形相似；再利用相似三角形的对应边成比例，计算出影子的长度；最后结合已知点的坐标，确定目标点的坐标． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， ∵点 D的坐标为 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．【答案】 从正面正投影依次为： 从上面正投影依次为： 【知识点】正投影 【分析】根据投影的概念逐个求解即可. 【详解】略 【点睛】本题主要考查投影视图，解决本题的关键是要熟练掌握正投影的定义. 15．【答案】该古塔的高度为 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 16．【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】先画出几何图形，则，可知，然后证明，再根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高的比等于相似比，列式计算即可求出． 【详解】解：如图，光线恰好照在墙角、处，，， 根据题意可知：， 由于房间的地面为边长为的正方形，则， ， ， ， 即， ． 答：灯罩的直径约为． 【点睛】此题考查了中心投影、相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 17．【答案】（1）； （2）如图所示：根据对称性，摄像头安装在线段上时，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2， 若摄像头不安装在线段PQ上，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2． 【知识点】视点、视角和盲区、几何概率 【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解； （2）根据对称性，把摄像头安装线段上，计算出监控盲区的面积最小，即可得到结论． 【详解】解：（1）设小正方形的边长为1， ∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3， ∴站在监控盲区的概率=3÷20=； （2）略 【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键． 18．【答案】(1)①2； ②如图所示，线段即为所求； (2) ①如图所示，点P即为所求； ② 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影、中心投影 【分析】本题考查平行投影问题以及相似三角形的判定和性质，平行光线得到的影子是平行光线经过物体的顶端得到的影子，利用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键． （1）①根据题意证得四边形为平行四边形，从而求得结论； ②根据平行投影的特点作图：过木杆的顶点作太阳光线的平行线； （2）①分别过影子的端点及其线段的相应的端点作射线，两条射线的交点即为光源的位置； ②根据，可证得，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得结论． 【详解】（1）解：①根据题意：， ∴四边形为平行四边形， ， 故答案为：． ②略 （2）解：①略 ②过点作分别交于点， ， ， ， ， ， 解得：， ， ∴路灯距离地面的高度为3米． 学科网（北京）股份有限公司 $