4.4 一元一次方程［章节复习同步精编培优讲义］导图知识卡片+知识梳理+29个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题-2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦一元一次方程核心知识点，系统梳理方程概念、等式性质、解法步骤及应用类型，从基础概念到性质理解，再到解方程步骤，最后延伸至29类实际应用问题，形成递进式学习支架。 资料以思维导图构建知识网络培养抽象能力，29个题型讲练通过典例与变式训练发展推理能力，实际应用问题如古代问题、电费问题强化模型意识，中考真题与分层训练助力课中教学和课后查漏补缺。

2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 4.4一元一次方程[章节复习同步精编培优讲义] (知识梳理+29个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共73题) 【2026-2027学年苏科版数学新教材·七年级上册（原卷版)】 ■山且录导航小 思维导图.. 知识梳理.…… 3 知识点梳理01：一元一次方程的概念... 3 知识点梳理02：等式的性质.... 3 知识点梳理03：一元一次方程的解法… 3 知识点梳理04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型...· 3 题型讲练… 题型一判断各式是否是方程......… 题型二等式的性质1.。 题型三等式的性质2.... 题型四列方程.. 题型五判断是否是方程的解..… 5 题型六已知方程的解，求参数.. 5 题型七判断是否是一元一次方程.. …5 题型八判断是否是一元一次方程解.... .5 题型九解一元一次方程（一）—合并同类项与移项 题型十解一元一次方程（二）一去括号..... 题型十一解一元一次方程（三）一去分母..。 .6 题型十二已知一元一次方程的解，求参数.. 题型十三一元一次方程解的关系....... …7 题型十四绝对值方程.……… 7 题型十五配套问题（一元一次方程的应用） .7 题型十六工程问题（一元一次方程的应用）..8 题型十七销售盈亏（一元一次方程的应用）.8 第1页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型十八比赛积分（一元一次方程的应用） ..8 题型十九方案选择（一元一次方程的应用） 题型二十数字问题（一元一次方程的应用） 10 题型二十一几何问题（一元一次方程的应用） 10 题型二十二动点问题（一元一次方程的应用）...· 11 题型二十三和差倍分问题（一元一次方程的应用） 12 题型二十四电费和水费问题（一元一次方程的应用）.… 13 题型二十五行程问题（一元一次方程的应用）.... 14 题型二十六比例分配（一元一次方程的应用）... 15 题型二十七日历问题（一元一次方程的应用） 16 题型二十八古代问题（一元一次方程的应用） 17 题型二十九其他问题（一元一次方程的应用） 17 中考真题演练.。 18 难度分层训练..… 19 【基础夯实】 19 【培优拔高】 20 山思维导图 ·本章从描述现实问题中数量之间 相等关系的等式出发，得到方程 1.知识结构 等式 方程 解法 的相关概念，然后从具体实例写 方程 入一元一次方程的概念，探讨 元一次方程的解法，井利用一元 应用 一次方程解决实际问思。 解一元一次方程的基本思路是利用等式的基本性质，通过去分母、去括号、移项， 2.一元一次方程 合并同类项。系数化为1等过程把方程转化为x=©(：为常数)的形式. 的基本思想 蒂式的基本性质 ①等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。 第4章 ②等式两边都桑同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等 一元一次方程 找等量关系 在利用一元一次方程 章节复习知识点 实际问题 设未知数 一元一次方程 解决实际问题时列表 3用一示一次方提 和画示意图是分析等 解决问题的过程 解方程 量关系的重要菊略 实际同整的解、解再、检验方程的解王=c心为常数) 分析问题 初步形成模型观念 4.实际应用 提升运算能力。 请你依据方程3x+2(12-x)=32编制一道实际应用问题，并与同学交流. 5.解一元一次方程的步露 ①去分母 ②去括号 ⑤系数化为1 《回顶与总结 便方程中不含分母 去神括号，注雕变号 含来知数的 ④合并同类项 两边都除以方程中 修到方程的 合并同类原。化 未的系为】 ★小贴士①解方程时 注意每 步变影的依据是否正 ②检验是必要的。 特别是分母中含来如数时 果要写成一(为常数)的形式. 第2页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 冒山知迟梳理 知识点梳理01：一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫做方程」 2.一元一次方程：只含有一个未知数（元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【要点提示】判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。 3.方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解。 4.解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点梳理02：等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 知识点梳理03：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数， (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边. (4)合并同类项：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax=b(a≠0)的形 式 (⑤)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解-。a≠0). (⑥)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值 不相等，则不是方程的解 知识点梳理04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程=速度×时间 2.和差倍分问题：增长量=原有量×增长率 3.利润问题：商品利润=商品售价一商品进价 4.工程问题：工作量=工作效率X工作时间，各部分劳动量之和=总量 第3页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 5.数字问题：多位数的表示方法：例如：abcd=a×103+b×10+c×10+d 山题型进练 题型一判断各式是否是方程 【典例精讲】(25-26七年级上·山东济宁·期末)下列式子是方程的是( A.X-1 B.2+1=3 C.a>b D.x=5 【变式训练】(25-26七年级上·全国·期末)下列四个式子中，是方程的是( A.2+3=5 B.2x-1 C.X=2 D.x2+2x+1 题型二等式的性质1 【典例精讲】(25-26七年级下·四川乐山·期中)由5x-y=-2,得到用x表示y的式子为y= 【变式训练】(25-26七年级上·福建宁德·阶段检测)若m=n,则下列等式中正确的是() A.m+1=n+2 B.2m=3n C.-2m+4=-2n+4 D.-=- 题型三等式的性质2 【典例精讲】(25-26七年级下·吉林长春·期末)下列等式变形中，正确的是( ) A.由3a+1=5a,得3a-5a=1 B.由a+3=b+3,得a=b C.由3x+7=12x-6,得3x-12x=7-6 D.由-a=12,得a=-3 【变式训练】(25-26七年级下·山西临汾·期中)下列方程的变形正确的是( A.由3+x=5,得x=5-3 B.由7x=-4,得x=-子 C.由y=0,得y=2 D.由3=x-2,得x=-2-3 题型四列方程 【典例精讲】(25-26七年级上·重庆忠县·期末)若a,b两数的平方和为0，则a,b两数的关系表示为 A.a+b=0 B.a2+b2 C.a2+b2=0 D.a2+b2=1 第4页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】(25-26七年级上·广东广州·期末)列方程表示“比b的四分之一小7的数等于a与b的和”： 题型五判断是否是方程的解 【典例精讲】(25-26七年级上·河南平顶山·期末)解为x=的方程是( A.3x-2=0 B.2X=3 C.7x-1=5x D.2x+1=3X-2 【变式训练】(25-26七年级上·山西吕梁·期末)写出一个解为x=-4的一元一次方程： 题型六已知方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江丽水·期末)己知m,n为常数，整式mx+3n的值随x的取值不同 而不同，下表是当x取不同值时整式mx+3n对应的值.则关于t的方程m(t-2)+3n=0的解是() 2 0 mx 0 -2 -4 +3n A.t=-2 B.t=-1 C.t=0 D.t=1 【变式训练】(25-26七年级上安徽六安期末)关于x的方程x-a=0的解为x=3,则a的值是 题型七判断是否是一元一次方程 【典例精讲】(25-26七年级下·吉林长春·期中)己知(a+2)xl-1+6=0是关于x的一元一次方程，则 a的值为 【变式训练】(25-26七年级下·河南南阳·期中)下列各式中是一元一次方程的是() A.4x2-1=5 B.=6 C.x-4 D.4+=2 题型八判断是否是一元一次方程解 【典例精讲】(25-26七年级上·浙江宁波·期末)已知x=2是一元一次方程ax-4b=8的解，则a-2b 的值为( ) A.4 B.-4 C.8 D.-8 【变式训练】(25-26七年级上·陕西榆林·期末)写出一个关于y的一元一次方程，使它的解为y=-2, 则这个方程可以是 .(写出一个即可) 第5页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型九解一元一次方程（一）一合并同类项与移项 【典例精讲】(25-26七年级上·辽宁大连·期末)若关于x的方程3x一k=5的解是x=1,则k的值为 A.2 B.-2 C.-6 D.-8 【变式训练】(25-26六年级下·上海青浦·期末)已知=号=后且a-3b+2c=6,那么a=一一· 题型十解一元一次方程（二）—去括号 【典例精讲】(25-26七年级上·湖南长沙·开学考试)解方程：专x-2=x-2) 【变式训练】(26-27七年级上江苏开学考试)对于a、b定义新运算：a★b=a(a-b)+1,比如5★2=5× (5-2)+1=5×3+1=16,如果4x=13,那么x=-一-： 题型十一解一元一次方程（三）一去分母 【典例精讲】(25-26七年级上·陕西西安·阶段检测)解方程：2+1=21 2 【变式训练】(2526七年级上·河北邯郸·开学考试)解方程：)+y= 15 题型十二已知一元一次方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·四川广元·期末)已知关于x的方程2x-3a=ax-3的解是x=-2,则 a的值为 【变式训练】(2026·湖南长沙·中考真题)若关于x的方程2x+m=2030的解是x=2,则m的值为 第6页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型十三一元一次方程解的关系 【典例精讲】(25-26七年级下·四川内江·期末)若关于x的方程8-2m=2(1-x)与方程2x-3=-x 的解相同，则m的值为( A.4 B.2 C.-2 D.-4 【变式训练】(25-26七年级上·江苏扬州·期末)若关于x的方程x+1=0与2x+5a=3的解相同， 则a=」 题型十四绝对值方程 【典例精讲】(25-26七年级上·四川眉山·期中)在数轴上点A表示-2，点B,C表示的数互为相反数， 且C与A之间的距离为2，则点B表示的数为 【变式训练】(25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测)已知数轴上点C表示的数是-3，若数轴上另一点D 与点C之间的距离为4，则点D表示的数是 题型十五配套问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(24-25七年级上·山东聊城·期末)汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑 为魁”之称.某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由2个茶壶和3只茶杯组成.用1千克瓷泥可做3个茶 壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套.根 据题意，下面所列方程正确的是，( ) A.9x=3(6-x)B.3x=9(6-x) C.2×3x=3×9(6-x)D.3×3x=2×9(6-x) 【变式训练】(25-26七年级上·江苏扬州·期末)某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个， 若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、 乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件(50-x)天，那么x天共生产甲种零件_个，(50-x)天 共生产乙种零件个；（用含x的代数式表示） (②)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解.请同学们自己完成解答过程. 第7页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型十六工程问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·福建福州·期末)某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交 通主干道修成水泥路.己知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天 数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之 和为25天. (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (②)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【变式训练】(2026·陕西榆林·二模)2026年4月26日，我国首艘18万立方米液化天然气(LNG)运 输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”，某工厂计划用40天时间生产一批轮 船模型，实际每天比原计划多生产4个，结果提前16天完成了生产任务，则原计划每天生产 个轮 船模型， 题型十七销售盈亏（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·云南曲靖·期末)某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利 25%. 若该商品的进价为60元，则标价为( A.90元 B.100元 C.110元 D.120元 【变式训练】（25-26七年级上·河北石家庄·期末)某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标 价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 元. 题型十八比赛积分（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(2026·浙江·中考真题)2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分， 平一场积1分，负一场积0分.某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数.设该队胜了x 场，则x满足的方程是( ) A.3x+(10-2)×1=20 B.3x+(10-2-x)×1=20 C.3x+10×1=20 D.3x+(10-x)×1=20 第8页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】(25-26七年级下·重庆万州·期末)2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中， 中国2014队(U12年龄段)夺得冠军.在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球 数为21个.已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1 个，则中国队小组赛共进球个。 题型十九方案选择（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(24-25七年级上·安徽合肥·开学考试)小白兔和青蛙进行跳跃比赛，小白兔每次跳4米， 青蛙每次跳22米，它们每秒钟都只能跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔12米设有一个饮水站，当它 们之中有一个开始喝水时，另一个跳了( )米 【变式训练】(24-25七年级上·山西临汾·期末)国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令人 叹为观止的取景地：它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰宝一一山 西隰县小西天，某单位在2月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行 社报价均为200元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工8.5 折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工9折优惠 (1)若设参加旅游的员工共有α(a>10)人，则选择甲旅行社的费用为_元；选择乙旅行社的费用为_元：（用 含a的代数式表示)》 (2)①这个单位现组织包括领队在内的共16名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理 由： ②若包括领队在内的共20名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由： (3)通过(2)中的解答，你有什么建议或感想.（写出一条即可） 第9页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型二十数字问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试)同学，欢迎你即将进入初中的生活！细心观察“初” 字的笔画，可以看出，它正好由15个交叉点和端点组成，每一笔画上有两个或三个圆圈. 请在每个圆圈内填入1到10这10个连续整数中的一个（不能重复），要求图中构成横、竖、撇、捺每个 笔画上的几个数字的和都等于一个常数（注意：不包括“折”）·你能填出来吗？试一试，你一定行！（请 直接将答案填在圆圈内) (13 【变式训练】(25-26七年级下·山东临沂·期末)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了 最早的幻方一一九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相 等，则图中x+y等于( 6 21 9 4 20 图1 图2 A.15 B.14 C.13 D.12 题型二十一几何问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏镇江·期末)如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长 为a的小正方形，得到如图2所示的图形.若图2中图形的周长为18，则a的值是( ) 第10页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 明 图1 图2 A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 【变式训练】(25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测)定义：数轴上两点P、Q到原点0的距离之差的绝对 值，称为P、Q两点的绝对距离，记作lP0Ql=P0-Q0L. (1)已知点A表示-4，点B表示2 ①求A、B两点的绝对距离： ②点C为数轴上一点（不与原点重合），且2A0B=3川BOCI川，求点C表示的数： (2)点M在点N左侧，且MN=6,若MON=4,求点M表示的数. 题型二十二动点问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·山东聊城·期末)已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一 点.且A,B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发.设运动时间为(t>O) 秒.求： ←-QB 0P4→ 6 (1)当点P运动多少秒时，点P追上点Q? (2)当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ (3)如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”.求出点P运 动多少秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”· 第11页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】（25-26七年级下·江苏苏州·期中)如图，在长方形ABCD中，AB=DC=10.点P从点B 出发沿B→A→B的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点Q从点C出发沿C→D的方向以每秒1个单位速度 匀速运动.P,Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动.设两点运动时间为（秒)， 当直线PQ把长方形ABCD面积分成相等的两部分时，t的值为( A或号 B.或5 c.5或5 D.或 题型二十三和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(26-27七年级上·四川乐山·开学考试)这学期快结束了，王老师去买奖品，7本日记本比 1本故事书多用了18元，已知1本故事书的价钱正好是1本日记本价钱的3倍，日记本和故事书的单价各 是多少元？（用方程解） 【变式训练】（25-26七年级上·北京东城·开学考试)今年兄弟俩年龄之和是55岁，曾经有一年，哥哥 的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时兄的岁数恰好是弟的岁数的2倍，兄今年多少岁？ 第12页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型二十四电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级下·河南周口·期中)为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯 水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量/m3 阶梯价格/（元/m3) 第一阶梯 小于或等于9m3 a 第二阶梯 大于9m3且小于或等于15m3 第三阶梯 大于15m3 该市某户居民2025年12月份的用水量为6m3,缴纳水费18元. (1)表格中a的值为 (2)若该户居民2026年1月份的用水量为12m3,应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量， 第13页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】(25-26七年级上·江苏南通·阶段检测)居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生 活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价， 收费方式 年用水量(m3) 收费标准（元/m3) 第一阶梯 0~180(含180) 5 第二阶梯 180~240(含240) 6.5 第三阶梯 240以上 (例如：该城市某户家庭年用水量为190m3,则水费为180×5+(190一180)×6.5=965元) (1)若该城市小明家2024年的年用水量为220m3,则小明家这一年的水费是元： (2)已知该城市小颖家2024年的年用水量为280m3,水费为1650元，求a的值； (3)若该城市某户居民2024年的年用水量为tm3,这户居民的水费是多少元？（用含t的代数式表示） 题型二十五行程问题（一元一次方程的应用）》 【典例精讲】(2526七年级上·陕西咸阳·开学考试)甲、乙两车从相距280千米的两地相向而行，小 时后还相距全程的25%，又知甲、乙两车的速度比是3：4，求甲车的速度. 第14页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】(25-26七年级下·重庆·开学考试)小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成.去 时，上坡路段用了08小时，平路用了0.3小时：原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度 快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时.已知往返的总路程为6.4千米. (1)求小新上坡时的平均速度： (②)小新在平路路段的平均速度是多少？ 题型二十六比例分配（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测)为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级 全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位：若租用同样数量的70座客车， 则多出3辆车，且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【变式训练】(25-26七年级上·天津蓟州·阶段检测)七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了 若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满， 问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 第15页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型二十七日历问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·湖北荆州·期末)如图是2026年1月的月历，用如图所示的“凹”字型 在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为a1,a2,a,a3,a4 日 一 二 三四五六 a 1 2 3 a,a as 4 5 6 789 10 11 1213141516 17 b2 b b3 1819 2021 222324 2526272829 3031 (1)若a=15,则a4=_:若a=x,则a1=_ (用含x的式子表示)： (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为111，你同意他的说法吗？请说明 理由： (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1,b2,b,b3,b4,且b1=2a+3,则代数式b-a1-a3 的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由， 【变式训练】(25-26七年级上·广东惠州·阶段检测)在如图所示的2025年1月的月历中，用十字形框 框出五个数，这五个数的和不可能是( 一二三 四五六 1 23 4 56 7891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 A.35 B.75 C.100 D.120 第16页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型二十八古代问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(2026·河南南阳·一模)创新角度 数学文化 算筹是在珠算发明以前我国独创并且 有效的计算工具，其为我国古代数学的发展做出了很大的贡献.在算筹记数法中，以“纵式”和“横式” 两种方式来表示数字，如下表： 数学 2 3 4 8 9 纵式 W W T 而 TⅧ 横式 三 血 业 表示多位数时，个位用纵式， 十位用横式，百位用纵式， 千位用横式，以此类推，氵 遇零则置空.例如： 表示的数是2025.若已知 ,则 a 【变式训练】(25-26七年级上·江苏扬州·期末)明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙 听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，问：人、银各几何？”其大意为：几 个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两.则有多少个人？有多少两银子？根 据以上内容，若设有x个人，则可列方程 题型二十九其他问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·河南驻马店·开学考试)某班将举行“庆祝建党103周年知识竞赛”活动， 班长安排小明购买奖品，下面是小明买回奖品时与班长的对话情景： 小明：“买了两种不同的笔记本共40本，单价分别为5元和8元，我付了300元，现在找回68元！” 班长：“你肯定搞错了！” 小明：“哦！我把自己口袋里的13元一起当作找回的钱了.” 班长：“这就对啦！” 请根据上面的信息，解决问题， (1)试计算两种笔记本各买了多少本， (2)请你解释：为什么不可能找回68元？ 第17页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业)为营造良好的社区环境，七(1)班同学对学校周边所 有社区开展“社区垃圾分类知识宣讲”综合实践活动，采取分组进社区宣讲的方式，每组进入一个社区.若 5名同学为一组，则剩余7名同学：若7名同学为一组，则缺少9名同学 (1)如果设学校周边有x个社区，如何用含x的代数式表示七(1)班的人数？ (2)如果设七(1)班有y名同学，如何用含y的代数式表示社区的数量？ (3)由(1)（2)，你能得到哪些方程？ 山中考真题演练 【真题演练1】(2025·陕西西安·中考真题)已知方程(m-1)xm+3=0是关于x的一元一次方程，则 m的值是( A.-1 B.O C.1 D.-2 【真题演练2】(2025·山东威海·中考真题)学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20 位老师会打篮球，80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有 A.20位 B.25位 C.30位 D.35位 【真题演练3】(2025·四川达州·中考真题)张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件， 张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件.”商店经理算了下，若减价5%， 则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的一件成本是元 【真题演练4】(2025·河北石家庄·中考真题)如图，M、N分别是数轴上的两点，M点表示的数是-15， N点表示的数是5.定义：已知点C是线段AB上的一个点，若点C到线段两个端点的距离之比为1：4，则称点 C为线段的“理想点”.则线段MN的“理想点”P表示的数为一一 -15 5 M 【真题演练5】（2025·重庆九龙坡·中考真题)为改善生态环境，植树节五、六年级的同学参加植树活动， 学校买回的树苗按下列方法分配到各班，第一个班取走了100棵，又取走余下的品，第二个班取走200棵， 第18页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 又取走余下的。第三个班取走300棵，又取走余下的品…，如此下去，最后全部的树苗被各班取完， 而且各班所得到的树苗棵数相等，那么有多少树苗？有几个班参加植树活动？ 山难度分层训练 【基础夯实】 1.(25-26七年级上·湖南长沙·开学考试)苹果比桃子多20个，如果每天吃2个苹果、1个桃子，桃子 吃完后，苹果还剩5个.原来苹果( )个. A.33 B.37 C.35 D.36 2.(25-26七年级上·湖南湘潭·期末)我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三 人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2 人，多出9人无车坐.问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是( ) A.3(x+2)=2x-9 B.3(x-2)=2x+9 c.言2= D.+2= 3.(25-26七年级上·陕西西安·阶段检测)纸上画有一数轴，将纸对折后，表示-4与2的两个点恰好重 合，则此时与表示-7的点重合的点所表示的数是 4.(26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试)有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为63%、42%、28%， 其中甲瓶糖水重11千克.先把甲、乙两瓶中的糖水混合，浓度变为49%：然后把丙瓶中的糖水全部倒入混 合液中，得到浓度为35%的糖水.原来丙瓶中有千克的糖水. 5.(26-27七年级上·全国·课后作业)某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运20kg 行李，超出部分每千克按经济舱全票价的1.5%计费.一名经济舱旅客托运了35kg行李，行李费连同八折 机票共付1107元，求该旅客机票的全票价， 第19页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【培优拔高】 1.（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测)己知整式M=a0+a1x+a2x2+…+a-1x-1+anx,其中 n,a0,a1,,an-1,an为正整数，且a0<a1<a2<…<an-1<an,且ao·a1·a2…an-1‘an=A,下 列说法正确的个数是( ①若多项式M可以为二次三项式，则A的最小值为6： ②若A=12,满足条件的整式M的个数为6； ③当A=10且n=1时，记满足条件的整式分别为M1,M2,…,Mm,则关于x的方程M1+M2l+Mm|= 18的解为x=1或x=-或x=-号 A.3 B.2 C.1 D.0 2.(25-26七年级上·河南驻马店·期末)对于两个不相等的有理数a,b,我们规定符号min{a,b}表示a, b两数中较小的数，如min{-2,3}=-2.按照这个规定，方程min{x,-x+2x=-1的解为( ) A.x=-1 B.x=- C.x=-1或x= D.x=月 3.(26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试)甲、乙两个景点相距15千米，一艘观光游船从甲景点出发， 抵达乙景点之后立即返回，共用3小时，已知第三小时比第一小时少行12千米，那么这条河的水流速度为 每小时 千米 4.(25-26七年级下·四川达州·期末)如图，己知等边三角形ABC的边长为12cm,有一点P从点A出发 沿A→B→C→A的方向以4cm/s的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿B→C→A→B的方向以6cm/ s的速度匀速移动，若点PQ同时出发，经过 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一项 点. B 第20页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 5.(25-26七年级下·重庆忠县·期末)马术三项训练场由三段组成，依次是盛装舞步、越野赛和场地障 碍赛.已知场地障碍赛段长度是盛装舞步段长度的2倍，甲、乙两教练分别从训练场的首末两个端头同时 出发查看场地情况，甲教练在盛装舞步段的速度是每分钟40米，进入越野赛段后速度提高了50%；乙教练 在场地障碍赛段的速度是每分钟60米，进入越野赛段后速度降低了二；当甲教练刚好查看到越野赛段的处 时与乙教练相遇 (1)设盛装舞步段长度为x米，越野赛段长度为y米，且x=ky,求k的值. (2)如果甲、乙两教练从出发到相遇的时间为3分钟40秒，求马术三项训练场的总长度. 第21页共21页 4.4 一元一次方程［章节复习同步精编培优讲义］ （知识梳理+29个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 【2026-2027学年苏科版数学新教材•七年级上册（解析版）】 思维导图 2 知识梳理 3 知识点梳理01：一元一次方程的概念 3 知识点梳理02：等式的性质 3 知识点梳理03：一元一次方程的解法 3 知识点梳理04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 3 题型讲练 4 题型一 判断各式是否是方程 4 题型二 等式的性质1 4 题型三 等式的性质2 5 题型四 列方程 6 题型五 判断是否是方程的解 7 题型六 已知方程的解，求参数 7 题型七 判断是否是一元一次方程 8 题型八 判断是否是一元一次方程解 9 题型九 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 9 题型十 解一元一次方程(二)——去括号 10 题型十一 解一元一次方程(三)——去分母 11 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 11 题型十三 一元一次方程解的关系 12 题型十四 绝对值方程 13 题型十五 配套问题(一元一次方程的应用) 13 题型十六 工程问题(一元一次方程的应用) 14 题型十七 销售盈亏(一元一次方程的应用) 16 题型十八 比赛积分(一元一次方程的应用) 16 题型十九 方案选择(一元一次方程的应用) 17 题型二十 数字问题(一元一次方程的应用) 19 题型二十一 几何问题(一元一次方程的应用) 22 题型二十二 动点问题(一元一次方程的应用) 24 题型二十三 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 26 题型二十四 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 27 题型二十五 行程问题(一元一次方程的应用) 29 题型二十六 比例分配(一元一次方程的应用) 31 题型二十七 日历问题(一元一次方程的应用) 32 题型二十八 古代问题(一元一次方程的应用) 34 题型二十九 其他问题(一元一次方程的应用) 35 中考真题演练 36 难度分层训练 39 【基础夯实】 39 【培优拔高】 41 知识点梳理01：一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 【要点提示】判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点梳理02：等式的性质 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 知识点梳理03：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并同类项：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点梳理04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 题型一 判断各式是否是方程 【典例精讲】（25-26七年级上·山东济宁·期末）下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，不是等式，故不是方程，不符合题意； B．，是等式但不含未知数，故不是方程，不符合题意； C．，不是等式，故不是方程，不符合题意； D．是等式且含有未知数x，故是方程，符合题意； 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义．根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．逐一分析各选项是否符合条件即可． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，该选项不符合题意； B、是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程，该选项不符合题意； C、是等式且含有未知数，满足方程的定义，该选项符合题意； D、是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程，该选项不符合题意； 故选：C． 题型二 等式的性质1 【典例精讲】（25-26七年级下·四川乐山·期中）由，得到用表示的式子为_______． 【答案】 【分析】由移项法则变形即可求解． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同乘得． 【变式训练】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）若，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立；等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，∴或，故A错误； B．∵，∴或，故B错误； C．∵，∴等式两边同乘，得，等式两边同加，得，故C正确； D．∵，∴或，故D错误． 题型三 等式的性质2 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】根据等式性质对各选项的变形逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A 、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项B、∵，等式两边同时减，得，原变形正确，符合题意； 选项C、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项D、∵，等式两边同时乘，得，原变形错误，不符合题意； 【变式训练】（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列方程的变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式性质逐一判断变形是否正确即可，等式两边同加同减同一个数，同乘或同除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】选项A，，等式两边同时减去3，得，变形正确，符合题意； 选项B，，等式两边同时除以7，得，变形错误，不符合题意； 选项C，，等式两边同时乘以2，得，变形错误，不符合题意； 选项D，，等式两边同时加上2，得，即，变形错误，不符合题意． 题型四 列方程 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆忠县·期末）若a，b两数的平方和为0，则a，b两数的关系表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列方程，解题的关键是理解“平方和”的数学含义． a，b两数的平方和即先平方，再求和，据此列式即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·期末）列方程表示“比的四分之一小的数等于与的和”：___________． 【答案】 【分析】本题考查了列方程，正确理解语句的意义是解题的关键．根据题意，“比的四分之一小的数”表示为，“与的和”表示为 ，两者相等故列方程即可． 【详解】解：比的四分之一小的数为，与的和为， 可列方程． 故答案为：． 题型五 判断是否是方程的解 【典例精讲】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查方程的解，使方程的等号两边相等的未知数的值叫做方程的解． 【详解】将分别代入各选项中的方程： A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 故选：B 【变式训练】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为的一元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当时等式成立的一元一次方程即可． 【详解】解：设一元一次方程为（），将代入，得， ∴， 取，则， 得到方程， 故答案为：（答案不唯一）． 题型六 已知方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值．则关于t的方程的解是（） x 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求方程变形，结合表格中整式的对应值即可求解． 【详解】解：令，方程可变形为， 由表格可知，当时，对应的， ∴， 解得． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽六安·期末）关于x的方程的解为，则a的值是________． 【答案】3 【分析】把代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得． 题型七 判断是否是一元一次方程 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，据此列出等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且． 解得，即或． 又． 因此． 【变式训练】（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列各式中是一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程需满足四个条件：是含有未知数的等式，只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程． 【详解】解：选项A中未知数的最高次数为，不符合要求，A错误； 选项C不是等式，不属于方程，不符合要求，C错误； 选项D分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求，D错误； 选项B是等式，只含一个未知数，的次数为，且是整式方程，满足一元一次方程的所有条件，B正确． 题型八 判断是否是一元一次方程解 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，再提取公因式2即可求解 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）写出一个关于y的一元一次方程，使它的解为，则这个方程可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程是解题关键． 根据定义结合方程解的定义即可求解． 【详解】解：由题意，方程的解为， 因此可构造方程（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 题型九 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）若关于x的方程的解是，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】因为方程的解满足方程，所以将代入原方程，得到关于的一元一次方程．求解得到的关于的一元一次方程，即可得到的值． 【详解】解：∵ 方程的解是 ∴ 代入得 ∴ . 【变式训练】（25-26六年级下·上海青浦·期末）已知，且，那么______． 【答案】4 【详解】设，则， ， 解得， ． 题型十 解一元一次方程(二)——去括号 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）解方程： 【答案】 【详解】解： 【变式训练】（26-27七年级上·江苏·开学考试）对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____． 【答案】1 【分析】根据新的运算法则“”，将代入得一个关于x的方程，求解 x的值即可． 【详解】解：根据新运算可得 即如果，那么． 题型十一 解一元一次方程(三)——去分母 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）解方程： 【答案】 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【变式训练】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）解方程： 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘以120得， ， ． 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·四川广元·期末）已知关于的方程的解是，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是， ∴把代入原方程，得：， 整理得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【变式训练】（2026·湖南长沙·中考真题）若关于的方程的解是，则的值为__________． 【答案】 【分析】方程的解满足方程，将代入原方程即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． 题型十三 一元一次方程解的关系 【典例精讲】（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程与的解相同，则___________． 【答案】1 【分析】先求解方程得到的值，再将该值代入方程，转化为关于的一元一次方程，进而求解的值. 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 即， 解得. 题型十四 绝对值方程 【典例精讲】（25-26七年级上·四川眉山·期中）在数轴上点A表示，点B，C表示的数互为相反数，且C与A之间的距离为2，则点B表示的数为____________． 【答案】4或0 【分析】先根据点表示的数与点和点的距离求出点表示的数，再根据相反数的定义求出点表示的数． 【详解】解：设点表示的数是，点B表示的数是， 点表示的数是，点与点之间的距离为， ， 解得或， 点和点表示的数互为相反数， 当时，．当时，． 点B表示的数是4或0． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知数轴上点表示的数是，若数轴上另一点与点之间的距离为，则点表示的数是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离与绝对值的关系，以及含绝对值的一元一次方程的解法．根据数轴上两点距离公式，设点表示的数为，则，解绝对值方程即可． 【详解】设点表示的数为，则点与点之间的距离为， 当时，， 当时，， 所以点表示的数是或， 故答案为：或． 题型十五 配套问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·山东聊城·期末）汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由2个茶壶和3只茶杯组成．用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，下面所列方程正确的是，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据配套时总套数相等的关系列方程即可． 【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯， ∵ 1千克瓷泥可做3个茶壶， ∴ 茶壶总数量为个， ∵ 1千克瓷泥可做9只茶杯， ∴ 茶杯总数量为个， ∵ 每套茶具由2个茶壶和3只茶杯组成，配套时总套数相等， ∴ ， 整理得． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 【答案】(1)； (2)安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 【详解】（1）解：安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天， 那么x天共生产甲种零件个，天共生产乙种零件个； （2）解：根据题意得， 解得， ， 答：安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 题型十六 工程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·福建福州·期末）某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． (2)甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【分析】（1）根据甲、乙单独完成工程的天数和倍数关系，设未知数列方程求解得到两队单独完成的天数；再将总工程量看作单位1，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程， （2）求解得到合作需要的天数，用到工程问题中工作量=工作效率×工作时间的基本关系． 【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ，解得， 甲单独完成需要的天数为（天） 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． （2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得： ，解得． 答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【变式训练】（2026·陕西榆林·二模）年月日，我国首艘万立方米液化天然气（）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型． 【答案】 【分析】根据生产总任务量不变建立等量关系，设未知数后列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产个轮船模型， 由题意可知，实际生产天数为天，实际每天生产个，根据总任务量相等，列方程得： ， 解得：， 即原计划每天生产6个轮船模型． 题型十七 销售盈亏(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设该商品的标价为元，利用售价与标价、进价、利润率的关系列方程求解． 【详解】解：设该商品的标价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴商品的标价为元． 【变式训练】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． 【答案】150 【分析】设这款服装每件的标价为x元，根据题意列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设这款服装每件的标价为x元， ， 解得， 答：这款服装每件的标价为150元． 题型十八 比赛积分(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分，再由总积分为20分，列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆万州·期末）2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 【答案】 【分析】设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个，再根据总进球数的等量关系列出方程，求解方程后即可得到小组赛的进球个数． 【详解】解；设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个. 根据题意列方程得： ， 合并同类项得：， 移项得：，即， 系数化为得：， 将代入得：， 中国队小组赛共进球：14个． 题型十九 方案选择(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）小白兔和青蛙进行跳跃比赛，小白兔每次跳米，青蛙每次跳米，它们每秒钟都只能跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔米设有一个饮水站，当它们之中有一个开始喝水时，另一个跳了( )米． 【答案】 【分析】本题需先求出小白兔和青蛙第一次到达饮水站时各自需要跳的次数，对比得到先开始喝水的一方，再计算此时另一方跳跃的总路程即可． 【详解】解：先将各数化为假分数：，，， 到达饮水站时，跳跃总路程为饮水站间隔的正整数倍， 设小白兔跳次第一次到达饮水站，可得： ，其中为正整数， 整理得， 可得满足条件的最小正整数，即小白兔第一次到达饮水站需要跳次， 设青蛙跳次第一次到达饮水站，可得： ， 其中为正整数 整理得， 可得满足条件的最小正整数，即青蛙第一次到达饮水站需要跳次， 因为，所以青蛙先到达饮水站开始喝水， 此时小白兔跳的总路程为：． 【变式训练】（24-25七年级上·山西临汾·期末）国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令人叹为观止的取景地；它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰宝——山西隰县小西天．某单位在月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为元/人，两家旅行社同时都对人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有人，则选择甲旅行社的费用为 元；选择乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示） (2)①这个单位现组织包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； ②若包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)通过（2）中的解答，你有什么建议或感想．（写出一条即可） 【答案】(1)； (2) 解：①选择乙旅行社，理由如下： 当时，甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）， ∵， ∴选择乙旅行社； ②选择甲旅行社，理由如下： 当时，甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）， ∵， ∴选择甲旅行社； (3)当人数大于人且小于人时，选择乙旅行社比较优惠；当人数超过人时，选择甲旅行社比较优惠；当人数等于人时，两家旅行社费用一样． 【分析】（1）根据题意中的优惠方案，列出代数式； （2）把人数、分别代入（1）中的代数式计算，比较后得出结论； （3）先列方程求出两家旅行社费用一样时的人数，再结合（2）的解答写出建议即可． 【详解】（1）解：甲旅行社的费用为：（元）； 乙旅行社的费用为：元． 故答案为：； （2）略 （3）解：当两家旅行社费用一样时，可列方程， 解得， 答：当人数大于人且小于人时，选择乙旅行社比较优惠；当人数超过人时，选择甲旅行社比较优惠；当人数等于人时，两家旅行社费用一样． 题型二十 数字问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）同学，欢迎你即将进入初中的生活！细心观察“初”字的笔画，可以看出，它正好由15个交叉点和端点组成，每一笔画上有两个或三个圆圈． 请在每个圆圈内填入1到10这10个连续整数中的一个（不能重复），要求图中构成横、竖、撇、捺每个笔画上的几个数字的和都等于一个常数（注意：不包括“折”）．你能填出来吗？试一试，你一定行！（请直接将答案填在圆圈内） 【答案】 【分析】根据题意可设出对应圆圈的数，推出t与x的关系，再讨论x的值，从而确定其它数字即可得到答案． 【详解】解：根据题意可设对应圆圈的数如下图所示： 则， 所以， 所以， 因为表示的是1到10中的一个数， 所以的最大值为6， 当时，， 所以，符合题意； 此时填圆圈如下： 当时，，此时数字7用了2次，不符合题意； 当时，可求出此时t大于10，不符合题意； 综上所述，只有满足题意． 【变式训练】（25-26七年级下·山东临沂·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】先算出幻和为第一列三数之和，利用第一行求出右上角数，由对角线20，，以及第二行的三个数得，，根据对角线三个数为，，，第三行的三个数，求出，最终算出． 【详解】解：设幻方正中间的数为，右下角的数为，右上角的数为， ∵第一列的三个数为，5，20， ∴， ∵每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等， 又∵第一行的三个数为，21，， ∴， 解得， ∵从左下到右上的对角线三个数为20，，，第二列的三个数为21，，， ∴， ∴，， ∵从左上到右下的对角线三个数为，，，第三行的三个数为20，，， ∴，即， ∴， ∴． 题型二十一 几何问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】根据图形剪切前后周长的变化规律列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意得，原正方形的周长为 ， 观察图形可知，剪掉两个小正方形后，图形的周长比原正方形的周长增加了4条长为的边， 图2中图形的周长为， 图2中图形的周长为18， ，解得 ． 【变式训练】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：数轴上两点到原点的距离之差的绝对值，称为两点的绝对距离，记作． (1)已知点表示，点表示 ① 求两点的绝对距离； ② 点为数轴上一点（不与原点重合），且，求点表示的数； (2)点在点左侧，且，若，求点表示的数． 【答案】(1)① ；② 表示或 (2)或 【分析】（1）①先分别计算点A、B到原点的距离，再代入绝对距离公式直接计算即可．②，先根据①的结果算出，再代入等式求出的值，结合点B到原点的距离，通过绝对值方程求解点C到原点的距离，最后得到点C表示的数． （2）设点M表示的数为，根据M在N左侧且，得到点N表示的数为，再根据绝对距离的定义列出关于的绝对值方程，当， 当，当，分情况讨论求解方程即可． 【详解】（1）解：①∵表示，表示， ∴，， ∴． ②∵，且， ∴， 解得， 设到原点距离为， 则， ∴​或， 解得或， 因此点表示的数为：或． （2）解：设点表示的数为， ∵在左侧且， ∴表示的数为， ∵， ∴， 分情况讨论： 当（都在原点左侧）：， 舍去； 当（在原点左，在原点右）：， 解得或，均符合区间要求； 当（都在原点右侧）：， 舍去． 因此点表示的数为或． 题型二十二 动点问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点．且，两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．设运动时间为秒．求： (1)当点运动多少秒时，点追上点？ (2)当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ (3)如果、、中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称、、为一组“幸福点”．求出点运动多少秒时，点、点、点是一组“幸福点”． 【答案】(1)当运动秒时，点追上点 (2)当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 (3)当点P运动秒或秒或秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点” 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴动点问题，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）根据追及问题的等量关系，利用动点的运动距离减去动点的运动距离等于，两点间的距离为10，列方程即可求解； （2）根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解． （3）根据题意分3种情况讨论：当点B为的中点，当点P 为的中点，当点Q为的中点，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：当运动2.5秒时，点追上点． （2）解：根据题意，得当点与点相遇前，距离为8个单位长度： ， 解得； 当点与点相遇后，距离8个单位长度： ， 解得； 答：当点运动0.5秒或4.5秒时，点与点间的距离为8个单位长度； （3）解：∵点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点．且，两点间的距离为10， ∴点表示的数为， 根据题意，得当点B为的中点：， 解得； 当点P 为的中点：， 解得； 当点Q为的中点：， 解得； 答：当点P运动1.25秒或2秒或5秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可推出，据此分两种情况：和，分别建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线把长方形面积分成相等的两部分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为或5． 题型二十三 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·四川乐山·开学考试）这学期快结束了，王老师去买奖品，7本日记本比1本故事书多用了18元，已知1本故事书的价钱正好是1本日记本价钱的3倍，日记本和故事书的单价各是多少元？（用方程解） 【答案】日记本单价4.5元，故事书单价13.5元 【详解】解：设日记本单价为x元，则故事书单价为3x元， 由题意，得， 解得； 因此，故事书：（元）； 答：日记本单价4.5元，故事书单价13.5元． 【变式训练】（25-26七年级上·北京东城·开学考试）今年兄弟俩年龄之和是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时兄的岁数恰好是弟的岁数的2倍，兄今年多少岁? 【答案】 兄今年33岁 【分析】利用年龄差不变的规律，结合当年年龄的倍数关系设未知数列方程求解． 【详解】解：设今年弟弟的年龄为岁，则曾经有一年哥哥的年龄为岁，当年弟弟的年龄为岁 ∵两人年龄差始终不变 ∴兄弟年龄差为岁 ∴哥哥今年的年龄为岁 根据题意列方程： 解得 哥哥今年年龄为（岁） 答：兄今年33岁． 题型二十四 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级下·河南周口·期中）为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)3 (2)39 (3)该户居民2月份的用水量为． 【分析】（1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据分段计算即可； （3）先判断得出用水量超过，进入第三阶梯，设该户居民2月份的用水量为，由三段缴水费和为56元即可列方程求解． 【详解】（1）解：（元）； （2）解：用水量属于第二阶梯(大于且小于或等于)，需分段计算： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 总水费：元； （3）解：第一阶梯水费：元， 第二阶梯水费：元， 前两阶梯总水费：元， 因为，所以用水量超过，进入第三阶梯， 设该户居民2月份的用水量为， 根据题意，得， 解得． 答：该户居民2月份的用水量为． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)这户居民的水费为： 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用（分段计费问题），以及列代数式表示数． （1）根据小明家的年用水量所处的阶段，分段计费并计算费用总和． （2）根据小颖家的年用水量所处的阶段，分段计费并根据费用总和列一元一次方程，得到的值． （3）根据年用水量的范围分情况讨论，得到不同用水量阶段的用表达水费的代数式． 【详解】（1）解：∵小明家年用水量为，处于第二阶梯， ∴水费为：元​； 故答案为：； （2）解：小颖家年用水量为，跨越三个阶梯： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 第三阶梯：元， ∵总水费为元， ∴可列方程为， 解得：； ∴的值为； （3）解：根据年用水量的范围分情况讨论： 当时， 水费为， 当时， 水费​为， 当时，代入， 水费​为， ∴这户居民的水费为：． 题型二十五 行程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）甲、乙两车从相距千米的两地相向而行，小时后还相距全程的，又知甲、乙两车的速度比是，求甲车的速度． 【答案】甲车的速度是千米/时 【分析】设每份速度为，用含的式子表示甲、乙两车速度，依据速度和时间已走路程建立方程，求解得到，进而算出甲车速度． 【详解】解：设甲车速度为千米/时， 甲、乙两车速度比是， 乙车速度为千米/时， 两车小时一共行驶的路程为（千米）， 则 甲车速度：（千米/时）， 答：甲车的速度是千米/时． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆·开学考试）小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 【答案】(1) 小新上坡时的平均速度为2.5千米/小时 (2) 小新在平路路段的平均速度为4千米/小时 【分析】（1）设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时，根据上坡和下坡的路程相等建立方程求解即可； （2）求出坡路的长度，进而求出平路的长度，再根据速度等于路程除以时间可得答案． 【详解】（1）解：设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时， 由题意得， 解得， 答：小新上坡时的平均速度为千米/小时； （2）解：千米， 千米， 千米/小时， 答：小新在平路路段的平均速度是4千米/小时． 题型二十六 比例分配(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【答案】(1)原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人 (2)租用7辆70座客车合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量； （2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算． 【详解】（1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人； （2）解：租用45座客车所需费用为（元）， 租用70座客车所需费用为（元）． ∵， ∴租用7辆70座客车合算． 【变式训练】（25-26七年级上·天津蓟州·阶段检测）七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 【答案】3条船，36人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该班租了x条船，根据“每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该班租了x条船， 根据题意得：， 解得：， ∴该班一共有教师和学生:人， 答：该班租了3条船，该班一共有教师和学生36人． 题型二十七 日历问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图是2026年1月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为，，a，，． (1)若，则 ；若，则   （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为111，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，，b，，，且，则代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)9， (2) 解：不同意小胖的说法，理由如下： 假设被框住的5个数字之和能为111， 根据题意得， 解得：， 由图知，25在最后一行的最左边， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即小胖的说法不正确； (3)代数式的值是定值，18． 【分析】（1）利用及，即可求出的值及用含x的代数式表示出的值； （2）不同意小胖的说法，假设被框住的5个数字之和能为111，根据5个数字之和为111，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再结合图形可得出不符合题意，进而可得出假设不成立，即小胖的说法不正确； （3）代数式的值是定值，根据各数之间的关系，用含a的代数式表示出b，，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：若，则； 若，则． （2）略 （3）解：代数式的值是定值，理由： 根据题意得：，，， ∴， ∴代数式的值是定值，该定值为18． 【变式训练】（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）在如图所示的2025年1月的月历中，用十字形框框出五个数，这五个数的和不可能是（    ） A．35 B．75 C．100 D．120 【答案】A 【分析】设最中间的数为x，则可表示出其他四个数，进而可表示出这五个数的和，令这五个数的和分别等于四个选项中的数，解方程求出对应的x，看是否符合月历的特点即可得到答案． 【详解】解：设最中间的数为x，则其他四个数为， ∴这五个数的和为， 当时，解得，不符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 题型二十八 古代问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（2026·河南南阳·一模）创新角度  数学文化  算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，其为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是2025．若已知，则_______． 【答案】3 【分析】左边表示的数是108，右边表示36与a的积，据此列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，若设有x个人，则可列方程______． 【答案】 【分析】设有个人，根据银子的量是一定的，列出方程即可． 【详解】解：设有个人， 由题意，得：． 题型二十九 其他问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）某班将举行“庆祝建党103周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面是小明买回奖品时与班长的对话情景： 小明：“买了两种不同的笔记本共40本，单价分别为5元和8元，我付了300元，现在找回68元！” 班长：“你肯定搞错了！” 小明：“哦！我把自己口袋里的13元一起当作找回的钱了．” 班长：“这就对啦！” 请根据上面的信息，解决问题． (1)试计算两种笔记本各买了多少本． (2)请你解释：为什么不可能找回68元？ 【答案】(1) 单价为5元的笔记本买了25本，单价为8元的笔记本买了15本 (2) 解：不可能找回68元，理由如下：假设能找回68元，设购买5元笔记本本，8元笔记本本， 由题意得， 解得， 则， ∵笔记本的数量必须是正整数，求得的两种笔记本的数量均不符合实际意义， ∴不可能找回68元． 【分析】（1）先计算实际花费金额，结合两种笔记本的总数量与总花费列方程求解； （2）假设找回68元，列方程求解，根据解是否为正整数判断是否可能． 【详解】（1）解：实际花费为（元）． 设单价为5元的笔记本买了本，单价为8元的笔记本买了本． 根据题意得： ， 解得， 答：单价为5元的笔记本买了25本，单价为8元的笔记本买了15本； （2）略 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）为营造良好的社区环境，七（1）班同学对学校周边所有社区开展“社区垃圾分类知识宣讲”综合实践活动，采取分组进社区宣讲的方式，每组进入一个社区．若5名同学为一组，则剩余7名同学；若7名同学为一组，则缺少9名同学． (1)如果设学校周边有x个社区，如何用含x的代数式表示七（1）班的人数？ (2)如果设七（1）班有y名同学，如何用含y的代数式表示社区的数量？ (3)由（1）（2），你能得到哪些方程？ 【答案】(1)七（1）班的人数可表示为人或人 (2)社区的数量可表示为个或个 (3)可得到方程：， 【分析】（1）设学校周边有x个社区，根据若5名同学为一组，则剩余7名同学；若7名同学为一组，则缺少9名同学列出代数式即可； （2）设七（1）班有y名同学，根据若5名同学为一组，则剩余7名同学；若7名同学为一组，则缺少9名同学列出代数式即可； （3）根据学生人数和社区个数不变，列出方程即可． 【详解】（1）解：设学校周边有x个社区，根据题意得： 七（1）班的人数为：人或人； （2）解：设七（1）班有y名同学，根据题意得： 社区的数量为：个或个； （3）解：由（1）可得方程：； 由（2）可得方程：． 【真题演练1】（2025·陕西西安·中考真题）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程概念的应用，根据一元一次方程的定义，需满足未知数的最高次数为1且一次项系数不为0，据此列条件求解m的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得或， 又∵，即， ∴， 故选：A． 【真题演练2】（2025·山东威海·中考真题）学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有（    ） A．20位 B．25位 C．30位 D．35位 【答案】A 【分析】本题考查容斥原理的应用，通过分析各球类会的人数与总人数的重复计算部分，求解仅会两种球类的老师人数，理解题意是解题关键 【详解】解：设会且仅会两种球类的老师有x位 ∵会乒乓球、羽毛球、篮球的老师人数总和为位，至少会一种球类的老师有80位，三种球都会的老师在统计中被重复计算2次，仅会两种球类的老师被重复计算1次 ∴即 解得：， 故选：A 【真题演练3】（2025·四川达州·中考真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的一件成本是_____元． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程解决实际利润问题，先计算出减价的金额和减价后订购的总件数，再根据“降价后获得的总利润比原来多100元”建立等量关系，列方程求解即可得到商品的成本． 【详解】解：根据题意，计算得减价金额为：（元） 因为每降价1元多订购4件，所以多订购的件数为：（件） 降价后一共订购的件数为：（件） 设这种商品的一件成本是元， 根据利润关系列方程得： 解得 答：这种商品的一件成本是70元． 【真题演练4】（2025·河北石家庄·中考真题）如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为_____． 【答案】或1 【分析】设“理想点”P表示的数为x，分两种情况当时和当时，根据“理想点”的定义列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设“理想点”P表示的数为x， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上，P表示的数为或1． 【真题演练5】（2025·重庆九龙坡·中考真题）为改善生态环境，植树节五、六年级的同学参加植树活动，学校买回的树苗按下列方法分配到各班，第一个班取走了100棵，又取走余下的，第二个班取走200棵，又取走余下的，第三个班取走300棵，又取走余下的，……，如此下去，最后全部的树苗被各班取完，而且各班所得到的树苗棵数相等，那么有多少树苗？有几个班参加植树活动？ 【答案】有8100棵树苗，有9个班参加植树活动 【分析】设有x棵树苗，第一个班取走了100棵，剩余棵，再取走余下的，由此列出第一个班取走树苗的算式并化简；从树苗总数中减掉第一个班取走的量，得到第二个班取走之前剩下的树苗，第二个班取走200棵，又取走余下的，据此列出第二个班取走树苗的算式并化简；题目已知各班分得树苗数量相等，因此将两个班级的分得算式左右相等，列出方程并解方程即可解答． 【详解】解：设有x棵树苗， 则第一个班取走树苗数量为（棵）， 取走后余下树苗数量为（棵）， 第二个班取走树苗数量为（棵）， 根据题意，得， ， ， 第一个班级取走树苗数量为（棵）， 即每个班取走树苗900棵， 班级数为（个）， 答：有8100棵树苗，有9个班参加植树活动． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）苹果比桃子多20个，如果每天吃2个苹果、1个桃子，桃子吃完后，苹果还剩5个．原来苹果（     ）个． A．33 B．37 C．35 D．36 【答案】C 【分析】设一共吃了天． 则桃子有个，苹果有个．苹果比桃子多20个，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：设一共吃了天． 则桃子有个，苹果有个． ∵苹果比桃子多20个， ∴． 解得． 苹果数量为． 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）纸上画有一数轴，将纸对折后，表示与2的两个点恰好重合，则此时与表示的点重合的点所表示的数是___________． 【答案】 【分析】先根据重合的和求出对折的对称中心点，再利用重合两点到对称中心的距离相等，计算所求点表示的数 【详解】解：∵对折后表示与的两个点重合， ∴对折的对称中心所表示的数为， 设与表示的点重合的点所表示的数为， ∵互相重合的两个点到对称中心的距离相等， ∴， 整理得， 解得 4．（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为、、，其中甲瓶糖水重千克．先把甲、乙两瓶中的糖水混合，浓度变为；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为的糖水．原来丙瓶中有________千克的糖水． 【答案】 【分析】根据混合前后糖的总质量不变，先求出乙瓶糖水的质量，再计算丙瓶糖水的质量即可． 【详解】解：设乙瓶糖水的质量为千克， 混合后糖的总质量等于甲、乙两瓶中糖的质量之和， ， 整理得： ， 解得：， 即乙瓶糖水质量为千克， 甲乙混合后总糖水质量为千克，其中糖的总质量为 千克， 设丙瓶糖水质量为千克， 加入丙后糖的总质量等于甲乙混合后的糖质量加上丙中糖的质量， ， 整理得：， 解得：． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超出部分每千克按经济舱全票价的计费．一名经济舱旅客托运了行李，行李费连同八折机票共付1107元，求该旅客机票的全票价． 【答案】该旅客机票的全票价为1080元． 【分析】先设该旅客的飞机票的全票价为x元，再表示行李超重部分的付费为元，列式，再计算，即可作答． 【详解】解：设机票的价格为x元． 根据题意可得：， 解这个方程，得． 答：这名旅客的机票全票价为1080元． 【培优拔高】 1．（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）已知整式，其中，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） ①若多项式可以为二次三项式，则的最小值为6； ②若，满足条件的整式的个数为6； ③当且时，记满足条件的整式分别为，，…，，则关于的方程的解为或或． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】对于①，最小的3个不同正整数为，且，即可判断；对于②，讨论、、三种情况讨论，找出对应的整式；对于③，得到对应，，方程为，再解绝对值方程即可． 【详解】解：验证①：若为二次三项式，则，需3个不同正整数满足， 最小的3个不同正整数为，且， 的最小值为，①正确； 验证②：，由题为正整数，按分类讨论： 当时，需两个不同正整数满足， 可得或或，共3个整式； 当时，需三个不同正整数满足， 可得或，共2个整式； 当时，最小的个不同正整数乘积为，无满足条件的整式； 总个数为， ②错误； 验证③：当，，找不同正整数满足，得 或 对应，，方程为，分段讨论： 当时，原方程化为，解得，符合条件，是解； 当时，原方程化为，解得，不满足要求，舍去； 当时，原方程化为，解得，符合条件，是解； 方程的解为或，不存在这个解，③错误， 综上，正确的说法只有1个． 2．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，如．按照这个规定，方程的解为（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】分和两种情况，分别根据的定义，化简方程并求解即可． 【详解】解：①当，即时， ∴原方程可化为，解得，符合题意； 情况2：当，即时，， ∴原方程可化为，解得，不符合题意舍弃． 综上，方程的解为． 3．（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）甲、乙两个景点相距15千米，一艘观光游船从甲景点出发，抵达乙景点之后立即返回，共用3小时，已知第三小时比第一小时少行12千米，那么这条河的水流速度为每小时________千米． 【答案】 【分析】根据题意，第三小时比第一小时少行12千米，所以第一小时先顺水后逆水，第三小时是逆水；其次，如果第一小时的路程小于15千米，那么第三小时的路程小于3千米，后面两小时返程的总路程不可能达到15千米，无法回到甲地．所以，第一小时的路程大于15千米，后面两小时都是逆水航行．假设后面两小时的路程都是x千米，有，解得，即逆水速度是6千米/小时，那么第一小时里逆水航行的时间为：（小时），顺水航行的时间为：（小时），所以顺水速度为：（千米/时），那么这条河的水流速度为：（千米/小时）． 【详解】解：设后面两小时的路程都是x千米，则， ， ， （小时）， （小时）， （千米/小时）， （千米/小时）， 答：这条河的水流速度为每小时12千米． 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知等边三角形的边长为，有一点P从点A出发沿的方向以的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿的方向以的速度匀速移动，若点P、Q同时出发，经过 ________ 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 【答案】30 【分析】先设点P、Q同时出发，经过秒后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点，根据Q点走的路程比P点所走路程多2个等边三角形的边长，列方程求出x，再设点P、Q同时从第一次同时到达的顶点出发，经过y秒后两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点，根据Q点移动的路程比点P移动的路程多3个等边三角形的边长，列方程求出y，从而求出答案即可． 【详解】解：设点P、Q同时出发，经过秒后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点， 由题意得，， 解得； 设再经过y秒后两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点， 由题意得，， 解得， ， 即经过 30秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 5．（25-26七年级下·重庆忠县·期末）马术三项训练场由三段组成，依次是盛装舞步、越野赛和场地障碍赛．已知场地障碍赛段长度是盛装舞步段长度的2倍，甲、乙两教练分别从训练场的首末两个端头同时出发查看场地情况，甲教练在盛装舞步段的速度是每分钟40米，进入越野赛段后速度提高了；乙教练在场地障碍赛段的速度是每分钟60米，进入越野赛段后速度降低了；当甲教练刚好查看到越野赛段的处时与乙教练相遇． (1)设盛装舞步段长度为米，越野赛段长度为米，且，求的值． (2)如果甲、乙两教练从出发到相遇的时间为3分钟40秒，求马术三项训练场的总长度． 【答案】(1) (2) 马术三项训练场的总长度为米 【分析】（1）根据时间相等的关系结合即可求出； （2）将相遇时间换算为分钟后，代入时间公式结合第一问得到的与的关系求出和，再计算三段总长度即可． 【详解】（1）解：由题意得，场地障碍赛段长度为米，甲在越野赛段的速度为米/分钟，乙在越野赛段的速度为米/分， 相遇时，甲走完全部盛装舞步段，且走了越野赛段的，因此甲的运动时间为 ， 相遇时，乙走完全部场地障碍赛段，且走了越野赛段的，因此乙的运动时间为， 甲乙同时出发，相遇时运动时间相等， ，代入，得 ， ∴两边同除以，得， 解得； （2）解：3分钟40秒换算为分钟是分钟，即， 由第一问得，代入的表达式得 ， 解得， 则， 训练场总长度为（米）． 答：马术三项训练场的总长度为米． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 4.4 一元一次方程［章节复习同步精编培优讲义］ （知识梳理+29个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 【2026-2027学年苏科版数学新教材•七年级上册（原卷版）】 思维导图 2 知识梳理 3 知识点梳理01：一元一次方程的概念 3 知识点梳理02：等式的性质 3 知识点梳理03：一元一次方程的解法 3 知识点梳理04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 3 题型讲练 4 题型一 判断各式是否是方程 4 题型二 等式的性质1 4 题型三 等式的性质2 4 题型四 列方程 4 题型五 判断是否是方程的解 5 题型六 已知方程的解，求参数 5 题型七 判断是否是一元一次方程 5 题型八 判断是否是一元一次方程解 5 题型九 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 6 题型十 解一元一次方程(二)——去括号 6 题型十一 解一元一次方程(三)——去分母 6 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 6 题型十三 一元一次方程解的关系 7 题型十四 绝对值方程 7 题型十五 配套问题(一元一次方程的应用) 7 题型十六 工程问题(一元一次方程的应用) 8 题型十七 销售盈亏(一元一次方程的应用) 8 题型十八 比赛积分(一元一次方程的应用) 8 题型十九 方案选择(一元一次方程的应用) 9 题型二十 数字问题(一元一次方程的应用) 10 题型二十一 几何问题(一元一次方程的应用) 10 题型二十二 动点问题(一元一次方程的应用) 11 题型二十三 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 12 题型二十四 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 13 题型二十五 行程问题(一元一次方程的应用) 14 题型二十六 比例分配(一元一次方程的应用) 15 题型二十七 日历问题(一元一次方程的应用) 16 题型二十八 古代问题(一元一次方程的应用) 17 题型二十九 其他问题(一元一次方程的应用) 17 中考真题演练 18 难度分层训练 19 【基础夯实】 19 【培优拔高】 20 知识点梳理01：一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 【要点提示】判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点梳理02：等式的性质 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 知识点梳理03：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并同类项：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点梳理04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 题型一 判断各式是否是方程 【典例精讲】（25-26七年级上·山东济宁·期末）下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二 等式的性质1 【典例精讲】（25-26七年级下·四川乐山·期中）由，得到用表示的式子为_______． 【变式训练】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）若，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 等式的性质2 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式训练】（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列方程的变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 题型四 列方程 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆忠县·期末）若a，b两数的平方和为0，则a，b两数的关系表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·期末）列方程表示“比的四分之一小的数等于与的和”：___________． 题型五 判断是否是方程的解 【典例精讲】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为的一元一次方程：______． 题型六 已知方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值．则关于t的方程的解是（） x 0 1 2 0 A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽六安·期末）关于x的方程的解为，则a的值是________． 题型七 判断是否是一元一次方程 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【变式训练】（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列各式中是一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 题型八 判断是否是一元一次方程解 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）写出一个关于y的一元一次方程，使它的解为，则这个方程可以是________．（写出一个即可） 题型九 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）若关于x的方程的解是，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【变式训练】（25-26六年级下·上海青浦·期末）已知，且，那么______． 题型十 解一元一次方程(二)——去括号 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）解方程： 【变式训练】（26-27七年级上·江苏·开学考试）对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____． 题型十一 解一元一次方程(三)——去分母 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）解方程： 【变式训练】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）解方程： 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·四川广元·期末）已知关于的方程的解是，则的值为________． 【变式训练】（2026·湖南长沙·中考真题）若关于的方程的解是，则的值为__________． 题型十三 一元一次方程解的关系 【典例精讲】（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程与的解相同，则___________． 题型十四 绝对值方程 【典例精讲】（25-26七年级上·四川眉山·期中）在数轴上点A表示，点B，C表示的数互为相反数，且C与A之间的距离为2，则点B表示的数为____________． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知数轴上点表示的数是，若数轴上另一点与点之间的距离为，则点表示的数是___________． 题型十五 配套问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·山东聊城·期末）汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由2个茶壶和3只茶杯组成．用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，下面所列方程正确的是，（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 题型十六 工程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·福建福州·期末）某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【变式训练】（2026·陕西榆林·二模）年月日，我国首艘万立方米液化天然气（）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型． 题型十七 销售盈亏(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式训练】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． 题型十八 比赛积分(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆万州·期末）2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 题型十九 方案选择(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）小白兔和青蛙进行跳跃比赛，小白兔每次跳米，青蛙每次跳米，它们每秒钟都只能跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔米设有一个饮水站，当它们之中有一个开始喝水时，另一个跳了( )米． 【变式训练】（24-25七年级上·山西临汾·期末）国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令人叹为观止的取景地；它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰宝——山西隰县小西天．某单位在月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为元/人，两家旅行社同时都对人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有人，则选择甲旅行社的费用为 元；选择乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示） (2)①这个单位现组织包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； ②若包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)通过（2）中的解答，你有什么建议或感想．（写出一条即可） 题型二十 数字问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）同学，欢迎你即将进入初中的生活！细心观察“初”字的笔画，可以看出，它正好由15个交叉点和端点组成，每一笔画上有两个或三个圆圈． 请在每个圆圈内填入1到10这10个连续整数中的一个（不能重复），要求图中构成横、竖、撇、捺每个笔画上的几个数字的和都等于一个常数（注意：不包括“折”）．你能填出来吗？试一试，你一定行！（请直接将答案填在圆圈内） 【变式训练】（25-26七年级下·山东临沂·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 题型二十一 几何问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式训练】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：数轴上两点到原点的距离之差的绝对值，称为两点的绝对距离，记作． (1)已知点表示，点表示 ① 求两点的绝对距离； ② 点为数轴上一点（不与原点重合），且，求点表示的数； (2)点在点左侧，且，若，求点表示的数． 题型二十二 动点问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点．且，两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．设运动时间为秒．求： (1)当点运动多少秒时，点追上点？ (2)当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ (3)如果、、中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称、、为一组“幸福点”．求出点运动多少秒时，点、点、点是一组“幸福点”． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 题型二十三 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·四川乐山·开学考试）这学期快结束了，王老师去买奖品，7本日记本比1本故事书多用了18元，已知1本故事书的价钱正好是1本日记本价钱的3倍，日记本和故事书的单价各是多少元？（用方程解） 【变式训练】（25-26七年级上·北京东城·开学考试）今年兄弟俩年龄之和是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时兄的岁数恰好是弟的岁数的2倍，兄今年多少岁? 题型二十四 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级下·河南周口·期中）为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 题型二十五 行程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）甲、乙两车从相距千米的两地相向而行，小时后还相距全程的，又知甲、乙两车的速度比是，求甲车的速度． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆·开学考试）小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 题型二十六 比例分配(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【变式训练】（25-26七年级上·天津蓟州·阶段检测）七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 题型二十七 日历问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图是2026年1月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为，，a，，． (1)若，则 ；若，则   （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为111，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，，b，，，且，则代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【变式训练】（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）在如图所示的2025年1月的月历中，用十字形框框出五个数，这五个数的和不可能是（    ） A．35 B．75 C．100 D．120 题型二十八 古代问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（2026·河南南阳·一模）创新角度  数学文化  算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，其为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是2025．若已知，则_______． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，若设有x个人，则可列方程______． 题型二十九 其他问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）某班将举行“庆祝建党103周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面是小明买回奖品时与班长的对话情景： 小明：“买了两种不同的笔记本共40本，单价分别为5元和8元，我付了300元，现在找回68元！” 班长：“你肯定搞错了！” 小明：“哦！我把自己口袋里的13元一起当作找回的钱了．” 班长：“这就对啦！” 请根据上面的信息，解决问题． (1)试计算两种笔记本各买了多少本． (2)请你解释：为什么不可能找回68元？ 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）为营造良好的社区环境，七（1）班同学对学校周边所有社区开展“社区垃圾分类知识宣讲”综合实践活动，采取分组进社区宣讲的方式，每组进入一个社区．若5名同学为一组，则剩余7名同学；若7名同学为一组，则缺少9名同学． (1)如果设学校周边有x个社区，如何用含x的代数式表示七（1）班的人数？ (2)如果设七（1）班有y名同学，如何用含y的代数式表示社区的数量？ (3)由（1）（2），你能得到哪些方程？ 【真题演练1】（2025·陕西西安·中考真题）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【真题演练2】（2025·山东威海·中考真题）学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有（    ） A．20位 B．25位 C．30位 D．35位 【真题演练3】（2025·四川达州·中考真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的一件成本是_____元． 【真题演练4】（2025·河北石家庄·中考真题）如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为_____． 【真题演练5】（2025·重庆九龙坡·中考真题）为改善生态环境，植树节五、六年级的同学参加植树活动，学校买回的树苗按下列方法分配到各班，第一个班取走了100棵，又取走余下的，第二个班取走200棵，又取走余下的，第三个班取走300棵，又取走余下的，……，如此下去，最后全部的树苗被各班取完，而且各班所得到的树苗棵数相等，那么有多少树苗？有几个班参加植树活动？ 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）苹果比桃子多20个，如果每天吃2个苹果、1个桃子，桃子吃完后，苹果还剩5个．原来苹果（     ）个． A．33 B．37 C．35 D．36 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）纸上画有一数轴，将纸对折后，表示与2的两个点恰好重合，则此时与表示的点重合的点所表示的数是___________． 4．（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为、、，其中甲瓶糖水重千克．先把甲、乙两瓶中的糖水混合，浓度变为；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为的糖水．原来丙瓶中有________千克的糖水． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超出部分每千克按经济舱全票价的计费．一名经济舱旅客托运了行李，行李费连同八折机票共付1107元，求该旅客机票的全票价． 【培优拔高】 1．（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）已知整式，其中，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） ①若多项式可以为二次三项式，则的最小值为6； ②若，满足条件的整式的个数为6； ③当且时，记满足条件的整式分别为，，…，，则关于的方程的解为或或． A．3 B．2 C．1 D．0 2．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，如．按照这个规定，方程的解为（   ）． A． B． C．或 D． 3．（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）甲、乙两个景点相距15千米，一艘观光游船从甲景点出发，抵达乙景点之后立即返回，共用3小时，已知第三小时比第一小时少行12千米，那么这条河的水流速度为每小时________千米． 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知等边三角形的边长为，有一点P从点A出发沿的方向以的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿的方向以的速度匀速移动，若点P、Q同时出发，经过 ________ 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 5．（25-26七年级下·重庆忠县·期末）马术三项训练场由三段组成，依次是盛装舞步、越野赛和场地障碍赛．已知场地障碍赛段长度是盛装舞步段长度的2倍，甲、乙两教练分别从训练场的首末两个端头同时出发查看场地情况，甲教练在盛装舞步段的速度是每分钟40米，进入越野赛段后速度提高了；乙教练在场地障碍赛段的速度是每分钟60米，进入越野赛段后速度降低了；当甲教练刚好查看到越野赛段的处时与乙教练相遇． (1)设盛装舞步段长度为米，越野赛段长度为米，且，求的值． (2)如果甲、乙两教练从出发到相遇的时间为3分钟40秒，求马术三项训练场的总长度． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $