第08讲 等式与方程、一元一次方程概念和解法（核心知识+8易错辨析+13典例精讲+课后作业） 讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦等式与方程、一元一次方程概念和解法核心知识点，从等式定义与性质出发，衔接方程的概念、解与解法，进而构建一元一次方程的定义、判定条件及五步解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）的完整知识链，形成递进式学习支架。 资料以8个易错辨析（如去分母漏乘常数项）和13个分题型典例（如含参数方程求解）为特色，通过错误对比培养抽象能力，步骤拆解强化推理意识，实际问题列方程提升应用意识。课中辅助教师精准突破难点，课后助力学生自主巩固，有效弥补知识薄弱点。

第08讲 等式与方程、一元一次方程概念和解法 （核心知识+8易错辨析+13典例精讲+课后作业） 【知识点01】等式 1. 等式定义 用等号“=”表示相等关系的式子，叫做等式。 概念区分：含有等号才是等式；代数式不含等号，不是等式。 2. 等式的基本性质 ① 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式。 若a=b，则a±c=b±c。 ② 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 若a=b，则ac=bc；若a=b，c≠ 0，则 =。 核心注意：两边变形时，必须对等式左右两边整体操作；除法运算中除数绝对不能为0。 【知识点02】方程相关概念 1. 方程 含有未知数的等式叫做方程。必备两个条件：①是等式（含等号）；②含有未知数，二者缺一不可。 2. 方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（是一个具体数值）。 3. 解方程 求方程解的过程叫做解方程（是一个运算变形过程）。 关键区分：方程的解是数值结果；解方程是运算过程。 【知识点03】一元一次方程 1. 定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 2. 标准形式 ax+b=0 (a≠ 0) 3. 四大判定条件 ① 只含一个未知数；② 未知数最高次数为1；③ 分母不含未知数（整式方程）；④ 一次项系数a≠0。 举例区分：2x+3=7是一元一次方程；+2=3、x²-1=0都不是一元一次方程。 【知识点04】一元一次方程解法（五大步骤） 解题步骤 依据 核心注意点 去分母 等式性质2 所有项均乘分母最小公倍数，不含分母的常数项不遗漏；分子为多项式时必须加括号 去括号 乘法分配律、去括号法则 括号前是负号，括号内所有项全部变号；杜绝漏乘括号内项 移项 等式性质1 跨等号移动的项必须变号，等式同侧交换位置的项不变号 合并同类项 合并同类项法则 最终化为最简形式ax=b (a≠0) 系数化为1 等式性质2 区分分子分母，避免颠倒，准确计算未知数的值 完整解题示例 解方程：=1- 1. 去分母：4(2x-1)=12-3(x+2) 2. 去括号：8x-4=12-3x-6 3. 移项：8x+3x=12-6+4 4. 合并同类项：11x=10 5. 系数化为1：x= 易错点1：混淆代数式、等式、方程 2x-5：无等号，是代数式，不是等式、不是方程； 2x-5=0：有等号、含未知数，是等式、方程、一元一次方程。 避错口诀：含字母不一定是方程，等号+未知数缺一不可。 易错点2：一元一次方程判定不严谨 ① ax+2=0 不一定是一元一次方程，需满足a≠0，若a=0，式子变为2=0，不成立，不是方程； ② +1=5 分母含未知数，不是整式方程，不属于一元一次方程； ③ x+y=3 含有两个未知数，不符合“一元”要求，不是一元一次方程。 易错点3：滥用等式性质2 若ac=bc，不能直接推出a=b，只有当c≠0时，等式两边才能同时除以c，得到a=b。 易错点4：去分母漏乘常数项 解方程-1= ❌ 错误：3x-1=2(x-1)（常数项-1漏乘最小公倍数6） ✅ 正确：3x-6=2(x-1)（所有项统一乘公分母） 易错点5：去括号符号出错 解方程-2(x-3)=4 ❌ 错误：-2x-6=4（负号未分配到位） ✅ 正确：-2x+6=4（括号前负号，去括号全员变号） 易错点6：移项不变号（最高频错误） 解方程3x+5=2x-1 ❌ 错误：3x+2x=-1+5 ✅ 正确：3x-2x=-1-5 核心规则：只有跨等号移项才变号，等式同侧交换位置，项不变号。 易错点7：系数化为1颠倒分子分母 解方程2x=5 ❌ 错误：x= ✅ 正确：x= 避错口诀：系数放分母，常数放分子。 易错点8：混淆方程的解与解方程 ❌ 错误说法：将x=2代入方程验证的过程是解方程； ✅ 正确辨析：x=2是方程的解（数值），求出x=2的全过程是解方程（运算过程）。 【题型一】判断各式是否是方程 【例1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】．下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【变式3】．在①；②；③；④中，是方程的是________．（填序号即可） 【题型二】等式的性质 【例2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若，则下列等式变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将等式变形为（为常数）的形式为______． 【变式3】．利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【题型三】列方程 【例3】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式1】．列等式表示“x的3倍与5的和等于x的4倍与2的差”为________． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为________． 【变式3】．根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 【题型四】判断是否是方程的解 【例4】．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）整式（为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（   ） 0 1 2 8 4 0 A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）下列方程的解是的有________．（填序号）①；②；③． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是________． x 0 1 2 7 5 3 1 【题型五】已知方程的解，求参数 【例5】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为(   ) A． B．9 C． D．1 【变式1】．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）整式的值随的取值不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 12 8 4 0 A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若是关于x的方程的解，则多项式的值为______． 【变式3】．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【题型六】判断是否是一元一次方程 【例6】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则________． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）如果方程是关于的一元一次方程，那么_____ 【题型七】判断是否是一元一次方程解 【例7】．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【变式1】．若是关于的一元一次方程，则的值为______． 【变式2】．是方程的解吗？ 【变式3】．若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 【题型八】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【例8】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若是关于的方程的解，则的值为（　　） A． B．5 C． D．1 【例9】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）解方程：． 【变式1】．解下列方程： (1) ； (2)． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2). 【变式3】．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型九】解一元一次方程（二）——去括号 【例10】．（25-26七年级上·江苏·期中）解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程：． 【变式2】．解方程： 【变式3】．解方程： (1)； (2)； 【题型十】解一元一次方程（三）——去分母 【例11】．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）某同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的没有乘以6，因而求得方程的解为，则a的值和方程的正确的解分别是多少？（   ） A．， B．， C．， D．， 【例12】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）解方程：． 【例13】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解方程：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解一元一次方程：． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）解方程：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【题型十一】已知一元一次方程的解，求参数 【例14】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整m”方程；如果不是整数，则称为“分m”方程．例如方程的解是，我们称方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是 方程； (2)若关于x的方程是“整3”方程，求k的值； (3)若关于x的方程是“分”方程，则关于x的方程是 方程． 【题型十二】一元一次方程解的关系 【例15】．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程 的解为（  ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程与的解相同，则___________． 【变式2】．（25-26七年级上·山东临沂·期末）对于任意有理数，，定义新运算：．现给出下列结论：①；②若，则；③，其中一定正确的结论是________．（填写正确结论的序号） 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“平衡方程”．例如：方程和为“平衡方程”． (1)若关于x的方程与方程是“平衡方程”，求m的值； (2)若“平衡方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，利用整体思想，则关于y的一元一次方程的解为________． 【题型十三】绝对值方程 【例16】．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）若，则x的值为（   ） A．8 B． C．8或 D．5或 【例17】．能使式子成立的数是（    ） A．任意一个负数 B．任意一个正数 C．任意一个数 D．任意一个非正数 【变式1】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）若，则__________． 【变式2】．解方程：． 【变式3】．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2． 【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3． 解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：|3x﹣2|＝4； (2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|． 1. 等式核心：两条基本性质是解方程的理论基础，加减变形无限制，乘除变形务必保证除数不为0，且等式两边同步变形。 2. 方程判定核心：方程=等式+未知数；一元一次方程需同时满足“一元、一次、整式、系数不为0”四个条件，缺一不可。 3. 解方程固定流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。牢记关键避错要点：去分母不漏乘、去括号不乱号、移项必变号、系数化1不颠倒。 4. 解题好习惯：解方程完成后，将结果代回原方程检验，确保左右两边相等，规避计算失误。 一、单选题 1．下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，根据等式的基本性质，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．学习情境·过程纠错 研究下面解方程的过程： 去括号，得．① 移项，得．② 即．③ 两边都除以6，得．④ 以上解题过程中，最先出现错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 5．解方程，去分母，得（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．若关于的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 9．在解方程时，可以分两种情况讨论：①当时，，原方程可变形为，解得；②当时，，原方程可变形为，解得（舍去）．所以原方程的解为．仿照上面的方法，可得方程的解为（   ） A． B． C．或 D．不存在能使原方程成立的的值 二、填空题 10．如果，则______． 11．若方程的解比方程的解大1，则m的值为 ． 12．若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则___________． 13．已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是_________． 14．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是______． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）方程的解为_____． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2) 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与的解相同，求． 19．已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 20．定义：关于x的方程与（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”．例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与（a为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______． (2)若关于x的方程（b为不等于0的常数）的解为，求b的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为，请直接写出它的“反对方程”的解． 21．定义：如果两个一元一次方程的解的差的绝对值为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：的解为，的解为，，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)下列方程中与是“美好方程”的是______（填序号）； ①，        ②，        ③ (2)已知两个一元一次方程互为“美好方程”，且这两个“美好方程”的解的和为．若其中一个方程的解为，求的值； (3)已知关于的一元一次方程的解是，若关于的一元一次方程：是该方程的“美好方程”，则的值______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 等式与方程、一元一次方程概念和解法 （核心知识+8易错辨析+13典例精讲+课后作业） 【知识点01】等式 1. 等式定义 用等号“=”表示相等关系的式子，叫做等式。 概念区分：含有等号才是等式；代数式不含等号，不是等式。 2. 等式的基本性质 ① 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式。 若a=b，则a±c=b±c。 ② 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 若a=b，则ac=bc；若a=b，c≠ 0，则 =。 核心注意：两边变形时，必须对等式左右两边整体操作；除法运算中除数绝对不能为0。 【知识点02】方程相关概念 1. 方程 含有未知数的等式叫做方程。必备两个条件：①是等式（含等号）；②含有未知数，二者缺一不可。 2. 方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（是一个具体数值）。 3. 解方程 求方程解的过程叫做解方程（是一个运算变形过程）。 关键区分：方程的解是数值结果；解方程是运算过程。 【知识点03】一元一次方程 1. 定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 2. 标准形式 ax+b=0 (a≠ 0) 3. 四大判定条件 ① 只含一个未知数；② 未知数最高次数为1；③ 分母不含未知数（整式方程）；④ 一次项系数a≠0。 举例区分：2x+3=7是一元一次方程；+2=3、x²-1=0都不是一元一次方程。 【知识点04】一元一次方程解法（五大步骤） 解题步骤 依据 核心注意点 去分母 等式性质2 所有项均乘分母最小公倍数，不含分母的常数项不遗漏；分子为多项式时必须加括号 去括号 乘法分配律、去括号法则 括号前是负号，括号内所有项全部变号；杜绝漏乘括号内项 移项 等式性质1 跨等号移动的项必须变号，等式同侧交换位置的项不变号 合并同类项 合并同类项法则 最终化为最简形式ax=b (a≠0) 系数化为1 等式性质2 区分分子分母，避免颠倒，准确计算未知数的值 完整解题示例 解方程：=1- 1. 去分母：4(2x-1)=12-3(x+2) 2. 去括号：8x-4=12-3x-6 3. 移项：8x+3x=12-6+4 4. 合并同类项：11x=10 5. 系数化为1：x= 易错点1：混淆代数式、等式、方程 2x-5：无等号，是代数式，不是等式、不是方程； 2x-5=0：有等号、含未知数，是等式、方程、一元一次方程。 避错口诀：含字母不一定是方程，等号+未知数缺一不可。 易错点2：一元一次方程判定不严谨 ① ax+2=0 不一定是一元一次方程，需满足a≠0，若a=0，式子变为2=0，不成立，不是方程； ② +1=5 分母含未知数，不是整式方程，不属于一元一次方程； ③ x+y=3 含有两个未知数，不符合“一元”要求，不是一元一次方程。 易错点3：滥用等式性质2 若ac=bc，不能直接推出a=b，只有当c≠0时，等式两边才能同时除以c，得到a=b。 易错点4：去分母漏乘常数项 解方程-1= ❌ 错误：3x-1=2(x-1)（常数项-1漏乘最小公倍数6） ✅ 正确：3x-6=2(x-1)（所有项统一乘公分母） 易错点5：去括号符号出错 解方程-2(x-3)=4 ❌ 错误：-2x-6=4（负号未分配到位） ✅ 正确：-2x+6=4（括号前负号，去括号全员变号） 易错点6：移项不变号（最高频错误） 解方程3x+5=2x-1 ❌ 错误：3x+2x=-1+5 ✅ 正确：3x-2x=-1-5 核心规则：只有跨等号移项才变号，等式同侧交换位置，项不变号。 易错点7：系数化为1颠倒分子分母 解方程2x=5 ❌ 错误：x= ✅ 正确：x= 避错口诀：系数放分母，常数放分子。 易错点8：混淆方程的解与解方程 ❌ 错误说法：将x=2代入方程验证的过程是解方程； ✅ 正确辨析：x=2是方程的解（数值），求出x=2的全过程是解方程（运算过程）。 【题型一】判断各式是否是方程 【例1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程； B、不是等式，不是方程； C、是代数式，不是等式，不是方程； D、是方程； 故选：D． 【变式1】．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 【变式2】．下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 【变式3】．在①；②；③；④中，是方程的是________．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 【题型二】等式的性质 【例2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的两条性质逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：∵等式性质1：等式两边同时加（或减）同一个数或整式，等式仍然成立， ∴选项A（两边加3）、选项B（两边减c）均符合等式性质1，说法正确，不符合题意； ∵等式性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立， ∴对于选项C，等式两边同时乘以同一个数，符合等式性质2，说法正确，不符合题意； 对于选项D，当时，与无意义，该说法未限定，不符合等式性质2，说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若，则下列等式变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查等式的基本性质．需根据等式的性质，判断各选项变形是否正确． 【详解】解：∵， ∴根据等式性质1，等式两边同时加1，得，故A选项变形正确， ∵， ∴根据等式性质2，等式两边同时乘3，得，故B选项变形正确， ∵， ∴根据等式性质2，等式两边同时除以2，得，故C选项变形正确， ∵， ∴根据等式性质1，等式两边同时减1，得，而与不恒相等（仅当时相等），故D选项变形不正确， 故选：D 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将等式变形为（为常数）的形式为______． 【答案】 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质解答即可，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：等式两边同时加，得， 两边同时除以，得， 故答案为：． 【变式3】．利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用等式的性质解答即可； （2）利用等式的性质解答即可； （3）利用等式的性质解答即可； （4）利用等式的性质解答即可； （5）利用等式的性质解答即可； （6）利用等式的性质解答即可． 【详解】（1）方程两边同时减去5，得，即； （2）方程两边同时加上，得，即； （3）方程两边同时除以，得，即； （4）方程两边同时乘以，得，即； （5）方程两边同时减去，得，即， 方程两边同时除以，得； （6）方程两边同时加上，得，即， 方程两边同时除以，得． 【题型三】列方程 【例3】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列方程 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】由题意列方程得 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键． 【变式1】．列等式表示“x的3倍与5的和等于x的4倍与2的差”为________． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，x的3倍与5的和可表示为，x的4倍与2的差可表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为________． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 【变式3】．根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 【答案】(1) (2) 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列方程，准确将文字语言转化为数学表达式是解题的关键． （1）分别表示出与的差，的倍，即可列出方程； （2）分别表示出的倍，的一半，即可列出方程． 【详解】（1）解：与的差表示为：，的倍表示为：，故所列方程为：； （2）的倍表示为，的一半表示为，故所列方程为：． 【题型四】判断是否是方程的解 【例4】．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义，把分别代入各个选项中的方程，分别求出方程的左边和右边，然后根据一元一次方程解的定义进行计算，并判断即可． 【详解】解：把代入中，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 把代入，左边，右边， 左边=右边， 是此选项方程的解，故此选项符合题意； 把代入，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 把代入，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 故选：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）整式（为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（   ） 0 1 2 8 4 0 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了方程的解． 方程的解即求使整式值为8的x，由表格数据直接对应可得． 【详解】解：由表格知，当时，， 则方程的解为． 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）下列方程的解是的有________．（填序号）①；②；③． 【答案】①③ 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把代入各方程验证即可． 【详解】解：①∵当时，左边，右边，左边=右边， ∴是的解； ②∵当时，左边，右边，左边右边， ∴不是的解； ③∵当时，左边，右边，左边=右边， ∴是的解． 因此，方程的解是的有①和③． 故答案为：①③． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是________． x 0 1 2 7 5 3 1 【答案】2 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了求方程的解． 将方程转化为，从表格中直接找出当时，，从而得到方程的解． 【详解】解：方程可化为． 由表格数据可知，当时，， 因此方程的解为． 故答案为：2． 【题型五】已知方程的解，求参数 【例5】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为(   ) A． B．9 C． D．1 【答案】D 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是将方程的解代入原方程，转化为关于参数的一元一次方程求解． 将代入方程，得到关于的等式，计算得出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）整式的值随的取值不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 12 8 4 0 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为，然后从表格中直接查找使的值． 【详解】解：由得， 由表格数据，当 时， ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若是关于x的方程的解，则多项式的值为______． 【答案】2 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】将代入方程，利用等式的性质变形后求出的值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ， 即， 根据等式的性质，等式两边同时加4，得：， 等式两边同时除以2，得：． 【变式3】．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 【题型六】判断是否是一元一次方程 【例6】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，由此判断即可． 【详解】解：A：含两个未知数和，不符合题意； B：只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，符合题意； C：方程中含分母为未知数，不是整式方程，不符合题意； D：未知数的最高次数为，不符合题意． 故选：B． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程的定义及解一元一次方程，需根据一元一次方程中未知数次数为1且系数不为0确定m的值，再代入求解方程的解法即可． 【详解】解：∵方程是一元一次方程 ∴ 由得，即或 又∵，即 ∴ 将代入原方程，得 即 移项得 系数化为1得 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则________． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程．只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得且，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）如果方程是关于的一元一次方程，那么_____ 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：未知数的指数必须为1且系数不为0的整式方程，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 则， 则， 故答案为： 【题型七】判断是否是一元一次方程解 【例7】．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 【变式1】．若是关于的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．是方程的解吗？ 【答案】不是方程的解；是方程的解 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查方程解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 分别将代入方程，看是否符合方程解的定义即可解答． 【详解】解：当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值不相等，所以不是方程的解； 当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值相等，所以是方程的解． 【变式3】．若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 【答案】(1) (2)，不是方程的解；是方程的解 【知识点】判断是否是一元一次方程解、判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0是关键． （1）根据一元一次方程的定义，x的二次项系数是0，且一次项系数不等于0，据此即可求得m的值； （2）把m的值代入求得方程，然后把每个解代入方程中，如果使方程左右两边相等，这是方程的解，否则不是方程的解． 【详解】（1）解：由题意，得，， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为，所以方程为，即． 把代入方程得，则不是方程的解； 把代入方程得，则是方程的解； 把代入方程得，则不是方程的解． 【题型八】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【例8】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若是关于的方程的解，则的值为（　　） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，将方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴把代入原方程得， 即， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 故选：B． 【例9】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据移项，合并同类项，化系数为1即可求解． 【详解】解： 移项： 合并同类项： 化系数为1： 【变式1】．解下列方程： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题比较简单，只是考查一元一次方程的解法． （1）合并同类项，然后系数化为即可求解； （2）合并同类项，然后系数化为即可求解． 【详解】（1）解：合并同类项，得：， 系数化为得：； （2）合并同类项，得：， 系数化为得：． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程，熟记解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键． （1）根据一元一次方程的解法，移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （2）根据一元一次方程的解法，移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 【变式3】．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （4）根据合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：合并同类项，得， 将的系数化为1，得； （2）解：移项，得， 合并同类项，得， 将的系数化为1，得； （3）解：移项，得， 合并同类项，得， 将的系数化为1，得； （4）解：合并同类项，得， 将的系数化为1，得． 【题型九】解一元一次方程（二）——去括号 【例10】．（25-26七年级上·江苏·期中）解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程． 去括号时应用分配律，将3乘以括号内的每一项． 【详解】解：∵， ∴方程去括号后为． 故选：B． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，先去括号，移项，合并后再将未知数系数化为1，求出未知数的值即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：． 【变式2】．解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解方程的一般步骤是关键； 先去括号，再移项，最后系数化为1，即可求解． 【详解】解： 解得： 【变式3】．解方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】（1）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： 去括号，， 移项， 合并同类项，， 系数化1，； （2）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 【题型十】解一元一次方程（三）——去分母 【例11】．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）某同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的没有乘以6，因而求得方程的解为，则a的值和方程的正确的解分别是多少？（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照该同学的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，解得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：该同学的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， ∵该同学解得， ∴， ∴； 正确解法如下：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， 故选：D． 【例12】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】按照去分母，移项，合并同类项的步骤解题即可． 本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【例13】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程（三）——去分母等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解一元一次方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，根据解一元一次方程的方法求解即可，掌握去分母解一元一次方程的方法是解题的关键，注意符号变换． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．先把原方程整理得：，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 方程两边同时乘以，去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，， 将系数化为，得． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可； 本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：，                     去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， ， 即， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【题型十一】已知一元一次方程的解，求参数 【例14】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查一元一次方程，代入求值的计算，掌握一元一次方程的计算是关键． 解方程得到，通过变量代换分析分母的约数，确保解为正整数． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 即 ， ∴ ， ∵ 为正整数， 设 ，则 ， 代入得 ， ∴ 为正整数， 故 为整数， ∴ 为 5 的约数，即 ， 对应 ： 当 时，，； 当 时，，（舍）； 当 时，，； 当 时，，（舍）； ∴ 符合条件的整数 为 和 ， 其和为 ， 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的概念以及换元法的应用，熟练掌握换元法和方程解的对应关系是解题的关键． 通过观察两个方程的结构，发现可以用换元的思路，将第二个方程中的看作第一个方程中的，从而直接利用已知方程的解来求解新方程． 【详解】解：∵关于的方程的解为，且关于的方程与前者形式一致， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 【答案】3 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】先求出方程的解，再根据题意得到方程的解，代入求解的值． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 因为方程的解是方程的解的倍， 所以方程的解为， 将代入方程， 得， 即， 解得． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整m”方程；如果不是整数，则称为“分m”方程．例如方程的解是，我们称方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是 方程； (2)若关于x的方程是“整3”方程，求k的值； (3)若关于x的方程是“分”方程，则关于x的方程是 方程． 【答案】(1)“分” (2) (3)“整” 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程、“整m”方程和“分m”方程的定义，熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确理解“整m”方程和“分m”方程的新定义是解题的关键． （1）解方程得，根据题意给出的新定义得出方程是“分”方程； （2）把代入方程得：，解出的值即可； （3）根据题意得到，根据方程化简得到，据此得到方程的解为，据此解答即可． 【详解】（1）解：解方程得，不是整数， 则方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：根据题意得：方程是“整”方程， 把代入方程得：， 解得； （3）解：根据题意得：关于的方程是“分”方程， 则将代入方程得：， 即， 根据方程得：， 即， 将代入上式得： 解得， 因此方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 【题型十二】一元一次方程解的关系 【例15】．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程 的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】对比两个方程后可以得出关于的一元一次方程的解为，从而求出的值．本题考查了一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解满足， ， 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程与的解相同，则___________． 【答案】1 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】先求解方程得到的值，再将该值代入方程，转化为关于的一元一次方程，进而求解的值. 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 即， 解得. 【变式2】．（25-26七年级上·山东临沂·期末）对于任意有理数，，定义新运算：．现给出下列结论：①；②若，则；③，其中一定正确的结论是________．（填写正确结论的序号） 【答案】① 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义运算分类讨论是解题的关键． 根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①：∵， ∴，①正确； ②：若，则， ∴； 若，则， ∴， 故或，②错误． ③：当时，，， 若，则，等式不成立，③错误． 综上所述，正确的结论是①． 故答案为：①． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“平衡方程”．例如：方程和为“平衡方程”． (1)若关于x的方程与方程是“平衡方程”，求m的值； (2)若“平衡方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，利用整体思想，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】(1)6 (2)或 (3)2028 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查解一元一次方程的应用，新定义下的运算，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）先分别求出两个方程的解，再根据“平衡方程”的定义，得到，求出m的值即可； （2）先求出另一个方程的解为，由“平衡方程”的两个解的差为6，得到，求出n的值即可； （3）先求出方程，得，推导出方程的解为，继而将方程，化为，得到，解得，即可解答． 【详解】（1）解：解，得 ， 解，得 ， ∵关于x的方程与方程是“平衡方程”， ∴， 解得． 答：m的值为6； （2）解：∵“平衡方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为， ∵“平衡方程”的两个解的差为6， ∴， 即， ∴或， 解得或． （3）解：解方程，得 ∵关于x的一元一次方程和是“平衡方程”， ∴方程的解满足： ， 方程，可变形为： ， 对比方程与变形后的方程，得 ， 即， 解得． 【题型十三】绝对值方程 【例16】．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）若，则x的值为（   ） A．8 B． C．8或 D．5或 【答案】C 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值方程的求解，解题的关键是根据绝对值的定义将绝对值方程转化为两个一元一次方程来求解． 根据绝对值的定义，可得或，分别求解这两个一元一次方程，得到或． 【详解】解：因为， 所以的值为或． 当时，； 当时，． 所以的值为或， 故选：C． 【例17】．能使式子成立的数是（    ） A．任意一个负数 B．任意一个正数 C．任意一个数 D．任意一个非正数 【答案】D 【知识点】绝对值方程 【分析】分当时，当时，当时，三种情况去绝对值，看方程是否有解即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴，等式恒成立，符合题意； 综上所述，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）若，则__________． 【答案】3或5 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴或． ， 解得：； ， 解得：， 故答案为：或． 【变式2】．解方程：． 【答案】无解 【知识点】绝对值方程 【分析】根据绝对值的意义，分四种情况进行讨论计算，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程变形为：， 整理，可得：，此等式不成立，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 解得：，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 解得：，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 整理，可得：，此等式不成立，故原方程无解， 综上所述，原方程无解． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握绝对值的意义．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0． 【变式3】．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2． 【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3． 解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：|3x﹣2|＝4； (2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|． 【答案】(1)x=2或x= (2)x=-2或x=0 【知识点】绝对值方程 【分析】先去绝对值转化成一元一次方程求解． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：3x-2=4或3x-2=-4． 解得：x=2或x=； （2）由绝对值的意义得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0． 解得：x=-2或x=0． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键． 1. 等式核心：两条基本性质是解方程的理论基础，加减变形无限制，乘除变形务必保证除数不为0，且等式两边同步变形。 2. 方程判定核心：方程=等式+未知数；一元一次方程需同时满足“一元、一次、整式、系数不为0”四个条件，缺一不可。 3. 解方程固定流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。牢记关键避错要点：去分母不漏乘、去括号不乱号、移项必变号、系数化1不颠倒。 4. 解题好习惯：解方程完成后，将结果代回原方程检验，确保左右两边相等，规避计算失误。 一、单选题 1．下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的概念，熟练掌握方程的定义是解题的关键；根据方程的概念求解即可； 【详解】解：、是方程，故本选项符合题意； 、不是等式所以不是方程，故本选项不符合题意； 、不含有未知数，不是方程，故本选项不符合题意； 、不是等式所以不是方程，故本选项不符合题意； 故选：． 2．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：A、是一元一次方程，故本选项符合题意； B、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．已知，根据等式的基本性质，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐一对选项进行分析即可求出本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即A选项不正确， ∴，即B选项不正确， ∴，即C选项正确， ∴，即D选项不正确， 故选：C． 4．学习情境·过程纠错 研究下面解方程的过程： 去括号，得．① 移项，得．② 即．③ 两边都除以6，得．④ 以上解题过程中，最先出现错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程．根据题意观察本题解题过程发现步骤①出错，即可得到答案． 【详解】解：， 去括号，得：， ∴最先出现错误的步骤是①， 故选：A． 5．解方程，去分母，得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程两边同时乘以6，然后去括号即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 故选：B． 6．若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查根据一元一次方程解的情况求参数，先解方程得到x关于k的表达式，再根据x为整数确定k的取值，注意. 【详解】解：∵， ∴， 当时，方程为，无解，不合题意， ∴， ∴， ∵ x为整数，且k为整数， ∴ k整除2，即k是2的因数， ∴或， 共4个整数k满足条件． 故选：C． 7．若关于的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握换元法是解答本题的关键． 设，将替换为x代入方程可得，据此求解即可． 【详解】解：设， 则变形为， ∴，解得：． 故选：． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查一元一次方程的解，将两个方程化为相同的形式，根据的解求出y的值即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为， ∵ ∴ ∴， 则 ∴ ∴ 故选：B． 9．在解方程时，可以分两种情况讨论：①当时，，原方程可变形为，解得；②当时，，原方程可变形为，解得（舍去）．所以原方程的解为．仿照上面的方法，可得方程的解为（   ） A． B． C．或 D．不存在能使原方程成立的的值 【答案】D 【分析】本题考查了解绝对值方程，通过分情况讨论绝对值表达式，分别求解并验证是否满足条件，发现所得解均不满足条件，因此方程无解． 【详解】解：方程：， 两边同乘6：， 简化：， 移项：， 情况1：当，，代入得： ， ， ， ∵ 不满足， ∴ 舍去； 情况2：当 ，，代入得： ， ， ， ， ∵ 不满足， ∴舍去． ∴ 原方程无解． 故选：D． 二、填空题 10．如果，则______． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键掌握等式的性质：性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等．据此解答即可． 【详解】解：在等式两边同时加，得：． 故答案为：． 11．若方程的解比方程的解大1，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．注意计算的准确性． 先求解方程，根据题意可进一步得方程的解，将解代入方程即可求m的值． 【详解】解：解方程得：， 则方程的解为：， 将代入，得：， 解得：． 故答案为：18． 12．若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则___________． 【答案】 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，解题时要根据方程的特点进行有针对性的计算． 将代入原方程，化简后得到关于的等式，根据等式对任意成立的条件，令的系数为零，常数项相等，解出和，最后求出结果即可． 【详解】解：将代入原方程， 得， 整理得， ∵等式不论k取什么数均成立， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 13．已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、代数式求值等知识点，掌握一元一次方程定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义可知该方程的二次项系数为零且一次项系数不为零，据此可求出a的值，然后代入多项式求值即可． 【详解】解：∵方程为一元一次方程， ∴二次项系数，且一次项系数， ∴ ∴多项式． 故答案为． 14．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程可得，由“美好方程”的定义可得方程的解为，将方程变形为，可得，据此即可求解，利用同解方程的意义解答是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将方程变形为， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）方程的解为_____． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过观察方程的结构，发现若每个分数的值均为4，即各个分子都为分母的4倍，则其和为12，从而使方程成立，由此解出x的值． 【详解】解：，，， 、、都依次增加4， ，，都依次增加4， 由，解得：， 此时， 将代入， 得， 此时， 将代入， 得， 此时， 所以是方程的根， 故答案为：． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1等步骤． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1． 【详解】（1）解： 去括号： 合并同类项： 移项： 合并同类项： ∴ （2）解： 去分母： 去括号： 合并同类项： 移项： 合并同类项： ∴ 18．已知是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与的解相同，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的同解问题． （1）根据一元一次方程的定义得到且，进而求解即可； （2）求出方程的解，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴且， ∴； （2）解：∵， ∴可化为， 解得：， ∵该方程的解与的解相同， ∴， 解得：． 19．已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 20．定义：关于x的方程与（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”．例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与（a为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______． (2)若关于x的方程（b为不等于0的常数）的解为，求b的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为，请直接写出它的“反对方程”的解． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是新定义，一元一次方程的解及解一元一次方程； （1）根据“反对方程”的定义可直接得出答案； （2）将代入求出，整理方程得，然后根据“反对方程”的概念求解即可； （3）将代入求出，整理方程得，然后根据“反对方程”的概念求解即可． 【详解】（1）解：与方程互为“反对方程”， ； （2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴， ∴， ∴， 整理得： 关于的方程的“反对方程”为， 解得：； （3）∵关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 关于的方程的“反对方程”为， 解得：． 21．定义：如果两个一元一次方程的解的差的绝对值为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：的解为，的解为，，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)下列方程中与是“美好方程”的是______（填序号）； ①，        ②，        ③ (2)已知两个一元一次方程互为“美好方程”，且这两个“美好方程”的解的和为．若其中一个方程的解为，求的值； (3)已知关于的一元一次方程的解是，若关于的一元一次方程：是该方程的“美好方程”，则的值______． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)或 【分析】本题考查解一元一次方程、“美好方程”的定义，熟练掌握一元一次方程的解法、正确理解“美好方程”的定义是解题的关键. （）根据“美好方程”的定义进行解答，先分别求解每个方程，再计算解的差的绝对值是否为； （）结合解的和为，则另一个解为,根据“美好方程”定义得，对绝对值方程分类讨论,即可解答； （）先代入已知解求，再化简并求解，最后根据“美好方程”定义解绝对值方程即可解答． 【详解】（1）解：，解得：， ①， 解得； ，与是“美好方程”； ②，解得； ，与不是“美好方程”； ③，解得； ，与是“美好方程”； 故答案为：①③； （2）解：两个一元一次方程其中一个方程的解为，这两个“美好方程”的解的和为，则另一个解为, 根据题意：(美好方程定义),即， 当时,解得， 当时，解得， 故的值为或； （3）解： ， ∵一元一次方程的解是， ∴①， 关于的一元一次方程：， 解得②， 把①代入②，得③， ∵“美好方程”的定义是两个一元一次方程的解的差的绝对值为，已知是原方程的解，是其“美好方程”的解， ∴， 把③代入，得， 解得：， ∴的值为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $