4.3 用一元一次方程解决问题［同步精编培优讲义］导图知识卡片+知识梳理+15个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题-2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦“用一元一次方程解决问题”核心知识点，衔接一元一次方程解法，通过梳理列方程解应用题的一般步骤及配套问题、工程问题等15类常见题型，搭建从理论到应用的学习支架。 资料以“题型讲练+分层训练+中考真题”为特色，通过典例精讲（如配套问题）培养模型意识，变式训练提升推理能力，课中辅助教师系统教学，课后助力学生分层巩固，查漏补缺。

4.3 用一元一次方程解决问题［同步精编培优讲义］ （知识梳理+15个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【2026-2027学年苏科版数学新教材•七年级上册（原卷版）】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 2 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 3 题型讲练 5 题型一 配套问题(一元一次方程的应用) 5 题型二 工程问题(一元一次方程的应用) 6 题型三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 6 题型四 比赛积分(一元一次方程的应用) 7 题型五 方案选择(一元一次方程的应用) 7 题型六 数字问题(一元一次方程的应用) 7 题型七 几何问题(一元一次方程的应用) 8 题型八 动点问题(一元一次方程的应用) 8 题型九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 9 题型十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 9 题型十一 行程问题(一元一次方程的应用) 10 题型十二 比例分配(一元一次方程的应用) 11 题型十三 日历问题(一元一次方程的应用) 11 题型十四 古代问题(一元一次方程的应用) 12 题型十五 其他问题(一元一次方程的应用) 13 中考真题演练 14 难度分层训练 15 【基础夯实】 15 【培优拔高】 17 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题 分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 题型一 配套问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·四川成都·开学考试）服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子，一件上衣和一条裤子为一套服装．现有66名工人生产，每天最多能生产( )套． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 题型二 工程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成了任务．那么这批产品一共有____个． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 题型三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 【变式训练】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 题型四 比赛积分(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）阳光小学组织安全知识竞赛，共20题．评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，弃权不扣分也不得分．芳芳所在小组弃权2题，得了120分，他们答对了( )题． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·开学考试）明明参加学校“汉字大会”比赛，一共有道题，规定做对一题得分，做错或不做一题倒扣分，明明一共得了分，他一共做对了( )道题． 题型五 方案选择(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【变式训练】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 题型六 数字问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）去掉一个两位小数的小数点后，得到的新数与原数的和是7099.29，那么原数是( )． 【变式训练】（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）九个连续偶数的和比其中最小的数多232，这九个数中最大的数是________． 题型七 几何问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如图中的长方形被分割成6个正方形，中央的最小正方形的边长为，则长方形的面积是______． 【变式训练】（25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          题型八 动点问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26六年级下·上海·期末）已知线段．点、是线段上的两个动点，点从点出发，点从点出发，两个点同时出发相向而行．如果点的速度为，点的速度为，那么经过________秒时线段的长为． 【变式训练】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如图，在长方形中，厘米，厘米．两动点、同时从点出发，沿长方形的边按如图所示的方向，分别以厘米/秒的速度匀速绕行，当运动一周回到点位置时，两动点同时停止．则运动时间为______秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 题型九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·新疆喀什·开学考试）果园里苹果树和梨树共有48棵，其中苹果树的棵数是梨树的．梨树有多少棵？（用方程解） 【变式训练】（26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试）某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 题型十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【变式训练】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部分，每度电费要比基本电费增加20；超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50．李明家上月付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？ 题型十一 行程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·广东湛江·开学考试）甲、乙两人从同一地点骑自行车沿同一方向出发，乙每分钟行240米，先出发2分钟；甲每分钟行300米，随后出发追赶乙．甲出发后多少分钟追上乙？ 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）如下是课本中本节例3的情境： 小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置 （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 你还能提出其他问题并列方程解决吗？ 题型十二 比例分配(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河北保定·期末）某加工厂利用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成图2的型铁盒与型铁盒，两种铁盒均无盖．已知型铁盒需要4张长方形铁片，型铁盒需要3张长方形铁片． (1)做个型铁盒和个型铁盒，共需要_____张长方形铁片，_____张正方形铁片． (2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，且这些铁片恰好用完，设制作型铁盒个． ①制作B型铁盒_____个．（用含的式子表示） ②求制作A型、B型两种铁盒的个数． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）甲便民服务点有工作人员25人，乙便民服务点有工作人员18人，现有20名志愿者前来支援．要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍，应怎样分配前来的志愿者？ 题型十三 日历问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 题型十四 古代问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 题型十五 其他问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）如图，某校的饮水机有温水和开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的流速为20毫升/秒，开水的流速为15毫升/秒．小美先后接了一些温水和开水共220毫升，一共用了12秒（接开水和温水之间的时间差忽略不计）．则小美接开水用了______秒． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣．若每套设备每小时分拣万件，则经过，剩下万件未分拣；若每套设备每小时分拣万件，则经过，剩下万件未分拣．该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备？ 【真题演练1】（2025·陕西西安·中考真题）已知一个两位数，交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，新数比原数大36，如果关于的方程的所有整数解分别为，，，，为任意有理数，那么的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【真题演练2】（2025·广西贵港·中考真题）将连续的奇数1，3，5，7，9，……，按如图所示方式排列，图中的T字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（   ） A．30 B．78 C．198 D．206 【真题演练3】（2025·上海·中考真题）有以下信息： （1）小莉和小俊的桶中原来各装有3升和5升水； （2）小莉说：“如果把我桶里的水倒入你的桶中，把你的桶装满后，我的桶中还剩半桶水．” （3）小俊说：“如果把我桶里的水倒入你的桶中，把你的桶装满后，我的桶中还剩桶水．” 根据以上信息，小俊的桶最多可以装__________升水？ 【真题演练4】（2025·北京大兴·中考真题）如图，用一些长短相同的小木棍分别摆一排正方形和一排六边形，要求相邻的图形只有一条公共边．已知正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多，并且一共用了86根小木棍，则连续的正方形摆了_______个． 【真题演练5】（2025·湖北黄冈·中考真题）已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)①若点运动到原点时，此时点_____关于的“好点”（填是或者不是）； ②若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【基础夯实】 1．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某单位购进A、B、C三种型号的笔记本60本，它们的单价分别为25元，20元和15元，共计花费1250元．若其中有A种型号的笔记本本，则B种型号的有（     ）本．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（     ） A．36元 B．30元 C．24元 D．22元 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）有一张写着1至100的自然数表．在表中的相邻两行中各取连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108．如果在这张数表上，照上面的方法围出的6个数的和是480．那么方框里最大的数应该是_________． 5．（25-26七年级上·四川广元·期末）手工课上，老师让同学们将一张长方形彩纸按要求切割，得到如图所示的个长方形，其中，，．若长方形与长方形的周长相等，则的长度为________（用含的代数式表示）． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）哥哥和弟弟各买若干本练习本，如果哥哥给弟弟本，两人的练习本数量就同样多；如果弟弟给哥哥本，哥哥的练习本数量就是弟弟的倍．弟弟原来买练习本_______本． 7．（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）甲乙两种酒精的浓度分别为和，现要配制浓度为的酒精克，应当从这两种酒精溶液中各取________克和________克． 8．（26-27七年级上·河南三门峡·开学考试）“端午”期间，某商场搞“家电下乡”活动，农民伯伯购买家电时可享受政府补贴的优惠政策．张大伯家买了一台电冰箱，只需付1392元，这台冰箱的原价是多少元？ 9．（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 【培优拔高】 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·云南昆明·期末）由于车辆前后轮胎的磨损并不一致，因此当车辆行驶一定里程之后，需进行前后轮胎换位．设轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为．某品牌的轮胎安装在某车前轮行驶6万公里报废，安装在后轮行驶4万公里报废，如果此车行驶若干公里后将前后轮胎进行一次换位，使得前后两对轮胎同时报废，那么此品牌的轮胎从安装到报废最多可以行驶（     ） A．4.5万公里 B．4.8万公里 C．5万公里 D．5.2万公里 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（     ） A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元 4．（25-26七年级下·重庆·开学考试）一行数从左到右，一共2026个，任意相邻三个数的和都是116，第19个数是15，第29个数是，第2025个数是，则________． 5．（25-26七年级下·重庆·开学考试）小红的学号是一个八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数．学号的数字之和比它的最后两位数大9，那么小红的学号是________． 6．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体和光影效果．将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．例如图2，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；如图3，当长方形内有2个点时，可分得6个三角形；若长方形内有4个点时，则三角形个数为______个；若经过分割后，长方形内有126个三角形，则长方形内点的个数为______个（不计被分割的三角形）． 7．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）仓库大米比面粉多，当大米和面粉都减少5吨后，面粉比大米少，问：仓库原来大米有_______吨． 8．（25-26七年级下·重庆·开学考试）一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； (3)当的面积等于面积的时，求t的值； (4)当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． 10．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 4.3 用一元一次方程解决问题［同步精编培优讲义］ （知识梳理+15个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【2026-2027学年苏科版数学新教材•七年级上册（解析版）】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 2 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 2 题型讲练 5 题型一 配套问题(一元一次方程的应用) 5 题型二 工程问题(一元一次方程的应用) 6 题型三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 7 题型四 比赛积分(一元一次方程的应用) 8 题型五 方案选择(一元一次方程的应用) 9 题型六 数字问题(一元一次方程的应用) 11 题型七 几何问题(一元一次方程的应用) 12 题型八 动点问题(一元一次方程的应用) 13 题型九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 14 题型十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 15 题型十一 行程问题(一元一次方程的应用) 17 题型十二 比例分配(一元一次方程的应用) 18 题型十三 日历问题(一元一次方程的应用) 19 题型十四 古代问题(一元一次方程的应用) 22 题型十五 其他问题(一元一次方程的应用) 23 中考真题演练 24 难度分层训练 29 【基础夯实】 29 【培优拔高】 35 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题 分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 题型一 配套问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·四川成都·开学考试）服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子，一件上衣和一条裤子为一套服装．现有66名工人生产，每天最多能生产( )套． 【答案】168 【分析】要使每天生产的服装套数最多，需保证生产的上衣总数等于裤子总数，通过列方程求解生产上衣的工人数，再计算总套数． 【详解】解：设安排名工人生产上衣，则名工人生产裤子， 由题意得 ， 解得 ， ∴每天生产的总套数为 ． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目已设名工人生产口罩面，剩余工人生产耳绳，根据“一个口罩面配两个耳绳”可知耳绳总数量是口罩面总数量的2倍，据此列方程即可． 【详解】解：设安排名工人生产口罩面，则生产耳绳的工人有名，可得每天生产口罩面总数量为个，每天生产耳绳总数量为个， ∵一个口罩面需要配两个耳绳，刚好配套时，耳绳总数量等于2倍口罩面总数量， ∴． 题型二 工程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成了任务．那么这批产品一共有____个． 【答案】80 【分析】设预定完成任务的时间为小时，根据产品总数量不变列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设预定小时完成任务，产品总数为个， ∵实际先加工2小时，已经完成个，提高速度后每小时加工个，结果提前1小时完成， ∴提高速度后加工的时间为小时， 根据产品总数量相等列方程：， 解得， ∴产品总数为个． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 【答案】乙单独完成这项工程需要天 【分析】根据甲、乙工作效率比为设出两人的工作效率，再结合“甲先单独做天，再与乙合作天完成工程的一半”列出方程，进而求出乙的工作效率，最后算出乙单独完成工程的时间． 【详解】解：设全部工程量为，甲每天完成的工程量为，则乙每天完成的工程量为， 则， 即， ， 则乙每天完成的工程量为， （天）， 答：乙单独完成这项工程需要天． 题型三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 【答案】480元 【分析】以32元利润对应的成本百分率为突破口，先求成本，再计算定价； 【详解】解：设该商品的成本为元， ∵商品按的利润定价， ∴定价为元， ∵按九折出售， ∴实际售价为元， ∵实际获利32元， ∴，解得， ∴定价为（元）， 答：这一商品的定价是480元． 【变式训练】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 题型四 比赛积分(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）阳光小学组织安全知识竞赛，共20题．评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，弃权不扣分也不得分．芳芳所在小组弃权2题，得了120分，他们答对了( )题． 【答案】 【分析】总题量20题，弃权2题，参与评分的题目共18题，设答对题数为，根据得分规则列方程求解即可． 【详解】解：设芳芳所在小组答对了题，则答错了（）题， 根据题意得：， ， ， 答：他们答对了题． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·开学考试）明明参加学校“汉字大会”比赛，一共有道题，规定做对一题得分，做错或不做一题倒扣分，明明一共得了分，他一共做对了( )道题． 【答案】17 【分析】设他一共做对了x道题，则做错或不做的题目是道，根据“明明一共得了分”列一元一次方程求解． 【详解】解：设他一共做对了x道题，则做错或不做的题目共道， 根据题意得， 他一共做对了17道题． 题型五 方案选择(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【答案】80.6 【分析】先确定第一次购物的原价，再确定第二次购物的原价，分、两种情况分别计算出购买的实际款数，然后计算两次购物原价总和，判断总和对应的优惠档位，按照对应折扣算出一次性购买的应付款，用两次分开购买的总付款减去一次性购买的应付款，得到节省的金额． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：． ②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，他可以节省80.6元． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 题型六 数字问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）去掉一个两位小数的小数点后，得到的新数与原数的和是7099.29，那么原数是( )． 【答案】 【分析】两位小数去掉小数点后，得到的新数是原数的倍，利用和倍关系即可求出原数． 【详解】解：设原数为， ∵原数是两位小数，去掉小数点后新数扩大为原数的倍， ∴新数为， 根据题意可得： 即原数为． 【变式训练】（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）九个连续偶数的和比其中最小的数多232，这九个数中最大的数是________． 【答案】 【分析】九个连续偶数的和比最小数多，说明剩余个连续偶数的和为，连续偶数相邻两数差为，设未知数列方程即可求解． 【详解】解：设最小的偶数为，九个连续偶数从小到大排列后，最大数为， 由题意得，除最小数外剩余8个数的和为，这8个数依次为， 即， 而，代入得， 解得， 因此最大数为． 题型七 几何问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如图中的长方形被分割成6个正方形，中央的最小正方形的边长为，则长方形的面积是______． 【答案】1287 【分析】设正方形的边长为，根据图形和题干条件中央的最小正方形的边长为，可以依次表示正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，进而可以用字母表示长方形的边长，由矩形的对边相等，得到等量关系，最后求解面积即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，， 解得，， 所以，． 【变式训练】（25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 题型八 动点问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26六年级下·上海·期末）已知线段．点、是线段上的两个动点，点从点出发，点从点出发，两个点同时出发相向而行．如果点的速度为，点的速度为，那么经过________秒时线段的长为． 【答案】 或 【分析】分相遇前、相遇后两种情况讨论，设运动时间为秒，根据线段长度关系列方程求解。 【详解】解：设经过秒时线段的长为，分两种情况计算： 当点，相遇前，时， ∵，，， ∴，即， 解得； 当点，相遇后，时， ∵的总长度比多出的长度 ∴， 解得； 综上，经过秒或秒时线段的长为． 【变式训练】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如图，在长方形中，厘米，厘米．两动点、同时从点出发，沿长方形的边按如图所示的方向，分别以厘米/秒的速度匀速绕行，当运动一周回到点位置时，两动点同时停止．则运动时间为______秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 【答案】或 【分析】分六种情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别进行求解即可． 【详解】解：长方形中，厘米，厘米， 设运动时间为t秒， 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，根据题意得： ， 解得：； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，根据题意得： ， 解得：； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 综上，运动时间为6秒或18秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 题型九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·新疆喀什·开学考试）果园里苹果树和梨树共有48棵，其中苹果树的棵数是梨树的．梨树有多少棵？（用方程解） 【答案】 梨树有40棵. 【分析】设梨树棵数为未知数，根据苹果树与梨树的数量关系及总棵数列方程求解． 【详解】解：设梨树有棵，则苹果树有棵． 由题意得， 即， 解得， 答：梨树有40棵． 【变式训练】（26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试）某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 【答案】水果店原来运来苹果160千克，梨180千克 【分析】设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克， 根据题意，得 （千克） 答：水果店原来运来苹果160千克，梨180千克． 题型十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 【变式训练】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部分，每度电费要比基本电费增加20；超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50．李明家上月付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？ 【答案】度 【分析】先分别求出当用电150度时的费用，从而得出李明家上月用电超过150度，设李明家上月用电x度，根据电费列出方程求解即可． 【详解】当用电150度时，费用为(元)， 因为， 故李明家上月用电超过150度， 设李明家上月用电x度， 则， 解得， 答：李明家上月用电174度． 题型十一 行程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·广东湛江·开学考试）甲、乙两人从同一地点骑自行车沿同一方向出发，乙每分钟行240米，先出发2分钟；甲每分钟行300米，随后出发追赶乙．甲出发后多少分钟追上乙？ 【答案】甲出发后8分钟追上乙． 【分析】根据题意得出等量关系，甲的骑行速度乘以甲的骑行时间等于乙的骑行速度乘以乙的骑行时间，设甲骑行分钟，则乙骑行分钟，可列出一元一次方程． 【详解】解：甲出发后分钟追上乙． 由题意，列出一元一次方程， 解得， 答：甲出发后8分钟追上乙． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）如下是课本中本节例3的情境： 小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置 （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 你还能提出其他问题并列方程解决吗？ 【答案】问题：两人同时从同位置同向起跑，经过多长时间小华第一次追上小明？ 解：设经过小华第一次追上小明， 由题意得，， 解得， 答：经过小华第一次追上小明． 【分析】两人同位置，同向起跑，求小华第一次追上小明的时间，根据小华第一次追上小明时，小华比小明多跑建立方程求解即可． 题型十二 比例分配(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河北保定·期末）某加工厂利用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成图2的型铁盒与型铁盒，两种铁盒均无盖．已知型铁盒需要4张长方形铁片，型铁盒需要3张长方形铁片． (1)做个型铁盒和个型铁盒，共需要_____张长方形铁片，_____张正方形铁片． (2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，且这些铁片恰好用完，设制作型铁盒个． ①制作B型铁盒_____个．（用含的式子表示） ②求制作A型、B型两种铁盒的个数． 【答案】(1)， (2)① ②10个，20个． 【分析】（1）根据题意做一个A型铁盒需要4个长方形和1个正方形，做一个B型铁盒需要3个长方形和2个正方形，分别计算做a个A型铁盒和b个B型铁盒，各所需要的长方形与正方形个数，再相加即可解题； （2）①设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个； ②由长方形铁片100张，列方程，解方程即可解题． 本题考查列代数式，一元一次方程的应用，正确的识图，找准等量关系，列出代数式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意做一个A型铁盒需要4个长方形和1个正方形，做一个B型铁盒需要3个长方形和2个正方形， 故做a个A型铁盒需要个长方形，个正方形，做b个B型铁盒需要个长方形，个正方形， 故需要个长方形，个正方形， （2）①解：设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个， 故答案为：； ②解：根据题意，得， 解得， 此时， 故制作A型、B型两种铁盒的个数分别为10个，20个． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）甲便民服务点有工作人员25人，乙便民服务点有工作人员18人，现有20名志愿者前来支援．要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍，应怎样分配前来的志愿者？ 【答案】分配17名志愿者到甲便民服务点，分配3名志愿者到乙便民服务点． 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设分配x名志愿者到甲便民服务点，则分配名志愿者到乙便民服务点，根据“要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍”列出方程，求解即可． 【详解】解：设分配名志愿者到甲便民服务点，则分配名志愿者到乙便民服务点． 根据题意得：， 解得， ． 答：分配17名志愿者到甲便民服务点，分配3名志愿者到乙便民服务点． 题型十三 日历问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：不能，理由如下： 设框中最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 令，解得， ∵x为整数，故不符合题意， 故按以上方式框出九个数，其和不能为2010． 【分析】（1）找到一个框中所有数之和的规律，判断出和最大时框的位置． （2）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程即可． （3）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程，判断解是否符合题意即可． 【详解】（1）解：要求用一个正方形框出九个数，则最中间的数字应在第三行和第四行且不在第一列和第七列， 设最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 又∵（x为整数）， ∴当时框中所有数之和最大，即框中间的数为22， 图略； （2）解：由（1）得，令，解得，即最中间的数为12． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】D 【分析】设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，求出5个数的和为，然后根据4个选项中5个数的和，分别列出方程，求出5个数，进行判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，则5个数的和为：， 当五个数字之和为75时，， 解得：， 即中间一个数为15，其余四个数为：7，9，21，23， ∴五个数字之和能为75，故A不符合题意； 当五个数字之和为100时，， 解得：， 即中间一个数为20，其余四个数为：12，14，26，28， ∴五个数字之和能为100，故B不符合题意； 当五个数字之和为115时，， 解得：， 即中间一个数为23，其余四个数为：15，17，29，31， ∴五个数字之和能为23，故C不符合题意； 当五个数字之和为120时，， 解得：， 即中间一个数为24，其余四个数为：16，18，30，32， ∵日历中不存在32， ∴五个数字之和不可能为120，故D符合题意． 题型十四 古代问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 【答案】(1) 丢番图去世时的年龄为岁 (2) 丢番图结婚时的年龄是多少？岁 【分析】设丢番图的年龄为x岁，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设他去世时的年龄为x，根据题意，得 解得． 答：丟番图去世时的年龄是84岁． （2）解：提出问题：丢番图结婚时的年龄是多少？ 设丢番图结婚时的年龄是y， 则， 解得， 答丟番图结婚时的年龄是33岁． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 【答案】家数为126，牛价为3750钱． 【分析】设牛价为x钱，根据每7家合伙出190钱，则差330钱可知家数为，根据每9家合伙出270钱，则多了30钱可知家数为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设牛价为x钱， 由题意得，， 解得， ∴， 答：家数为126，牛价为3750钱． 题型十五 其他问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）如图，某校的饮水机有温水和开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的流速为20毫升/秒，开水的流速为15毫升/秒．小美先后接了一些温水和开水共220毫升，一共用了12秒（接开水和温水之间的时间差忽略不计）．则小美接开水用了______秒． 【答案】 【分析】设小美接开水用了x秒，则接温水用了秒，利用“温水水量开水水量总水量”这一等量关系列一元一次方程求解． 【详解】解：设小美接开水用了x秒，则接温水用了秒， 根据题意，得， 解得， 答：小美接开水用了4秒． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣．若每套设备每小时分拣万件，则经过，剩下万件未分拣；若每套设备每小时分拣万件，则经过，剩下万件未分拣．该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备？ 【答案】该物流中转站配置了套这样的分拣设备 【分析】抓住这批中转货物的总数量保持不变这一等量关系，设分拣设备的套数为，根据两种不同分拣速度下“已分拣数量剩余数量货物总数”列出一元一次方程，解方程即可求出设备套数． 【详解】解：设该物流中转站配置了套分拣设备， 由题意得， ， ， ， 答：该物流中转站配置了套这样的分拣设备． 【真题演练1】（2025·陕西西安·中考真题）已知一个两位数，交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，新数比原数大36，如果关于的方程的所有整数解分别为，，，，为任意有理数，那么的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、一元一次方程，熟练掌握以上知识点是关键．本题先根据两位数交换数字后的差求出b与a的关系，再代入方程找出所有整数解，最后利用绝对值的几何意义求距离和的最小值． 【详解】解：∵原数，新数， ∴， 即， ∴． ∵a和b是1~9的整数， ∴a可取1，2，3，4，5，对应b=5，6，7，8，9， 将代入方程，得， ∴， 当时，（整数）； 当时，（非整数，舍去）； 当时，（整数）； 当时，（非整数，舍去）； 当时，（整数）； ∴方程的整数解为，，， 则表示y到1、3、7的距离之和， 根据绝对值的几何意义，当时，距离和最小， 此时最小值为． 故选：B． 【真题演练2】（2025·广西贵港·中考真题）将连续的奇数1，3，5，7，9，……，按如图所示方式排列，图中的T字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（   ） A．30 B．78 C．198 D．206 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及规律型； 设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，，所以T字框内四个数的和为，逐一代入建立方程求解即可判断． 【详解】解：设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，， ∴T字框内四个数的和为， A、令框住的四个数的和为30，则，解得，故此选项不符合题意； B、令框住的四个数的和为78，则，解得，故此选项不符合题意； C、令框住的四个数的和为198，则，解得，故此选项不符合题意； D、令框住的四个数的和为206，则，解得，此时框不住完整的四个数，故此选项符合题意； 故选：D． 【真题演练3】（2025·上海·中考真题）有以下信息： （1）小莉和小俊的桶中原来各装有3升和5升水； （2）小莉说：“如果把我桶里的水倒入你的桶中，把你的桶装满后，我的桶中还剩半桶水．” （3）小俊说：“如果把我桶里的水倒入你的桶中，把你的桶装满后，我的桶中还剩桶水．” 根据以上信息，小俊的桶最多可以装__________升水？ 【答案】 【分析】设小莉的桶最多可以装升水，根据总水量不变，结合倒水后剩余水量的关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设小莉的桶最多可以装升水，总水量为原有水量之和，即（升）， ， 解得：， 所以小俊的桶最多可以装（升）． 【真题演练4】（2025·北京大兴·中考真题）如图，用一些长短相同的小木棍分别摆一排正方形和一排六边形，要求相邻的图形只有一条公共边．已知正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多，并且一共用了86根小木棍，则连续的正方形摆了_______个． 【答案】 8 【分析】设连续的正方形摆了个，根据正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多，可以用含的代数式表示六边形的个数，根据图形规律，分别表示出摆个正方形和对应个数六边形所需的小木棍数量，利用总根数为86建立一元一次方程求解即可. 【详解】解：设连续的正方形摆了个， ∵正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多， ∴六边形的个数为； 观察图形可知，摆个正方形需要小木棍根，摆个六边形需要小木棍根 根据题意，得， 解得； 故连续的正方形摆了8个. 【真题演练5】（2025·湖北黄冈·中考真题）已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)①若点运动到原点时，此时点_____关于的“好点”（填是或者不是）； ②若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【答案】(1) (2)①不是；②秒或秒 (3)，，，，， 【分析】（1）设点表示的数为，根据数轴上两点的距离公式列出方程，解方程求出的值即可； （2）①利用数轴上两点的距离公式求出，，根据“好点”的定义即可得出答案； ②设运动的时间为，分点在点左侧和右侧两种情况，根据“好点”的定义列出方程，解方程求出的值即可； （3）设点表示的数为，分种情况，根据“好点”的定义列出方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的数为， ∵点到点的距离等于点到点的距离，点，对应的数分别为和， ∴， 解得：， ∴点表示的数为． （2）解：①∵点运动到原点，点，对应的数分别为和， ∴，， ∴， ∵点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”， ∴点运动到原点时，此时点不是关于的“好点”． ②设运动的时间为， 当点在点左侧时， ∵点是关于的“好点”， ∴， 解得：， 当点在点右侧时， ∵点是关于的“好点” ∴， 解得：． 综上所述：点的运动时间是秒或秒． （3）解：设点表示的数为， 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴， ∴或， 解得：（在原点右侧，舍去），或（在原点右侧，舍去）， 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴， ∴或， 解得：或； 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴ ∴， 解得：或； 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴ ∴， 解得：，或（在原点右侧，舍去）； 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴， ∴， 解得：，或（在原点右侧，舍去）； 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴， ∴， 解得：（与原点重合，舍去），或（在原点右侧，舍去）； 综上所述：点表示的数为，，，，，． 【基础夯实】 1．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某单位购进A、B、C三种型号的笔记本60本，它们的单价分别为25元，20元和15元，共计花费1250元．若其中有A种型号的笔记本本，则B种型号的有（     ）本．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设B种型号的笔记本有本，则C种型号的有本，根据单价数量费用列方程，将看作已知数求解即可． 【详解】解：设B种型号的笔记本有本，则C种型号的有本， 根据题意得，， 去括号得，， 合并同类项得，， 移项得，， 系数化为1得，． 2．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】根据答错与未答题数的倍数关系设未知数，结合总得分列方程求解． 【详解】解：设未答题数为道，则答错题数为道，答对题数为道， 根据题意可得， 解得：， 故答对题数为． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（     ） A．36元 B．30元 C．24元 D．22元 【答案】B 【分析】设小明家六月用水吨. 根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设小明家六月用水吨， ∵， ∴ 由题意得 去括号得， 移项合并得 解得 应缴水费为元． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）有一张写着1至100的自然数表．在表中的相邻两行中各取连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108．如果在这张数表上，照上面的方法围出的6个数的和是480．那么方框里最大的数应该是_________． 【答案】85 【分析】设方框里最大的数是，根据方框分别表示出其他五个数，再根据6个数的和列方程求解即可． 【详解】解：设方框里最大的数是，则其他五个数分别为，，，，， 由题意得，， 解得：， 即框里最大的数应该是85． 5．（25-26七年级上·四川广元·期末）手工课上，老师让同学们将一张长方形彩纸按要求切割，得到如图所示的个长方形，其中，，．若长方形与长方形的周长相等，则的长度为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据长方形性质得出，由表示出，由表示出，利用两个长方形周长相等建立等量关系求解即可． 【详解】解：四边形是长方形，， ， ， ， 长方形与长方形的周长相等， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）哥哥和弟弟各买若干本练习本，如果哥哥给弟弟本，两人的练习本数量就同样多；如果弟弟给哥哥本，哥哥的练习本数量就是弟弟的倍．弟弟原来买练习本_______本． 【答案】 【分析】根据哥哥给弟弟本两人数量相等，得出哥哥原本比弟弟多本，再设弟弟原有练习本数量为未知数，根据第二个倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：因为哥哥给弟弟本，两人练习本数量同样多， 所以哥哥原来比弟弟多（本）， 设弟弟原来买练习本本，则哥哥原来有本， 因为弟弟给哥哥本后，哥哥的练习本数量是弟弟的倍， 所以， ， 解得，即弟弟原来买练习本本． 7．（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）甲乙两种酒精的浓度分别为和，现要配制浓度为的酒精克，应当从这两种酒精溶液中各取________克和________克． 【答案】 【分析】设甲酒精的取用量为未知数，根据总质量表示出乙酒精的取用量，利用混合前后纯酒精总质量相等列方程求解． 【详解】解：设应当从的甲酒精中取克，则从的乙酒精中取克， ∵混合前后纯酒精的总质量相等， ∴列方程得：， 整理得：， 化简得：， 解得：， ∴的甲酒精应取克， 的乙酒精应取（克）． 8．（26-27七年级上·河南三门峡·开学考试）“端午”期间，某商场搞“家电下乡”活动，农民伯伯购买家电时可享受政府补贴的优惠政策．张大伯家买了一台电冰箱，只需付1392元，这台冰箱的原价是多少元？ 【答案】这台冰箱的原价是1600元． 【分析】设这台冰箱的原价是元，根据享受政府补贴13%后的价格为1392元列方程并解方程即可． 【详解】解：设这台冰箱的原价是元，则 解得 答：这台冰箱的原价是1600元． 9．（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要𝑥天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 【答案】(1)解：由题意，构造三阶幻方，如图1， (2)解：构造一个新的三阶幻方，如图： (3)解：位于中间位置的数始终不变，理由如下： 设幻方9个位置的数如图3所示，每行，每列，每条对角线上的和均为， 则； ①； ②； ③； ④； ，得； ∴， ∴位于中间位置的数为定值，始终不变； (4)解：能，构造幻方如图所示： 【培优拔高】 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和，根据长方形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形纸片的面积为． 2．（25-26七年级下·云南昆明·期末）由于车辆前后轮胎的磨损并不一致，因此当车辆行驶一定里程之后，需进行前后轮胎换位．设轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为．某品牌的轮胎安装在某车前轮行驶6万公里报废，安装在后轮行驶4万公里报废，如果此车行驶若干公里后将前后轮胎进行一次换位，使得前后两对轮胎同时报废，那么此品牌的轮胎从安装到报废最多可以行驶（     ） A．4.5万公里 B．4.8万公里 C．5万公里 D．5.2万公里 【答案】B 【分析】利用一元一次方程求解，设总行驶路程为万公里，根据总磨损量为两个轮胎各，结合前后轮每公里磨损量，列方程求解即可． 【详解】解：设此品牌轮胎从安装到报废最多可行驶万公里， ∵ 前轮万公里报废，总磨损量为， ∴ 前轮每公里磨损量为； 同理，后轮万公里报废，可得后轮每公里磨损量为， ∵ 全程中前轮位置总行驶路程为万公里，后轮位置总行驶路程为万公里，两个轮胎同时报废时总磨损量为， ∴ 列方程得： 通分得： 整理得： 解得： 即最多可行驶万公里． 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（     ） A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元 【答案】C 【分析】第一次付款80元，未超过100元，不享受优惠，因此第一次商品原价为80元；第二次付款252元，存在两种优惠情况，需分情况计算第二次商品原价，再计算两次商品总原价后，按优惠方案算出一次性购买的应付款即可. 【详解】解：∵ 第一次购物付款元，不超过元，不享受优惠， ∴ 第一次购买商品的原价为元， 分两种情况讨论第二次购物： 情况1：若第二次购物原价超过元但不超过元，按九折付款， 设第二次商品原价为元， 根据题意，得，解得， 两次商品总原价为元，，可享受八折优惠， ∴ 应付款为元； 情况2：若第二次购物原价超过元，按八折付款， 设第二次商品原价为元， 根据题意，解得， 两次商品总原价为元，可享受八折优惠 ∴ 应付款为元 综上，应付款为288元或316元. 4．（25-26七年级下·重庆·开学考试）一行数从左到右，一共2026个，任意相邻三个数的和都是116，第19个数是15，第29个数是，第2025个数是，则________． 【答案】 【分析】根据任意相邻三个数的和相等，推出位置序号除以3余数相同的数相等，计算各已知数对应位置的余数，得到三类位置对应的数，再根据三个数的和为列方程求解． 【详解】解：∵任意相邻三个数的和都是， ∴第个数和第个数相等，即位置序号除以3余数相同的数相等； ∵， ∴第个数是余数为1的位置上的数，即余数为1的位置的数为； ∵， ∴第个数是余数为2的位置上的数，即余数为2的位置的数为； ∵， ∴第个数是能被3整除的位置上的数，即该类位置的数为； ∵相邻三个数的和为， ∴， 解得． 5．（25-26七年级下·重庆·开学考试）小红的学号是一个八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数．学号的数字之和比它的最后两位数大9，那么小红的学号是________． 【答案】 【分析】设前四位数字均为，分后五位连续递增、连续递减两种情况讨论，根据数字和比最后两位数大列方程求解，舍去不符合条件的解. 【详解】解：设前四位数字都为，且为整数， ∵学号是八位数，共个数字，题目给出前四位个数字、后五位个数字，说明后五位的第一位与前四位的末位重叠， 分两种情况讨论： 1. 若后五位是连续递增的自然数，则后五位数字依次为， 所有数字之和为 ， 最后两位数是十位为、个位为，即 ， 根据题意得 ， 解得 ，不符合数字取值要求，舍去； 2. 若后五位是连续递减的自然数，则后五位数字依次为， 所有数字之和为 ， 最后两位数是十位为、个位为，即 ， 根据题意得 .解得 ，符合所有条件， 因此小红的学号是， 验证得：数字和为，最后两位数为，，符合题意. 6．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体和光影效果．将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．例如图2，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；如图3，当长方形内有2个点时，可分得6个三角形；若长方形内有4个点时，则三角形个数为______个；若经过分割后，长方形内有126个三角形，则长方形内点的个数为______个（不计被分割的三角形）． 【答案】 【分析】根据长方形内有1个点时，三角形个数为（个）；以后每增加一个点，必然在某一个三角形内部，图形增加2个三角形，由此可得长方形内有2个点时，三角形个数为（个）；依次类推得出规律，进一步求出结果即可． 【详解】解：图2中长方形内有1个点时，三角形个数为（个）； 图3中长方形内有2个点时，三角形个数为（个）； 以后每增加一个点，必然在某一个三角形内部，图形增加2个三角形， 以此类推长方形内有3个点时，三角形个数为（个）； 长方形内有4个点时，三角形个数为（个）； …… 若长方形内有个点时，三角形个数为个； 当时， 解得， 即若经过分割后，长方形内有126个三角形，则长方形内点的个数为个． 7．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）仓库大米比面粉多，当大米和面粉都减少5吨后，面粉比大米少，问：仓库原来大米有_______吨． 【答案】 （或） 【分析】设原来面粉重量为未知数，根据大米与面粉的重量关系表示出原来大米重量，再根据减少5吨后的重量关系列方程求解． 【详解】解：设仓库原来面粉有吨， ∵原来大米比面粉多， ∴原来大米的重量为吨， 大米和面粉各减少吨后，大米重量为吨，面粉重量为吨， ∵此时面粉比大米少，即面粉重量是减少后大米重量的， ∴列方程得， 两边同乘去分母得， 展开，得， 移项整理，得， 解得， 将代入，得原来大米重量为吨． 8．（25-26七年级下·重庆·开学考试）一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 【答案】该组工人一共有16人 【分析】设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1，先分别求得卸A、B两列火车的货物的总工作量，再根据题意得到卸完火车货物的工作量是火车的2倍，进而列方程求解即可． 【详解】解：设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1， 他们上午10点到，共2.5小时，全组人一起卸A火车的货物的工作量为， 从到14点，共1.5小时，一半人卸A火车的货物的工作量为， 则卸A火车的货物的总工作量为； 从到14点，共1.5小时，一半人卸火车的货物的工作量为， 火车的货物剩余工作量为， 故卸B火车的货物的总工作量为， 因为卸完火车所需时间是火车的2倍，每人每小时的工作效率相同， 所以卸完火车货物的工作量是火车的2倍． 所以， 解得， 答：该组工人一共有16人． 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； (3)当的面积等于面积的时，求t的值； (4)当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． 【答案】(1)，；， (2) (3)t的值为8或 (4)t的值为或 【分析】（1）分点P在上和上两种情况讨论即可； （2）根据题意，得，，则有，然后问题可求解； （3）根据题意得，则可分当时，点在线段上，此时，当时，点在线段上，此时； （4）根据题意得的周长为，则可分当在上，点在上（），则有，当在上，点在上（），则有，当在上，点在上（），则有，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点P运动的总时间为18秒， ∴当时，点P在上，时，点P在上， ∴当时，； 当时，； （2）解：根据题意，点P在线段上，，点Q在边上时，， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：根据题意得：， ∵的面积等于面积的， ∴， 由题意可分：当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 综上，t的值为8或； （4）解：根据题意得的周长为， 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（都不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上，当线段将的周长分成两部分的比为时，t的值为或． 10．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 【答案】(1)点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16 (2)C在数轴上表示的数为或 (3)当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度 【分析】（1） 根据点在原点左右直接读出数值，用距离公式算AB长度； （2）设C表示数，由距离倍数关系列绝对值方程分三种情况求解； （3） 先求出到的时间，分（未出发）、（已出发）两段，写出P，Q对应数，根据距离为 4 列方程计算． 【详解】（1）解：∵ A在原点右侧，， 表示10； 在原点左侧，， 表示； ． ∴点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16． （2）解：设点表示的数为，由题意得 ． ① 当时：， ， ∴； ② 当时：， ， ， ∴； ③ 当时：， ， （舍去，不在此区间）． 故C在数轴上表示的数为或． （3）解：从到用时：秒，分两段讨论． 秒时，对应的数：． ① ，未出发，在： ， ， （）， ∴； ② ，出发时长为秒，对应数：， ， ， 或 ， 解得：或 综上，当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 4.3用一元一次方程解决问题[同步精编培优讲义] (知识梳理+15个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共55题) 【2026-2027学年苏科版数学新教材·七年级上册（原卷版)】 ■山且录导航 思维导图.. 知识梳理.…… 2 知识，点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤.， 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题：.......... 题型讲练.… 5 题型一配套问题（一元一次方程的应用）... ….5 题型二工程问题（一元一次方程的应用） 6 题型三销售盈亏（一元一次方程的应用） 6 题型四比赛积分（一元一次方程的应用）.· 题型五方案选择（一元一次方程的应用） 7 题型六数字问题（一元一次方程的应用） ….7 题型七几何问题（一元一次方程的应用）.... 题型八动点问题（一元一次方程的应用）...·. …8 题型九和差倍分问题（一元一次方程的应用） ……9 题型十电费和水费问题（一元一次方程的应用） 题型十一行程问题（一元一次方程的应用） 10 题型十二比例分配（一元一次方程的应用） 11 题型十三日历问题（一元一次方程的应用）... 11 题型十四古代问题（一元一次方程的应用） 12 题型十五其他问题（一元一次方程的应用） 13 中考真题演练. .......14 难度分层训练...。 15 【基础夯实】 15 【培优拔高】17 第1页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 苏科版数学七年级上册第4章一元一次方程 第3节用一元一次方程解决问题 一元一次方程 ①设未知数 解决问题的步骤 等量关系的常见类型 根据题意，设一个合适的未知敬（通常用x表示）。 ①年龄问题 若干年后（或若干年前）年龄=当前年龄士年数 ②列方程 根据题目中的等量关系，列出一元一次方程 ②行程问题 路程=速度×时间 ③解方程 ③工程问题 工作量=工作效率×工作时间伊=川 解这个方程，求出未知数的值。 O销售问题销售价=进价+获利利洞。进价×利润率 ④检验并作答 ⑤比例问题 a:b=c:d ad=be 写出问题的答案，并检验答案是否符合题意 6几何问题 三角形内角和：∠1+∠2+∠3=180 ☑常见问题类型及等量关系 的例题类型举例 问题类型 等量关系 公式或关系式 用一元一次方程 脚用年的问壁 若干年后年龄关系， 保 ® 盈8年龄问题 若干年后（或若干年前） 年龄=当前年龄士年数 a士x=b 解决问题 例☒销售问籍 进价、售价、获利问题。 统行程同题 程速度×时间 ■时 例国遍及问避 速度、时间、路程关系问题， 盘工程问道 工作量=工作效率×工作时间 W=风 例习几何问能 三角形内角和问题。 Q销售问题 销售价=进价+获利 利。进价×利率 的5规律问题 图形中某种元素个数规律 史比例同题 a:b c d ad=be 例司薄兔间笼间题 设未知数，列表分析。 三角形内角和 ∠1+∠2+∠3=180 刀工程问题 工作量。效率、时间的综合问题 婴 心解应用题的关键 零“月历问题”方法（数学探究 ①路程=速度×时间 落三W 遗螺题意，找出要目中的等量关系」 ①用透明·一”字形框横向或竖向框出3个数，求这3个数的和。■ ②工作量=工作效率×工作时间 W =pt 设未知数要选择合适，便于列方程。 ③利润=进价×利润率 利润 利润率=进价×100% ·列方程时注意单位一致，关系准确 ⑦用透明“十”字形框短出5个数，求这5个数的和 解方程后要检验，答案是否符合题雕和实际情况 O比例关系a:b■e:d-ad=bc 0三角形内角和：∠1+∠2+∠3=180 ③设计其他形状的透明框，计算其框出数宇的和，寻找规律，。 日总数量=部分数量的和或差（根据题意列出） 再找出等量关系，列出方程解决， Q用方程解决实际问题时可能出现无解的情况 售知迟梳理 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 (1)审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； (2)设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； (3)找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； (4)解方程：解所列的方程，求出未知数的值； (5)检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意 单位。 第2页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题： 配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解 决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. (盈亏)销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 (1)商品利润=商品售价一商品成本价 商品利润 (2)商品利润率= ×100% 商品成本价 (3)商品销售额=商品销售价×商品销售量 (4)商品的销售利润=（销售价一成本价）×销售量 (5)商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售. 方案设计问题 1.借助方程先求出相等的情况。 2.再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 路程=速度X时间时间=路程：速度速度=路程：时间 ①相遇问题：快行距+慢行距=原距 ②追及问题：快行距一慢行距=原距 ③航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度十水流（风）速度 逆水（风）速度=静水（风）速度一水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相 遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描 述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 第3页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用： 路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差 解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行， 则每追上一圈相遇一次.这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 工作量 工作量 关系式为：①工作量=工作效率X工作时间：②工作时间工作效率，③工作效率 工作时间。 工程间题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为，则工作效率为 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题 分段计费问题解题思路 1.明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题 增长量=原有量×增长率 现在量=原有量十增长量 日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚 日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为 7. 第4页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培忧讲练 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为b,百位数字为c。 十位数可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法： ①三个连续整数为：n-l,n,n+1(n为整数) ②三个连续偶数为：n-2,n,n+2(n为偶数) 或2n-2,2n,2n+2(n为整数) ③三个连续奇数为：n-2,n,n+2(n为奇数) 或2n-1,2n+1,2n+3(n为整数) 比例分配问题 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相 等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x) ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分十平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分=这个队的总积分 圓山题型进练 题型一配套问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(26-27七年级上·四川成都·开学考试)服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤 子，一件上衣和一条裤子为一套服装.现有66名工人生产，每天最多能生产( )套. 【变式训练】(25-26七年级下·湖南衡阳·期末)某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产400个口罩 第5页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口 罩面，则下面所列方程正确的是( A.2×800(40-x)=400x B.800(40-x)=2×400x C.800(40-x)=400x D.800(20-x)=400x 题型二工程问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(2627七年级上·河南郑州·开学考试)某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品 10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提 前1小时完成了任务.那么这批产品一共有个. 【变式训练】(25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试)一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天， 这样才完成全部工程的一半.己知甲、乙工作效率的比为3：2.如果这项工程由乙单独做，需要多少天才 能完成？ 题型三销售盈亏（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·四川成都·开学考试)某种商品按照20%的利润定价，然后又按九折出 售，结果赚了32元，该商品的定价是 【变式训练】(25-26七年级上·广东揭阳·期末)某商场A,B两种玩偶在市场热销，商场现购进A,B两 种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元. (1)求购进A,B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出 一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶 打折前卖出多少个？ 第6页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型四比赛积分（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·河南驻马店·开学考试)阳光小学组织安全知识竞赛，共20题.评分规 则是答对一题得10分，答错一题扣5分，弃权不扣分也不得分.芳芳所在小组弃权2题，得了120分，他 们答对了( )题. 【变式训练】（26-27七年级上·全国·开学考试)明明参加学校“汉字大会”比赛，一共有20道题，规 定做对一题得5分，做错或不做一题倒扣3分，明明一共得了76分，他一共做对了( )道题. 题型五方案选择（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·广东深圳·期末)为了庆祝劳动节，宜扬劳动光荣的中华民族优秀传统， 某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评.优患措施如下： ①购物款不超过200元不享受优惠： ②购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； ③购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购 买以上商品，可以节省_一元 【变式训练】(25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测)商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近， 该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二： 若购买量不超过5台，每台按售价销售：若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售.某公 司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台 (1)当x=8时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (②)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 题型六数字问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·河南驻马店·开学考试)去掉一个两位小数的小数点后，得到的新数与原 数的和是7099.29，那么原数是( ）. 第7页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】（25-26七年级上·福建泉州·开学考试)九个连续偶数的和比其中最小的数多232，这九个 数中最大的数是 题型七几何问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试)如图中的长方形被分割成6个正方形，中央的最小 正方形的边长为3cm,则长方形的面积是cm2. D B 【变式训练】(25-26七年级下·北京·期末)竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成.如 图1，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为 四肢.如图2，竹节人的头长与上身长的比为1：3，长竹节长是短竹节长的2倍，头宽比头长少1cm,竹 节人完全张开手臂的臂展AB长为26cm,求这个竹节人的总高度， 头宽 头长 B 上身长 下身长 图1 图2 题型八动点问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26六年级下·上海·期末)已知线段AB=24Cm.点P、Q是线段AB上的两个动点，点P 从A点出发，点Q从B点出发，两个点同时出发相向而行.如果点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s, 那么经过 秒时线段PQ的长为9cm 第8页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试)如图，在长方形ABCD中，AB=8厘米，AD=4 厘米.两动点P、Q同时从点A出发，沿长方形的边按如图所示的方向，分别以1厘米/秒的速度匀速绕行， 当运动一周回到点A位置时，两动点同时停止.则运动时间为秒时，P、Q两点的连线恰好平分长方 形ABCD的面积. D 题型九和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(26-27七年级上·新疆喀什·开学考试)果园里苹果树和梨树共有48棵，其中苹果树的棵 数是梨树的 梨树有多少棵？（用方程解） 【变式训练】(26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试)某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四 分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等.水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 题型十电费和水费问题（一元一次方程的应用）》 【典例精讲】(25-26七年级上·四川成都·开学考试)某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准 如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 a+0.3 第9页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元： (1)表中a的值为-：若用电420度，则应缴电费 _元 (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量. 【变式训练】(25-26七年级上·四川达州·开学考试)为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电 收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部 分，每度电费要比基本电费增加20%：超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50%.李明家上月 付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？ 题型十一行程问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（26-27七年级上·广东湛江·开学考试)甲、乙两人从同一地点骑自行车沿同一方向出发， 乙每分钟行240米，先出发2分钟：甲每分钟行300米，随后出发追赶乙.甲出发后多少分钟追上乙？ 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业)如下是课本中本节例3的情境： 小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m,小华每分钟跑300m,两人起跑时 站在跑道同一位置 (1)如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明起跑后1mn小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 你还能提出其他问题并列方程解决吗？ 第10页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型十二比例分配（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·河北保定·期末)某加工厂利用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽 与正方形的边长相等)，焊接成图2的A型铁盒与B型铁盒，两种铁盒均无盖.已知A型铁盒需要4张长方形 铁片，B型铁盒需要3张长方形铁片. A型铁盒B型铁盒 图1 图2 (1)做α个A型铁盒和b个B型铁盒，共需要__张长方形铁片，一_张正方形铁片. (2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，且这些铁片恰好用完，设制作A型铁盒x个. ①制作B型铁盒个.（用含x的式子表示) ②求制作A型、B型两种铁盒的个数. 【变式训练】(25-26七年级上·安徽阜阳·期末)甲便民服务点有工作人员25人，乙便民服务点有工作 人员18人，现有20名志愿者前来支援.要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍，应怎样 分配前来的志愿者？ 题型十三日历问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(25-26七年级上·辽宁大连·期末)生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一 个正方形框出九个数： 第11页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 日 一二三四五六 12 3 4 5 6 78 9 1 2 3 4 5 67 101112 13141516 891011121314 171819 202122 23 15161718192021 24 25 26 27 28 29 30 … … … 31 2010 图1 图2 (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数： (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数： (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最 小的数；若不能，请说明理由. aH 的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个 数字之和，计算结果不可能是( ) 星期日星期一 星期二 星期三 星期四星期五星期六 2 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A.75 B.100 C.115 D.120 题型十四古代问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸 福的童年；再度过了生命的站，他两颊长起了细细的胡须：又度过了一生的号他结婚了：5年后，他有了 儿子，感到很幸福：可是儿子只活了他全部年龄的一半：儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世 第12页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 长辞了. (1)求丢番图去世时的年龄： (2)尝试提出其他问题并列方程解决， 【变式训练】(26-27七年级上·全国·课后作业)今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家 共出二百七十，盈三十.问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱：若每9家合伙出270钱，则多了30钱，家 数、牛价各是多少？ 题型十五其他问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】(26-27七年级上·河南郑州·开学考试)如图，某校的饮水机有温水和开水两个按钮，温水 和开水共用一个出水口.已知温水的流速为20毫升/秒，开水的流速为15毫升/秒.小美先后接了一些温 水和开水共220毫升，一共用了12秒（接开水和温水之间的时间差忽略不计），则小美接开水用了 秒， 温水 开水 出水口 【变式训练】(26-27七年级上·全国·课后作业)某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能 分拣设备，现对一批中转货物进行分拣.若每套设备每小时分拣3.5万件，则经过1h,剩下4万件未分拣： 若每套设备每小时分拣4万件，则经过1h,剩下1万件未分拣.该物流中转站配置了多少套这样的分拣设 备？ 第13页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 山中专真题演练 【真题演练1】(2025·陕西西安·中考真题)已知一个两位数ab,交换十位数字和个位数字后得到一个 新的两位数ba,新数比原数大36，如果关于x的方程(b-a)x=a2+3的所有整数解分别为x1,x2,,xn y为任意有理数，那么y-x1+y-x2l+…+ly-xn的最小值为( A.4 B.6 C.8 D.10 【真题演练2】(2025·广西贵港·中考真题)将连续的奇数1,3,5,7,9，…，按如图所示方式排列， 图中的T字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四 个数的和不可能是( 13 5.7 9 1113 151719 21 232527 29 3133353739. A.30 B.78 C.198 D.206 【真题演练3】(2025·上海·中考真题)有以下信息： (1)小莉和小俊的桶中原来各装有3升和5升水； (2)小莉说：“如果把我桶里的水倒入你的桶中，把你的桶装满后，我的桶中还剩半桶水.” (3)小俊说：“如果把我桶里的水倒入你的桶中，把你的桶装满后，我的桶中还剩桶水.” 根据以上信息，小俊的桶最多可以装 升水？ 【真题演练4】(2025·北京大兴·中考真题)如图，用一些长短相同的小木棍分别摆一排正方形和一排六 边形，要求相邻的图形只有一条公共边.已知正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多，并且一共用 了86根小木棍，则连续的正方形摆了一个. 【真题演练5】(2025·湖北黄冈·中考真题)已知数轴上两点A,B对应的数分别为-8和4，点P为数轴 上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”， A B -8 0 4 (1)若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少； (2)①若点P运动到原点O时，此时点P关于A→B的“好点”（填是或者不是）： 第14页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 ②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时 间； (3)若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P,A,B中，其中有一个点是关于其它任意两个点 的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数. 山难度分层训练 【基础夯实】 1.(26-27七年级上·浙江杭州·开学考试)某单位购进ABC三种型号的笔记本60本，它们的单价分 别为25元，20元和15元，共计花费1250元.若其中有A种型号的笔记本m本，则B种型号的有( 本.（结果用含m的代数式表示） A.50-2m B.60-2m C.70-2m D.80-2m 2.(26-27七年级上·河南郑州·开学考试)一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2 分，未答一题扣1分.小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分.他答对了( )题 A.11 B.12 C.13 D.14 3.(25-26七年级上·河南郑州·期中)某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨 1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明 家六月应缴水费( A.36元 B.30元 C.24元 D.22元 4.(25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试)有一张写着1至100的自然数表.在表中的相邻两行中各取 连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108.如果在这张数表上，照上面的方法围出的 6个数的和是480.那么方框里最大的数应该是 第15页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 12345678 910111213141516 1718192021222324 8990919293949596 979899100 5.(25-26七年级上·四川广元·期末)手工课上，老师让同学们将一张长方形彩纸ABCD按要求切割，得 到如图所示的3个长方形，其中AD=13,AB=4,GB=a.若长方形AGHE与长方形EFCD的周长相等， 则ED的长度为 (用含a的代数式表示)· E D B F 6.(25-26七年级上·河南驻马店·开学考试)哥哥和弟弟各买若干本练习本，如果哥哥给弟弟3本，两 人的练习本数量就同样多；如果弟弟给哥哥1本，哥哥的练习本数量就是弟弟的3倍.弟弟原来买练习本 本. 7.(24-25七年级上·福建泉州·开学考试)甲乙两种酒精的浓度分别为70%和55%，现要配制浓度为65% 的酒精3000克，应当从这两种酒精溶液中各取克和克. 8.(26-27七年级上·河南三门峡·开学考试)“端午”期间，某商场搞“家电下乡”活动，农民伯伯购 买家电时可享受政府补贴13%的优惠政策.张大伯家买了一台电冰箱，只需付1392元，这台冰箱的原价是 多少元？ 9.(25-26七年级上·四川广元·期末)2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景” 变为幸福实景，统筹推进多项民生工程.其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成 此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天.该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期 紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程. (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元.则甲、乙两队每天的 劳务费各是多少元？ 第16页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 10.（26-27七年级上·全国·课后作业)图中的正方形由9个小方格组成.在每个小方格中各填一个数， 如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方 (1)请将1~9这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方. (2)改变（1)中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方. (3)在(1)(2)所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理. (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试. 【培优拔高】 1.(25-26七年级下·吉林长春·期末)如图，一个长方形ABCD内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片 P、Q、M铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形ABCD的周长为22，那么正方 形纸片M的面积为( ) A D M PPP B C A.16 B.18 C.20 D.25 2.(25-26七年级下·云南昆明·期末)由于车辆前后轮胎的磨损并不一致，因此当车辆行驶一定里程之 后，需进行前后轮胎换位.设轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为某 品牌的轮胎安装在某车前轮行驶6万公里报废，安装在后轮行驶4万公里报废，如果此车行驶若干公里后 将前后轮胎进行一次换位，使得前后两对轮胎同时报废，那么此品牌的轮胎从安装到报废最多可以行驶 ) A.4.5万公里 B.4.8万公里 C.5万公里 D.5.2万公里 第17页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 3.(25-26七年级下·河南周口·期中)某超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受 优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；(3)一次性购物超过300元一律八折.王 波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款( A.288元 B.332元 C.288元或316元 D.332元或363元 4.(25-26七年级下·重庆·开学考试)一行数从左到右，一共2026个，任意相邻三个数的和都是116， 第19个数是15，第29个数是2x,第2025个数是4x+5,则x=-一一- 5.(25-26七年级下·重庆·开学考试)小红的学号是一个八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是 连续的自然数.学号的数字之和比它的最后两位数大9，那么小红的学号是 6.(25-26七年级上·四川成都·开学考试)“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域 分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体和光影效果.将长方形区域分割成三角形 的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相 交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形.例如图2，当长方形内有1个点时，可分得4个三角 形；如图3，当长方形内有2个点时，可分得6个三角形；若长方形内有4个点时，则三角形个数为 个；若经过分割后，长方形内有126个三角形，则长方形内点的个数为个（不计被分割的三角形）. 1个点 2个点 图1 图2 图3 7.(25-26七年级上·四川成都·开学考试)仓库大米比面粉多经当大米和面粉都减少5吨后，面粉比大 米少好问：仓库原来大米有 吨 8.(25-26七年级下·重庆·开学考试)一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完A火车所需 时间是B火车的2倍.他们上午10点开始工作，先全组人一起卸A火车的货物，到了12：30，分出一半人 去卸B火车的货物，14点时，A火车的货已经卸完，B火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成.如果 每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 第18页共19页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 9.(25-26七年级下·吉林长春·期末)如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AC=12,AB=16,BC=20.点 P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发， 以每秒1个单位长度的速度沿C→A→B的路径向点B运动.当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设 点P的运动时间是t秒 A-P (1)用含t的代数式表示BP的长； (2)当点P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，若QA=AP,求t的值； (3)当△QBC的面积等于△ABC面积的时，求t的值： (4)当线段PQ将△ABC的周长分成两部分的比为2：3时，直接写出t的值. 10.(25-26七年级上·陕西西安·阶段检测)如图，在数轴上点0是数轴原点，A到0的距离为10，B到 0的距离为6. B 0 A (1)点A表示的数为 ,点B表示的数为 一，A,B两点之间的距离为 (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示 的数为 (3)在点B处有两只电子蚂蚁RQ,蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时， 蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为 多少时，PQ两只蚂蚁相距4个单位长度？ 第19页共19页