第09讲 用一元一次方程解决问题（核心知识+8易错辨析+13典例精讲+课后作业）2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦用一元一次方程解决问题，以“审设列解验答”六步流程为核心框架，整合和差倍分、行程、工程等高频题型，结合线段图、表格等工具，构建从审题到作答的完整学习支架，帮助学生掌握等量关系建立方法。 该资料通过8个易错辨析（如单位统一、等量关系颠倒）和13类典例（如配套问题、古代问题），培养学生的抽象能力与模型意识。课中教师可依托典例精讲突破难点，课后学生通过分层作业查漏补缺，提升用数学语言表达现实问题的能力。

第09讲 用一元一次方程解决问题 （核心知识+8易错辨析+13典例精讲+课后作业） 【知识点01】列一元一次方程解应用题六步流程（审、设、列、解、验、答） 这是解决方程应用题的标准解题流程，也是考试得分核心步骤，缺一不可，核心关键是找准等量关系。 审（审题）：梳理题目中的已知量、未知量，找出题目隐藏或直接给出的等量关系。复杂题型可借助线段图、表格梳理数量关系。 设（设未知数）：分为直接设元和间接设元。直接设元即求什么设什么；若直接设元列式复杂，可间接设相关量为未知数，最终求解目标量。设未知数必须标注清晰含义。 列（列方程）：用含未知数的代数式表示所有相关数量，根据等量关系列出一元一次方程，保证方程两边单位统一。 解（解方程）：按照移项、去分母、去括号、合并同类项、系数化为1的步骤，规范求解未知数。 验（双重检验）：一是检验数值是否为方程的解，二是检验结果是否符合实际生活意义（人数、物品数、天数等不能为负数、小数）。 答（规范作答）：完整书写答案，标注对应单位，语言简洁规范。 【知识点02】课本高频题型及核心等量关系 （1）和差倍分问题 基础关系：现有量=原有量±增长量、增长量=原有量×增长率。核心抓取题干关键词：多、少、倍、共、剩余、比……相等。 （2）比例分配问题 已知多个量的比例，统一设每份为x，各数量=对应份数×x，再根据总量或差值列方程。 （3）行程问题 核心公式：路程=速度×时间 相遇问题：总路程=甲行驶路程+乙行驶路程 追及问题：快者行驶路程=慢者行驶路程+初始间距 （4）工程问题 核心公式：工作总量=工作效率×工作时间 无具体工作总量时，默认总工作量为1，单人工作效率=1÷单独完成总天数。 （5）配套问题 核心：配套的两类物品数量满足固定倍数比例关系，根据配套比例建立等量方程。 （6）销售利润问题 核心公式：利润=售价-进价、利润率=利润÷进价×100%、售价=标价×折扣（折扣为小数形式） 3. 常用解题分析工具 线段示意图：适用于行程、工程问题，直观展示各部分数量、路程、工作量的关系，快速找准等量。 表格法：适用于配套、调配、积分、利润问题，清晰区分已知量、未知量，规避数量混淆。 常见易错点 错误示例 正确做法 无等量关系，盲目列方程 读完题目直接列式，无明确等式依据 先圈画题干中等量语句，再列代数式、建方程 单位书写不规范 方程中带单位，设元、答题漏写单位 设、答带单位，方程内部禁止写单位 单位不统一直接计算 速度用km/h，时间用分钟直接代入 解题前统一所有物理量单位，再列方程计算 工程问题效率计算错误 甲5天完成工程，误写效率为5 无总工作量时，效率为对应分数，即 混淆进价、标价、售价 将打折后的售价当成商品进价 明确：标价为原价，售价=标价×折扣，售价≠进价 省略实际意义检验 解出人数、物品数为小数、负数直接作答 实际问题需检验结果，不合理解直接舍去 等量关系逻辑颠倒 甲比乙多5，错列：甲+5=乙 顺着题意列式：甲=乙+5，杜绝逆向算术思维 解题步骤缺失 解方程后直接结束，无作答步骤 应用题必须完整完成审设列解验答全步骤，规范写答 补充易错提醒：解方程基础失误（移项不变号、去分母漏乘常数项、去括号漏乘），是应用题失分重要原因，需同步规范解方程步骤。 【题型一】配套问题(一元一次方程的应用) 【例1】．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）某校需要向某工厂定制一批四条腿的凳子，已知该工厂有10名工人，每人每天可以生产18块凳面或80条凳腿，1块凳面需要配4条凳腿，为使每天生产的凳面和凳腿刚好配套，设安排x名工人生产凳面，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据凳面和凳腿的配套关系建立等量关系即可得到方程． 【详解】解：设安排x名工人生产凳面，则安排名工人生产凳腿． ∵每人每天生产凳面18块， ∴凳面总产量为块． ∵每人每天生产凳腿80条， ∴凳腿总产量为条． 又∵1块凳面需配4条凳腿， ∴凳腿总产量应为凳面总产量的4倍． ∴． 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）平定紫砂壶历史悠久，曾与宜兴紫砂齐名，有“南宜兴北平定”的美誉，某生产商生产的某款平定紫砂茶具，每套茶具中1把茶壶配4只茶杯，用黏土可制作2把茶壶或6只茶杯，现在要用7kg黏土制作茶具．若设用黏土制作茶杯，为使得茶壶与茶杯刚好配套，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设用黏土制作茶杯，则用黏土制作茶壶，根据题意列方程为，据此解答即可． 【详解】解：设用黏土制作茶杯，则用黏土制作茶壶， 根据题意列方程为， 即， 故选：D． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）2024卡塔尔亚洲杯已于多哈当地时间1月12日下午5点（北京时间2024年1月12日22点）开幕。同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有___________块． 【答案】12 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关键．设足球上黑色皮子有x块，则白色皮子为块，可得五边形的边数共有条，六边形边数有条．由图可得，一块白色皮子（六边形）中，有三边与黑皮子（五边形）相连，可得白色皮子边数是黑皮子边数的2倍，由此列出方程，即可求解． 【详解】解：设足球上黑色皮子有x块，则白色皮子为块， ∴五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系得：每个正六边形白色皮子的周围有3个黑色皮子边， ∴白色皮子的边数为黑色皮子的2倍， ∴， 解得：， 答：黑色皮子共有12块． 故答案为：12． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能生产200只茶杯或50只茶壶．如果8只茶杯和一只茶壶为一套，则每天分别安排多少名工人生产茶杯和茶壶，才能使生产的茶杯和茶壶刚好配套？ 【答案】每天安排80名工人生产茶杯，则每天安排40名工人生产茶壶 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据“茶杯数量是茶壶数量的8倍”这一配套关系建立等量关系． 设安排名工人生产茶杯，则安排名工人生产茶壶；根据配套关系列出方程，求解得出生产茶杯和茶壶的工人数． 【详解】解：设安排名工人生产茶杯，则安排名工人生产茶壶． 根据题意得： ， ， ， ∴． ． 答：应安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶． 【题型二】工程问题(一元一次方程的应用) 【例2】．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）一项工作，甲单独做需完成，乙单独做需完成．现在由乙单独先做，剩下的再由甲、乙一起做，还需几小时完成？设剩下的部分还要完成，下面所列方程正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，根据题意可得甲的工作效率为，乙的工作效率为，设剩下的部分还要完成，则甲的工作时间为，乙的工作时间为，根据甲、乙的工作量之和等于总工作量列方程即可． 【详解】解：设剩下的部分还要完成， 由题意得，， 故选：C． 【变式1】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）整理一批数据，由一人做完成，现在计划先由x人做，再增加5人做，完成这项工作的 ，可列方程（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，先确定1人的工作效率为，即可得出x人做的工作量，及增加5人做的工作量，根据工作量之和等于，列出方程即可． 【详解】根据题意，得 ． 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，直至完成这项工程．若设完成此项工程一共用x天，则可列方程__________________． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设完成工程共用x天，将总工程量看作单位1，甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲先做2天，则甲工作x天，乙工作天，根据甲和乙完成的工作量之和等于1，列出方程即可． 【详解】解：甲完成的工作量为，乙完成的工作量为，由总工作量为1，得方程． 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）一项工程，若由甲队单独做需要天完成，若由乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队先一起施工天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【答案】(1)乙队还需要天能够完成任务 (2)甲队得报酬万元，乙队得报酬万元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程在工程问题中的应用，核心是利用“工作总量工作效率工作时间”的数量关系解题 ． （1）设乙队还需要天能够完成任务，根据甲乙合作天的工作量与乙单独完成的工作量之和等于总工作量列方程求解即可； （2）先分别计算甲乙两队完成的工作量占总工作量的比例，再按比例分配总报酬得出两队各自的报酬即可解答． 【详解】（1）解： 设乙队还需要天能够完成任务， 甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， 根据题意，列出方程 ， 解得， 答：乙队还需要天能够完成任务； （2）甲队的工作量为 ，甲队的报酬为 （万元）， 乙队的工作量为 ，乙队的报酬为 （万元）， 答：甲队得报酬万元，乙队得报酬万元． 【题型三】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【例3】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某商品的进价为300元，按标价的8折出售，仍可获利，则该商品的标价是（   ）元． A．380 B．400 C．420 D．450 【答案】D 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程在销售问题中的应用，解题的关键是理清进价、标价、折扣、售价、利润之间的数量关系，建立方程求解． 设标价为x元，根据售价标价折扣，表示出售价为；再根据利润进价利润率，得出利润为；最后根据售价进价利润，列出方程，解方程得到标价． 【详解】解：设该商品的标价为x元．根据题意，得 ． 故选：D． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）小华开店，某次卖出两件商品，一件赚了，另一件赔了，售价都是135元/件，在这次买卖中小华是（    ） A．不赔不赚 B．赚18元 C．赔18元 D．无法判断 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了的商品进价为a元，赔了的商品进价为b元，根据卖价都是135元分别列方程求出进价，即可得到答案． 【详解】解：设赚了的商品进价为a元， 则， 解得：； 设赔了的商品进价为b元， 则， 解得：， ， 即这次买卖过程中，小华赔了18元， 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）一种商品的售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元，这件商品的进价为_______元． 【答案】200 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设商品的进价为x元，根据售价关系列出方程，解方程即可求出进价． 【详解】解：设商品的进价为x元，则原售价为元．降价10元后，现售价为元． 根据现售价为210元，得方程． 移项得， 解得． 故答案为：200． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）惠山区“社区便民市集”筹备期间，某厂家计划采购甲、乙两种日用品．已知甲日用品的每件进价比乙日用品的每件进价少20元．若采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元． (1)求甲、乙两种日用品的每件进价分别是多少元？ (2)该采购商从批发商处采购了甲种日用品3万件、乙种日用品2万件．在市集售卖时，甲种日用品的每件售价为100元，要使得这5万件日用品所获利润率为，求每件乙种日用品的售价是多少元？ 【答案】(1)甲种日用品的进价80元，则乙种日用品的进价100元 (2)每件乙种日用品的售价是114元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）设甲种日用品的进价x元，则乙种日用品的进价元，根据采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元，列出方程进行求解即可； （2）设乙种日用品的售价为a元，根据总利润等于两种日用品的利润之和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种日用品的进价x元，则乙种日用品的进价元， 根据题意，得． 解得． 则． 答：甲种日用品的进价80元，则乙种日用品的进价100元； （2）解：设乙种日用品的售价为a元， 根据题意，得． 解得． 答：每件乙种日用品的售价是114元． 【题型四】比赛积分(一元一次方程的应用) 【例4】．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，靖江市某中学组织安全意识知识竞赛，试题共20题，评分规则是答对一题得10分，不答或答错一题扣5分，聪聪得了125分，他答对了______题． 【答案】15 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设聪聪答对了题，则不答或答错的题数为题，再根据聪聪得了125分建立方程求解即可． 【详解】解：设聪聪答对了题，则不答或答错的题数为题， 根据题意，得． 解得， ∴他答对了15题， 故答案为：15． 【变式1】．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段检测）下表是某次篮球联赛全部赛完后积分榜的一部分： 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 钢铁 14 0 14 14 … 14 … … … 备注：积分＝胜场积分＋负场积分 若某队的负场总积分是胜场总积分的n倍，其中n为正整数，则n的值为______________． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的综合应用、比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】由题意可得，总共进行了14场比赛，且胜一场得2分，输一场得1分，设某队胜场，则负场，根据“某队的负场总积分是胜场总积分的n倍”，列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，总共进行了14场比赛， 根据“钢铁”队的比赛情况，可知输一场得1分，从而根据“前进”队的比赛情况，可得胜一场得2分， 设某队胜场，则负场， 由题意可得：，解得 又∵为正整数，为非负整数， ∴为14的因数， ∴，解得， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程，得到为14的因数是解题的关键． 【变式2】．在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【答案】九（1）班获胜7场 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设九（1）班获胜x场，则平场，根据九（1）班开局11场共积25分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设九（1）班获胜x场，则平场， 根据题意得：， 解得：． 答：九（1）班获胜7场． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 10 10 40 用方程解决下列问题： (1)同学得了70分，他答对了多少道题? (2)同学说他得了80分，你认为可能吗?说明理由． 【答案】(1)他答对了15道题 (2) 同学说他得了80分是不可能的，理由： 设同学答对了道题，则他答错了道题， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵应为正整数， ∴同学说他得了80分是不可能的． 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解题的关键是正确得到等量关系； （1）首先求出答对一题得5分，答错一题扣1分，设同学答对了道题，答错了道题，根据题意建立方程求出其解即可； （2）同学说他得了80分是不可能的，设答对了道题，答错了道题，根据题意建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：由题可知，答对1道题得5分，答错1道题扣1分 设同学答对了道题，则他答错了道题， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 答：他答对了道题； （2）解：略． 【题型五】方案选择(一元一次方程的应用) 【例5】．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）某新华书店暑假期间推出售书优惠方案： ①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是___________． 【答案】360元或405元 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设所购书的原价为x元，由于付款金额为324元超过200元，因此原价一定大于200元，需根据优惠方案②和③两种情况，分别列方程求解并验证是否符合条件即可解答． 【详解】解：设所购书的原价为x元． 当时，享受九折优惠，即，解得：； 经检验，360在200和400之间，符合条件． 当时，享受八折优惠，即，解得：， 经检验，405大于400，符合条件． 因此，所购书的原价为360元或405元． 故答案为：360元或405元． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）若干户外旅行者住民宿，如果每间客房住人，那么有人无房可住；如果每间客房住人，那么就恰好空出间客房．求该民宿有客房多少间，户外旅行者多少人？ 【答案】 该民宿有客房间，户外旅行者人 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该民宿有客房间，则户外旅行者有人，根据“如果每间客房住人，那么就恰好空出间客房”列方程求解即可． 【详解】解：设该民宿有客房间，则户外旅行者有人， 根据题意，得， 解得， ． 答：该民宿有客房间，户外旅行者人． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）在购买足球赛门票时，设购买门票张数为（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费元，则该单位购买门票价格为元每张（总费用广告赞助费门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过张，每张元，若所购门票超过张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： (1)方案一中，用含的代数式来表示总费用为 方案二中，当购买的门票数不超过张时，用含的代数式来表示总费用为 当所购门票数超过张时，用含的代数式来表示总费用为 ； (2)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计张（甲乙两单位购买数量均大于100张），花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【答案】(1)，， (2)甲单位购买了门票500张，乙单位购买了门票200张 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题意可直接写出表达式， （2）设乙单位购买门票张，然后分别根据甲乙不同方案构造等量关系，列方程求解． 本题主要考查了一元一次方程的应用，正确列出总费用的等量关系式是解题关键． 【详解】（1）由题意可知：， 由题意可知：不超过100张时：， 超过100张时：． 故答案为：，，． （2）设乙单位购买了门票张，则甲单位购买了门票张， 故甲单位购买了门票500张，乙单位购买了门票200张． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）电信公司电话费有两个套餐方案可供顾客选择． 套餐1：月租20元，每分钟元； 套餐2：月租40元，每分钟k元． (1)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (2)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (3)若每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ 【答案】(1)无论通话时间多长，套餐1更划算 (2) 当分钟时，选套餐1； 当分钟时，两套餐费用相同； 当分钟时，选套餐2； (3) ①当时，，选套餐1； ②当时，临界时间， 若，选套餐1； 若，两套餐费用相同； 若，选套餐2． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． （1）先写出两套餐费用表达式，令费用相等求出x，因x为负无意义，判断套餐1费用始终更低，故选套餐1； （2）列出两套餐费用，令其相等算出分界时间200分钟，按x小于、等于、大于200分钟分别判断选哪种套餐； （3）设费用表达式，令相等求临界x，分三种情况讨论套餐选择． 【详解】（1）解：当时，且通话时间， 套餐1费用：，套餐2费用：， 令：， ∴在实际情况中，恒成立， 答：当时，无论通话时间多长，套餐1更划算； （2）解：当时， 套餐1费用：，套餐2费用：， 令：， 解得， 当分钟时，，选套餐1； 当分钟时，，两套餐费用相同； 当分钟时，，选套餐2； （3）解：一般情况（k为任意正数）， 套餐1：，套餐2：， 令，即， 解得， 分三种情况讨论： ①当时，，选套餐1； ②当时，临界时间， 若，选套餐1； 若，两套餐费用相同； 若，选套餐2． 【题型六】数字问题(一元一次方程的应用) 【例6】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数是（   ）    A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设报5的人心里想的数是x，根据题意用含x的式子表示出另外几个人报出来的数，找出等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设报5的人心里想的数是x， 则报3的人心里想的数是， 报2的人心里想的数是， 报4的人心里想的数是， 报1的人心里想的数是， 由题意得：， 解得， 故选：B． 【变式1】．（2026七年级上·江苏南京·专题练习）我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了一种乘法的计算方法，称为“铺地锦”．如图①，计算，先将乘数31和47分别写在大方格的上面和右面，然后用31的每位数字分别乘以47的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得1457．如图②，是用“铺地锦”计算两个两位数乘积的过程，它们的乘积等于（   ） A．345 B．256 C．356 D．100 【答案】A 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了“铺地锦”的计算方法，一元一次方程的应用，理解“铺地锦”的计算方法是解题的关键． 先根据“铺地锦”画出图②，再列方程求出a，即可得出结果． 【详解】解：如图，根据题意可得， 则， 解得， ∴， ∴乘积为345． 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，在圆圈内填上不同的数，使得每条直线上的个数之和都相等，则__________． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是找到等量关系列方程；根据每条直线上的个数之和相等解答即可． 【详解】解：由题意得：左侧的圆圈内的数是， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）先观察下表中三行数的规律，然后按要求回答问题： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 第1行 1 3 5 7 9 … 第2行 … 第3行 … 规定把第行，第列的数记作．例如：第行，第列的数是，记作． (1)填空：_______，________； (2)是否存在正整数的值，满足，若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在正整数的值，满足，此时的值为． 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，根据题意得出表中三行数的规律是解题关键． （1）根据表格发现三行数的规律，即可求解； （2）根据（1）所得的规律列方程求解即可． 【详解】（1）解：观察发现，第行，第列的数是， 第行，第列的数是， 第行，第列的数是， 则，， 故答案为：，； （2）解：若， 则， 解得：， 即存在正整数的值，满足，此时的值为． 【题型七】几何问题(一元一次方程的应用) 【例7】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，一个长方形被分割成9个大小不同的正方形，若图中最小正方形的边长为1，则图中阴影部分（即正方形B）的周长为（   ） A．32 B．52 C．56 D．60 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设正方形D的边长为x，则正方形的边长为，正方形B的边长为，正方形G的边长为，正方形F的边长为，正方形H的边长为，正方形E的边长为，正方形的边长为，根据长方形对边相等列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设正方形D的边长为x，则正方形的边长为，正方形B的边长为，正方形G的边长为，正方形F的边长为，正方形H的边长为，正方形E的边长为，正方形的边长为， ∵长方形的对边相等， ∴， 解得：， ∴正方形B的边长为， ∴正方形B的周长为． 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，甲、乙、丙三根笔直木棒平行摆放在桌上．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲、丙没有与乙重叠部分的长度分别为．若乙的长度最长且与甲、丙的长度差分别为，则乙的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式、整式加减的应用，理解题意，找到三根木棒长度间的等量关系是解答的关键． 设乙的长度为，根据题意得甲的长度为：；丙的长度为：，根据甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度=乙的长度列等量关系即可求解． 【详解】解：设乙的长度为， ∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差，乙、丙的长度相差， ∴甲的长度为：；丙的长度为：， ∴甲与乙重叠的部分长度为：； 乙与丙重叠的部分长度为：， 由图可知：甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度=乙的长度， ∴， 整理，得， 解得 ∴乙的长度为：， 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，某校劳动实践基地是一块长，宽的长方形试验田，现规划4条宽度相等的小路（如图阴影部分），将试验田分割成大小完全相同的8块小长方形菜地，每块菜地的长（纵向）比宽（横向）多，则菜地的总面积为______． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设小路宽度为，根据题意列方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：设小路宽度为， 根据题意，得， 解得 ∴菜地的总面积为． 故答案为：48 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）“苏超”赛事热度飙升，足球迷小明萌生了动手制作足球场模型的想法，他准备用一根木棒搭建长方形的足球门框（靠地面的一边无需制作，只需搭建另外三边），他给出了下面两种方法： 方法：门框的长比宽的倍少； 方法：门框的长比宽的倍多． (1)若这两种方法设计的门框宽度相同，且所需木棒长度一致，求这根木棒的长度； (2)若木棒长度为，已知标准足球门框的长宽比为，你觉得这两种方法中，哪种方法设计的门框更贴近这一标准？请说明理由． 【答案】(1)木棒长为； (2)方法二设计合理，理由如下： 方法一：设门框的宽为， 由题意得： ， ∴， 此时，长宽比为； 方法二：设门框的宽为， 由题意得：， ， ∴， 此时，长宽比为， ∵方法二的长宽比与标准长宽比一致， ∴方法二设计的门框更贴近标准． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设门框的宽为，由题意得，然后解方程即可； （）由方法一：设门框的宽为，由题意得，求出的值，从而得出长宽比，由方法二：设门框的宽为，由题意得，求出的值，从而得出长宽比，从而求解． 【详解】（1）解：设门框的宽为， 由题意得： ∴， 答：木棒长为； 【题型八】动点问题（一元一次方程的应用） 【例8】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查数轴上的数的运算．根据点在线段上和线段上以及的取值范围分别判断出的取值范围，即可求得的最大值和最小值，计算即可． 【详解】解：点在线段上， ， ； 点在线段上， ， ， ， 综上： ∴最大值为，最小值为， ∴， 故选：B． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字（　　）重合． A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】此题综合考查了数轴、规律探究的有关知识，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成． 根据圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则与圆周上的2重合的数是， 即，同理与1重合的数是， 与0重合的数是， 与3重合的数是，其中是正整数． 而，把数和点对应起来， ∴数轴上的数2024将与圆周上的数字1重合． 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，长方形中，，，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿向终点匀速运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动．若点，点同时出发，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两点运动的时间为秒，当时，则的值为______．      【答案】或3 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了列代数式求解和解一元一次方程的相关知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题需要分两种情况讨论点在上和点在上，然后分别列出和的代数式，根据，然后即可求解； 【详解】解：通过审题，存在两种情况：①点在上；②点在上； ①当点在上时， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 当点在上时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 综上所述：或3； 故答案为：或3． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．点、表示的数、满足和互为相反数．对于数轴上的任意两条线段，给出如下定义：为线段上任意一点，为线段上任意一点，我们把线段长度的最大值称为线段和线段的极距，记作（线段，线段）．例如：（线段，线段）． (1)（线段，线段） ； (2)若点，表示的数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)若点、同时从原有位置出发沿轴正方向向右运动，点以每秒个单位长度的速度匀速运动，点第秒以每秒个单位长度运动，第秒以每秒个单位长度运动，第秒以每秒个单位长度运动，第秒以每秒个单位长度运动，…，按此规律运动，设运动的时间为秒，若（线段，线段），请求出相应的值． 【答案】(1) (2)， (3)， 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题． (1)根据和互为相反数，求出、的值，即可得到点、表示的数，用点、、、四个点中最大的数减去最小的数即为（线段，线段）的值； (2)当线段在线段右侧时，可得：；当线段在线段左侧时，可得：；分情况求出的值； (3)根据运动的方向和速度可知当运动秒时，点到达点的位置，当运动秒时，点到达点的位置，分情况求出运动的时间即可． 【详解】（1）解：和互为相反数， ，， 解得：，， 点表示的数是，点表示的数是， 点表示的数为，点表示的数为， （线段，线段）； 故答案为：； （2）解：点表示的数为，点表示的数为，点，表示的数分别为，， 当（线段，线段）时， 可得：； 当（线段，线段）时， 可得：； 综上所述，的值是或； （3）解：当时， 点表示的数为，点表示的数是， 则（线段，线段）， 解得：； 当时， 点表示的数为，点表示的数是， 则（线段，线段）， 解得：(不符合题意，舍去)； 当时， 点表示的数为，点表示的数是， 则（线段，线段）； 当时， 点表示的数大于，点表示的数是， 则（线段，线段）， 解得：； 综上所述，当或时，（线段，线段）． 【题型九】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【例9】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级（1）班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人．设女生有人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确根据题意得出等式是解题的关键． 设女生人数为，则男生人数为，根据总人数列方程． 【详解】解：∵男生人数比女生人数的倍少人， ∴男生人数为人， ∵总人数为人， ∴， 即， 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）某体育器材店在双“11”开展篮球促销活动，促销办法如下：每个篮球标价25元，若购买超过10个，享受八折优惠．在活动期间某中学的七（1）、（2）班到该店购买篮球，已知七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元．设七（2）班买x个篮球，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，七（2）班购买个篮球，七（1）班购买个篮球，根据“七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元”得到，据此列方程即可． 【详解】解：∵七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元． ∴七（2）班购买篮球数小于10，七（1）班购买篮球数大于10， ∴七（2）班购买个篮球，付款为元；七（1）班付款为元； ∴根据题意，可列方程为， 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某小组计划做一批中国结，如果每人做5个，就比计划多做10个；如果增加1人，每人做3个，比计划少做5个，设计划做x个“中国结”，可列方程___________． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】设计划做个“中国结”，根据两种制作情况中人数的等量关系，原小组人数加1等于增加1人后的总人数，分别用表示出两种情况下的人数，即可列出一元一次方程． 【详解】解：设计划做个“中国结”，根据题意，得 ． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某课外活动小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增加6名女生，那么女生人数就占全组人数的，设活动小组中男生人数为x人，求这个课外活动小组的人数． 【答案】这个课外活动小组的人数为12人 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意得活动小组中男生人数为x人，则女生人数为x人，再增加6名女生后女生人数为人，课外活动小组总人数为人，根据“再增加6名女生，那么女生人数就占全组人数的”列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 这个课外活动小组的人数：（人）． 答：这个课外活动小组有12人． 【题型十】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【例10】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为（以内按起步价付费），后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元．设甲、乙两地之间的路程为，可得方程 ________________． 【答案】 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：根据题意找相等关系列出方程是解题的关键．根据起步里程所花的费用+超过所花的费用一共付的费用，列出方程即可． 【详解】解：设甲、乙两地的路程为， 由可知，则超过的路程为，此段路程收的费用为元，某人乘出租车从甲地到乙地共付费为16元， 可得方程， 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 【答案】 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．根据题意得到小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”，然后列出方程求解即可． 【详解】解：（元） （元） （元） ， 小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”这种情况． 设小亮家去年实际用水量为，根据题意可知： 解得 答：小亮家去年的实际用水量是． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏·期末）某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如下表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 不超过x立方米的部分 a 第二阶梯 超过x立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元． (1)填空：__________，__________； (2)2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 【答案】(1)，216 (2)小慧家2024年的用水量为320立方米． 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示用水190立方米应付的水费并且求出a的值是解题的关键． （1）由用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元，得，求得；而用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元，据此列方程，求得，于是得到问题的答案； （2）设小慧家2024年的用水量为y立方米，由算式求得用水300立方米时的水费为1104元，可知小慧家2024年的用水量超过300立方米，则列方程，解方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元， ∴， 解得， ∴第一阶梯的水价为元/立方米， ∵小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元， ∴， 解得， 故答案为：，216； （2）解：设小慧家2024年的用水量为y立方米， ∵（元）， ∴用水300立方米时，水费为1104元， ∵2024年小慧家共交水费1246元，且1246元>1104元， ∴小慧家2024年的用水量超过300立方米， 根据题意得， 解得， 答：小慧家2024年的用水量为320立方米． 【变式3】．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米元计费；超过10立方米的部分按每立方米元计费． (1)若每月用水量16立方米，需交水费__________元． (2)若某户居民在某个月份用水立方米，思考并回答： 当不超过10立方米，需交水费__________元；当超过10立方米，需交水费__________元（用含有的式子表示）． (3)小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米． 【答案】(1)47 (2)， (3)12 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了根据题意列代数式，一元一次方程的应用等知识． （1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列式，并化简即可求解； （3）根据题意列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：若每月用水量16立方米，需交水费（元）． 故答案为：47； （2）解：当不超过10立方米，需交水费元；当超过10立方米，需交水费元． 故答案为：，； （3）解：∵， ∴由题意得， 解得． 答：小颖家11月份共用水12立方米． 【题型十一】行程问题(一元一次方程的应用) 【例11】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山，距绿水．某天，一辆汽车匀速行驶，上午10：00途经王家庄，下午13：00途经青山，15：00途经绿水，王家庄距翠湖的路程有多远？设王家庄距翠湖，下列所列方程，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题目意思，根据题意正确列出方程求解是解题的关键．根据速度、时间和路程列方程求解即可． 【详解】解：设王家庄距翠湖，由题意，从王家庄到青山用时3小时，从青山到绿水用时2小时，速度， 根据速度相同，得，故选项A正确，不符合题意； 根据路程时间速度，得，故选项B正确，不符合题意； 根据路程时间速度，得，故选项C正确，不符合题意； 方程中的x为行程速度，是由王家庄到翠湖路程列方程，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏·期末）（九章算术）中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．问：太仓去上林几何?”其大意为：驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里，现在从太仓运谷子到上林，五日往返3次．问：太仓距上林多少里?设太仓距上林里，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查列一元一次方程，根据题意准确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“五日三返”的条件，结合一次往返包括重车去和空车回的时间，即根据总时间相等列方程即可． 【详解】解：设太仓距上林里， ∵ 一次往返中，重车去的时间为天，空车回的时间为天， ∴ 一次往返的总时间为天， ∵ 5日完成3次往返， ∴ 可列方程：， 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明早晨上学时，每小时走5千米，中午放学沿原路回家，每小时走4千米，结果回家所用的时间比上学所用的时间多10分钟，问小明家离学校多远？设小明上学用了x小时，那么所列方程是______________________． 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据“上学路程=放学路程”的等量关系列方程，需先统一时间单位，再结合“路程=速度×时间”的公式构建等式． 【详解】解：因为10分钟小时，设小明上学用了小时，则回家所用时间为小时， 上学的路程为速度与时间的乘积，即千米，回家的路程为千米， 由于上学和放学沿原路行驶，路程相等，因此可列方程：， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）以下是两张不同类型火车（“D××次”表示动车，“G××次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）； (2)已知动车和高铁的平均速度分别为、，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求A，B两地之间的距离； 【答案】(1)同；早 (2) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据票面信息作答即可； （2）设A，B两地之间的距离为，根据动车用的时间比高铁用的时间多2小时，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：该列动车和高铁是同向而行，该列动车比高铁发车早； （2）解：设A，B两地之间的距离为， 根据题意得， 解得． 答：A，B两地之间的距离为． 【题型十二】日历问题(一元一次方程的应用) 【例12】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图是某月份的日历，由如图所示的框，任意框出三个数a，b，c，则不可能是（      ） A．63 B．66 C．69 D．72 【答案】D 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用−日历问题，根据横排相邻的日期，下面的数总比上面的数多7，判断各结论即可． 【详解】解：根据图示知：，， ∴， ∴， 当时，解得，不符合题意， 当时，解得，不符合题意， 当时，解得，不符合题意， 当时，解得，当时，，不可能，故符合题意， 故选：D． 【变式1】．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如下表是2025年8月的月历，用如图所示的“”形框出4个数，若移动这个“”形框，则这4个数的和不可能是（    ） A．44 B．56 C．76 D．88 【答案】C 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了月历中数字的规律及一元一次方程的应用，解题的关键是根据“L”形框的实际位置（如1、8、15、16）设数，结合月历数字的范围与排列判断． 设“L”形框中左上角的数为，则另外3个数为、、，表示出和的表达式后验证选项． 【详解】解：设“L”形框中左上角的数为，则4个数为、、、，和为. A、若，则，对应2、9、16、17，符合月历，此选项不符合题意； B、若，则，对应5、12、19、20，符合月历，此选项不符合题意； C、若，则，对应10、17、24、25，24右侧无数字，不符合“L”形框结构，此选项符合题意； D、若，则，对应13、20、27、28，符合月历结构，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在如图所示的月历表中，任意框出同一个竖列上的相邻三个数，算出它们的和是51，则这三个数中最小的数是________． 【答案】10 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这三个数中最小的数为x，则另外两个数为，根据这三个数的和为51建立方程求解即可． 【详解】解：设这三个数中最小的数为x，则另外两个数为， 由题意得，， 解得， ∴这三个数中最小的数是10， 故答案为：10． 【变式3】．下图是某月份的月历，由图回答下列问题：    (1)如果十字框框出的5个数的和为55，那么十字框中间的数是多少？ (2)十字框框出的5个数的和可以是110吗？ 【答案】(1)11 (2) 设十字框中间的数是， 由题意可得：， 解得：， ∵22在最右边的位置， ∴十字框框出的5个数之和不可以是110． 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设十字框中间的数是，根据“十字框框出的5个数之和为55”列方程求解； （2）设十字框中间的数是，根据“十字框框出的5个数之和为110”列方程求解，再根据月历中的位置判断即可． 【详解】（1）解：设十字框中间的数是， 由题意可得：， 解得：， ∴十字框中间的数是11； 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 【题型十三】古代问题(一元一次方程的应用) 【例13】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）在明代数学著作《九章算法比类大全》中，有这样一个问题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”文中的“倍加增”指下一层灯的盏数是上一层的2倍，那么顶层灯的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 本题可通过设未知数，根据每层灯数的倍数关系表示出各层灯数，再根据总灯数列一元一次方程求解． 【详解】解：设顶层有盏灯，根据题意得， ， 解得， ∴顶层灯的数量为3盏， 故选：C． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，曹冲称象是应用等量代换原理．有这样的“曹冲称象”：先将大象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入64块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入4块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为150斤，每块条形石重量均为x斤，则下列表述中错误的是（   ） A．由题意得 B．每块条形石的重量是75斤 C．由题意得 D．该象的重量是5200斤 【答案】D 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设每块条形石的重量为x斤，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：依题意，得， 整理得：， 解得，， ∴每块条形石的重量为75斤；大象的重量为：（斤）， 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，若设有x个人，则可列方程______． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】设有个人，根据银子的量是一定的，列出方程即可． 【详解】解：设有个人， 由题意，得：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你2头羊，余下的给你妻子；老二，再给你3头羊，再余下的给你妻子；……”说完，老人就去世了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？ 【答案】老人一共有56头羊 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设老人一共有只羊，根据从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1只羊，其妻子分得儿子拿走其份额外剩下羊的，每个小家庭却分到相同多的羊，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设老人一共有x只羊，根据题意得 解得， 答：老人一共有56头羊． 1. 核心思想：用一元一次方程解决实际问题，本质是数学建模，将生活实际问题转化为方程模型，解题核心是找准、找全等量关系，而非死记硬背题型公式。 2. 解题准则：严格遵循审→设→列→解→验→答六步解题法，不省略关键步骤。复杂题型主动使用线段图、表格辅助分析，降低解题难度。 3. 设元技巧：灵活选择直接设元或间接设元，优先保证列式简洁、计算简便，无需固定“问什么设什么”。 4. 检验关键：双重检验缺一不可，既要验证方程计算正确性，更要验证结果符合现实逻辑，舍弃不合理数值。 5. 答题规范：统一单位、规范书写、完整作答，规避格式性、细节性丢分，养成严谨的解题习惯。 思维提升：方程解题区别于小学算术，顺着题意正向列式，无需逆向推导，在复杂数量关系问题中优势显著，是初中数学核心解题思维。 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在2025年11月的日历表中用“”框出5个数（如框选部分所示），则这5个数的和有可能是（    ） A．30 B．52 C．75 D．90 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设正中间的数为，求得五个数的和是并分类讨论是解题的关键．分别列方程求出x的值并进行检验，即可得到符合题意的答案． 【详解】解：设正中间的数为， 为整数，这5个数的和为： A、当时，得，左上角没有数字，不符合题意； B、当时，得，不是整数，不符合题意； C、当时，得，右边没有数字，不符合题意； D、当时，得，符合题意； ∴它们的和可能是90， 故选：D． 2．幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等”列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 3．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 【答案】D 【分析】设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得， 解方程组得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程． 4．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（    ） A．200元 B．190元 C．180元 D．170元 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设该商品的进价为x元，根据先提价，再折扣后的售价列出方程求解． 【详解】解：设该商品的进价为x元， 由题意得，， 解得， ∴该商品的进价为200元， 故选：A． 5．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）6个人用35天完成某项工程的，如果再增加工作效率相同的8个人，那么完成这项工程共需要（    ） A．60天 B．65天 C．55天 D．50天 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，解答此题的关键是根据已知找出等量关系，其等量关系是后面的工作量是前面的工作量的2倍． 【详解】解：设再增加工作效率相同的8个人完成剩余的工程需要x天， ∴ 解方程得天， 故完成这项工程共需要天， 故选：B． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）某车间有26名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，设有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，且每天生产的螺栓和螺母按配套，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．设有名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母，从而可得每天生产的螺栓为个，生产的螺母为个，再根据每天生产的螺栓和螺母按配套列出方程即可． 【详解】解：由题意，设有名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母， ∴每天生产的螺栓为个，生产的螺母为个， ∵每天生产的螺栓和螺母按配套， ∴． 故选：B． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发（  ）小时后甲乙相距10千米． A．2或2.5 B．2.5 C．1.5或1.7 D．1.5 【答案】C 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程；设乙出发x小时后甲乙相距10千米，分相遇前和相遇后两种情况列方程求解． 【详解】解：设乙出发x小时后甲乙相距10千米． ∵甲先出发30分钟（0.5小时）， ∴甲行驶时间为小时，甲行驶路程为千米， 乙行驶路程为千米． ①相遇前相距10千米时： 即 ， ； ②相遇后相距10千米时： 即， ， ， ∴或1.7， 故选：C． 8．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用剩下的部分铁丝原来的长度第一次用去的长度第二次用去的长度，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵第一次用去它的一半少1米，即米， ∴第一次剩余米， ∵第二次用去剩下的一半多1米， ∴第二次用去米， 根据题意，得， 故选：B． 9．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）A、B两个动点在数轴上做匀速运动，它们的运动时间t以及位置记录如表： 时间t（秒） 0 5 7 A点位置 19 b B点位置 a 17 27 A、B两点相距9个单位长度时，时间t的值为（　　） A．2或3 B．2或4 C．1或4 D．3或4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．先根据表格数据求出A和B的速度及点的初始位置，再根据两点位置差的绝对值为9列方程求解即可． 【详解】解：∵A点从到，位置从19变为， ∴点速度为， ∵B点从到，位置从17变为27， ∴点速度为， 在时，B点位置， 由题意可知，A点位置为，B点位置， ∵A、B两点相距9个单位长度， ∴， 即或， 解得或， 故选：B． 10．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，一块长方形的地板是由4种不同的正方形地板无缝拼接而成的，若长方形的周长为72，则①号正方形的边长为（   ） A．16 B．14 C．8 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设出④号正方形的边长，进而用④号正方形的边长表示出的长，再根据长方形周长计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设④号正方形的边长为，则③号正方形的边长为， ∴②号正方形的边长为， ∴①号正方形的边长为， ∴， ∵长方形的周长为72， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①号正方形的边长为14， 故选：B． 二、填空题 11．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）某工程甲独做需天完成，乙独做需天完成．现由甲先做2天，再由甲乙合作共同完成．则完成此项工程共用______天． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 设完成此项工程共用t天，由题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为，进而根据“甲先做2天，再由甲乙合作共同完成”列方程求解即可． 【详解】解：设完成此项工程共用t天， 由题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵甲先做2天，再由甲乙合作共同完成， ∴ 解得， 故答案为：6． 12．（25-26七年级上·江苏南京·期末）《诗经》是我国第一部诗歌总集，内容分为《风》，《雅》，《颂》三部分，共有篇．其中《雅》的篇数的倍比《风》与《颂》的篇数和多篇，则《雅》有多少篇？如果设《雅》的篇数为，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意，《雅》的篇数的2倍等于《风》与《颂》的篇数和加上10篇，由此列出一元一次方程. 【详解】解：设《雅》的篇数为，则《风》与《颂》的篇数和为. 由《雅》的篇数的2倍比《风》与《颂》的篇数和多篇，得. 故答案为：. 13．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是______． 【答案】②③ 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键．根据总的人数不变及总的客车数量，分别列方程，然后逐一判断即可． 【详解】解：根据人数相等列方程为：； 根据车数相等列方程为：， 即正确的是②③， 故答案为：②③． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）泰兴市某学校组织初一学生前往黄桥红色教育基地新四军黄桥战役纪念馆研学，老师准备了若干瓶矿泉水分给学生．若每人分2瓶，则剩余15瓶；若每人分3瓶，并顺次分下去，则剩有5名学生一瓶都没有分到．请问参加研学的学生有多少名？设参加研学的学生有名，则可列出方程________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（盈亏问题），解题的关键是抓住矿泉水的总瓶数不变这一等量关系，用两种不同的分法表示出总瓶数，从而列出方程． 先根据“每人分2瓶，剩余15瓶”表示出矿泉水总瓶数；再根据“每人分3瓶，有5名学生一瓶都没有分到”表示出矿泉水总瓶数；最后根据总瓶数相等列出方程． 【详解】解：设参加研学的学生有名， 由“每人分2瓶，则剩余15瓶”，得矿泉水总瓶数为， 由“每人分3瓶，则有5名学生一瓶都没有分到”，得矿泉水总瓶数为， 根据矿泉水总瓶数相等，得． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，比如我们常用的等积法是其中的一种．如图，在长方形中，，，是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿点运动、最终到达点．若点运动的时间为，则当______时，． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积,一元一次方程的应用．分为三种情况：画出图形，根据三角形的面积求出每种情况即可． 【详解】解：①如图1， 当在上时， 的面积等于， ， ； ②当在上时，如图2， 的面积等于， ， ， ； ③当在上时，如图3， ， ，而，，不符合题意，舍去； 故答案为：或6． 三、解答题 16．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，在同一水平地面上放置了甲、乙两个长方体容器，容器甲的底面积为平方米，高为米；容器乙的底面积为平方米，高为米．已知原本容器甲中盛满了水，而容器乙中的水位高度为米．现利用抽水装置从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水立方米．设注水时间为分钟． (1)注水分钟后，甲容器中水位的高度表示为______，乙容器中水位的高度表示为______；（用含的代数式表示） (2)经过多长时间，甲、乙两个容器中水位的高度相差米？ 【答案】(1)， (2)分钟或分钟 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）根据长方体体积公式，结合注水速度和容器底面积，推导出甲、乙容器水位高度关于时间的代数式； （2）分“甲水位比乙高米”和“乙水位比甲高米”两种情况，建立一元一次方程并求解，得到两种符合条件的时间． 【详解】（1）解：容器甲中盛满了水，底面积为平方米， 容器甲中水位原高度为米， 注水分钟后水位高度为； 容器乙中水位原高度为米，底面积为平方米 注水分钟后乙容器的水位高度为， 当容器乙被注满时，水位上升了米，则此时注入水的体积为， 容器甲中全部水的体积为，， 最大注水时间为分钟， ， 故两个容器水位高度分别为，． 答：，． （2）解：分两种情况讨论， 当甲容器中的水位比乙容器高， 则， 解得； 当乙容器中的水位比甲容器高， ， 解得． 综上，经过分钟或分钟，两个容器水位相差米． 答：分钟或分钟． 17．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织师生外出研学，如果单独租用座的客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用座的客车，则可以少租一辆，且空余15个座位． (1)求参加本次研学的师生总人数； (2)已知一辆座客车的日租金为元，一辆座客车的日租金为元．若只租一种型号的客车，则租哪种客车更省钱？请通过计算说明． 【答案】(1)参加本次研学的师生总人数为人 (2)单独租用座客车更省钱 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是解题关键． （1）设单租座的客车辆，则单租座的客车需要辆，根据题意列出方程，然后求解的值即可； （2）分别计算单独租用两种客车的费用，比较后得出结论． 【详解】（1）解：设单租座的客车辆，则单租座的客车需要辆， 根据题意可列方程：， 解得，， ∴参加本次研学的师生总人数为人； 答：参加本次研学的师生总人数为人． （2）解：单独租用座客车的租金为：元， 单独租用座客车的租金为：元， ∵， ∴单独租用座客车更省钱； 答：单独租用座客车更省钱． 18．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）平价商场经销的甲，乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为；乙种商品每件进价80元，售价128元． (1)求甲种商品每件的进价；（利润率） (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠 超过680元 按购物总额给予7.5折优惠 按表的优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)甲种商品的进价为70元； (2)该商场购进甲种商品20件，乙种商品30件． (3)小华在该商场购买乙种商品5或6件． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定等量关系是解本题的关键． （1）根据售价减去进价等于利润，再建立方程求解即可； （2）设该商场购进乙种商品件，根据总进价为3800元，再建立方程求解即可； （3）设小华在该商场购买乙种商品件，再分两种情况讨论：①当超过480元，但不超过680元时， ②当超过680元时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种商品的进价为元，则 ． 解得． 即甲种商品每件进价为 70元； （2）解：设该商场购进乙种商品件，则购进甲种商品件，根据题意可得： ， 解得：，则（件）； 答：该商场购进甲种商品件，乙种商品30件． （3）解：设小华在该商场购买乙种商品件，根据题意，得： ①当超过480元，但不超过680元时，， 解得， 当时，购物总金额为元，满足的条件，符合题意； ②当超过680元时，， 解得， 当时，购物总金额为元，满足的条件，符合题意； 答：小华在该商场购买乙种商品5或6件． 19．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）某市为建设市民河堤漫步休闲通道，现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天完成． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出方程如下： 甲：； 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义． 甲： x表示 ； 乙： x表示 ． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)A工程队用的天数；A工程队整治的米数 (2) 解：选择甲同学的解答过程为：， 解得， 所以A工程队整治的米数为：米，B工程队整治的米数为：米， 答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米． 选择乙同学的解答过程为：， 解得， 由题意可知A工程队整治的米数为60米，B工程队整治的米数为：米， 答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）根据所列方程可得甲：，x表示A工程队用的天数； 乙：，x表示A工程队整治的米数； （2）求解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲：，x表示A工程队用的天数； 乙：，x表示A工程队整治的米数． 20．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 【答案】(1)男生21人，女生24人 (2)分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人，根据班级总人数为45人列出方程求解即可； （2）设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底，根据1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：七年级（3）班的男生人数为21人，女生人数为24人； （2）解：设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底， 由题意得，， 解得， ∴， 答：分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底． 21．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）2026年是丙午马年，临近学期结束，学校决定购买马年吉祥物用于奖励品学兼优的学生．已知某文创店出售的每个玩偶比挂件贵40元． (1)若学校购买4个挂件和6个玩偶一共花费440元，请你运用一元一次方程的知识，算一算每个挂件和玩偶分别多少钱？ (2)临近春节，文创店推出了优惠活动，有两种优惠方式可供顾客选择，甲方式：玩偶和挂件均打八折出售：乙方式：保持原价不变，但是购买1个玩偶可以赠送1个挂件，学校计划购买玩偶10个，挂件x个（）．经过学校测算，两种方式所付的总费用相同，求学校计划购买挂件多少个？ (3)若学校打算购买10个玩偶和30个挂件，选哪种方式更合算？请你通过计算说明理由． 【答案】(1)挂件20元，玩偶60元 (2)20个 (3)解:选甲方式更合算；理由: 比较10个玩偶个挂件的两种费用， 甲方式：（元）； 乙方式：（元）； ∵， ∴选甲方式更合算． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）设每个挂件x元，玩偶元，根据“购买4个挂件和6个玩偶一共花费440元”列方程求解； （2）根据“两种方式所付的总费用相同”，列方程求解即可； （3）先分别求出两种方案所需的钱数，再比较求解． 【详解】（1）解：设每个挂件x元，玩偶元． 依题意列方程：； 去括号：； 合并：； 解得， 玩偶：（元）； 答：挂件20元，玩偶60元； （2）解：甲方式费用：， 乙方式费用：， 两方式费用相等：， 移项：， 解得， 答：学校计划购买挂件20个； （3）略 22．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，数轴上点、表示的数分别是、． (1)点与点之间的距离是　　　； (2)若点是数轴上一点，且，求点表示的数； (3)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒，当、两点重合时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查数轴上两点的距离，一元一次方程中的动点问题，熟练掌握数轴的用法是解题关键． （1）根据数轴上两点的距离计算方法直接计算即可； （2）设点表示的数为，根据点与线段的相对位置分三类讨论，分别计算每种情况下的值即可； （3）根据题意，点表示的数为，点表示的数为．当、两点重合时，列方程并求解即可． 【详解】（1）解：点与点之间的距离为． （2）解：设点表示的数为， ①当点在线段延长线上时， ，， ∴， 解得，； ②当点在线段上时， ，， ∴，与题干矛盾，故舍去； ②当点在线段延长线上时， ，， ∴， 解得，； 综上所述，或． （3）解：由题意可知，运动过程中，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点重合时，可列方程：， 解得，． 23．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每月用水量 收费 不超过的部分 2元/ 超过但不超过的部分 4元/ 超过的部分 6元/ (1)已知小亮家去年10月份共用水，则他家去年10月份应缴水费是多少？ (2)若小亮家去年11、12月份共用水，（12月份用水量超过11月份用水量，且11月用水量超过），共交水费76元，则小亮家11、12月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)42元 (2)他家去年11月用水量是，12月用水量是， 【分析】（1）用水，分三部分计算，不超过的部分按2元/，超过但不超过的部分按4元/，超过的部分按6元/，把三部分的费用求和即可． （2）由题意得，小亮家11月份用水量超过但不超过，12 月份用水量超过．设小亮家11月份用水量是．根据题意列方程求出x值，则可得11月份用水量，进而可得12月用水量． 本题考查了有理数混合运算的实际应用，以及列一元一次方程解应用题．理解题意，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解： （元）． 答：他家去年10月份应缴水费是42元． （2）解：由题意得，小亮家11月份用水量超过但不超过，12 月份用水量超过．设小亮家11月份用水量是，由题意可得； 解得． ∴． 答：他家去年11月用水量是，12月用水量是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 用一元一次方程解决问题 （核心知识+8易错辨析+13典例精讲+课后作业） 【知识点01】列一元一次方程解应用题六步流程（审、设、列、解、验、答） 这是解决方程应用题的标准解题流程，也是考试得分核心步骤，缺一不可，核心关键是找准等量关系。 审（审题）：梳理题目中的已知量、未知量，找出题目隐藏或直接给出的等量关系。复杂题型可借助线段图、表格梳理数量关系。 设（设未知数）：分为直接设元和间接设元。直接设元即求什么设什么；若直接设元列式复杂，可间接设相关量为未知数，最终求解目标量。设未知数必须标注清晰含义。 列（列方程）：用含未知数的代数式表示所有相关数量，根据等量关系列出一元一次方程，保证方程两边单位统一。 解（解方程）：按照移项、去分母、去括号、合并同类项、系数化为1的步骤，规范求解未知数。 验（双重检验）：一是检验数值是否为方程的解，二是检验结果是否符合实际生活意义（人数、物品数、天数等不能为负数、小数）。 答（规范作答）：完整书写答案，标注对应单位，语言简洁规范。 【知识点02】课本高频题型及核心等量关系 （1）和差倍分问题 基础关系：现有量=原有量±增长量、增长量=原有量×增长率。核心抓取题干关键词：多、少、倍、共、剩余、比……相等。 （2）比例分配问题 已知多个量的比例，统一设每份为x，各数量=对应份数×x，再根据总量或差值列方程。 （3）行程问题 核心公式：路程=速度×时间 相遇问题：总路程=甲行驶路程+乙行驶路程 追及问题：快者行驶路程=慢者行驶路程+初始间距 （4）工程问题 核心公式：工作总量=工作效率×工作时间 无具体工作总量时，默认总工作量为1，单人工作效率=1÷单独完成总天数。 （5）配套问题 核心：配套的两类物品数量满足固定倍数比例关系，根据配套比例建立等量方程。 （6）销售利润问题 核心公式：利润=售价-进价、利润率=利润÷进价×100%、售价=标价×折扣（折扣为小数形式） 3. 常用解题分析工具 线段示意图：适用于行程、工程问题，直观展示各部分数量、路程、工作量的关系，快速找准等量。 表格法：适用于配套、调配、积分、利润问题，清晰区分已知量、未知量，规避数量混淆。 常见易错点 错误示例 正确做法 无等量关系，盲目列方程 读完题目直接列式，无明确等式依据 先圈画题干中等量语句，再列代数式、建方程 单位书写不规范 方程中带单位，设元、答题漏写单位 设、答带单位，方程内部禁止写单位 单位不统一直接计算 速度用km/h，时间用分钟直接代入 解题前统一所有物理量单位，再列方程计算 工程问题效率计算错误 甲5天完成工程，误写效率为5 无总工作量时，效率为对应分数，即 混淆进价、标价、售价 将打折后的售价当成商品进价 明确：标价为原价，售价=标价×折扣，售价≠进价 省略实际意义检验 解出人数、物品数为小数、负数直接作答 实际问题需检验结果，不合理解直接舍去 等量关系逻辑颠倒 甲比乙多5，错列：甲+5=乙 顺着题意列式：甲=乙+5，杜绝逆向算术思维 解题步骤缺失 解方程后直接结束，无作答步骤 应用题必须完整完成审设列解验答全步骤，规范写答 补充易错提醒：解方程基础失误（移项不变号、去分母漏乘常数项、去括号漏乘），是应用题失分重要原因，需同步规范解方程步骤。 【题型一】配套问题(一元一次方程的应用) 【例1】．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）某校需要向某工厂定制一批四条腿的凳子，已知该工厂有10名工人，每人每天可以生产18块凳面或80条凳腿，1块凳面需要配4条凳腿，为使每天生产的凳面和凳腿刚好配套，设安排x名工人生产凳面，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）平定紫砂壶历史悠久，曾与宜兴紫砂齐名，有“南宜兴北平定”的美誉，某生产商生产的某款平定紫砂茶具，每套茶具中1把茶壶配4只茶杯，用黏土可制作2把茶壶或6只茶杯，现在要用7kg黏土制作茶具．若设用黏土制作茶杯，为使得茶壶与茶杯刚好配套，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）2024卡塔尔亚洲杯已于多哈当地时间1月12日下午5点（北京时间2024年1月12日22点）开幕。同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有___________块． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能生产200只茶杯或50只茶壶．如果8只茶杯和一只茶壶为一套，则每天分别安排多少名工人生产茶杯和茶壶，才能使生产的茶杯和茶壶刚好配套？ 【题型二】工程问题(一元一次方程的应用) 【例2】．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）一项工作，甲单独做需完成，乙单独做需完成．现在由乙单独先做，剩下的再由甲、乙一起做，还需几小时完成？设剩下的部分还要完成，下面所列方程正确的（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）整理一批数据，由一人做完成，现在计划先由x人做，再增加5人做，完成这项工作的 ，可列方程（      ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，直至完成这项工程．若设完成此项工程一共用x天，则可列方程__________________． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）一项工程，若由甲队单独做需要天完成，若由乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队先一起施工天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【题型三】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【例3】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某商品的进价为300元，按标价的8折出售，仍可获利，则该商品的标价是（   ）元． A．380 B．400 C．420 D．450 【变式1】．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）小华开店，某次卖出两件商品，一件赚了，另一件赔了，售价都是135元/件，在这次买卖中小华是（    ） A．不赔不赚 B．赚18元 C．赔18元 D．无法判断 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）一种商品的售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元，这件商品的进价为_______元． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）惠山区“社区便民市集”筹备期间，某厂家计划采购甲、乙两种日用品．已知甲日用品的每件进价比乙日用品的每件进价少20元．若采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元． (1)求甲、乙两种日用品的每件进价分别是多少元？ (2)该采购商从批发商处采购了甲种日用品3万件、乙种日用品2万件．在市集售卖时，甲种日用品的每件售价为100元，要使得这5万件日用品所获利润率为，求每件乙种日用品的售价是多少元？ 【题型四】比赛积分(一元一次方程的应用) 【例4】．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，靖江市某中学组织安全意识知识竞赛，试题共20题，评分规则是答对一题得10分，不答或答错一题扣5分，聪聪得了125分，他答对了______题． 【变式1】．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段检测）下表是某次篮球联赛全部赛完后积分榜的一部分： 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 钢铁 14 0 14 14 … 14 … … … 备注：积分＝胜场积分＋负场积分 若某队的负场总积分是胜场总积分的n倍，其中n为正整数，则n的值为______________． 【变式2】．在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 10 10 40 用方程解决下列问题： (1)同学得了70分，他答对了多少道题? (2)同学说他得了80分，你认为可能吗?说明理由． 【题型五】方案选择(一元一次方程的应用) 【例5】．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）某新华书店暑假期间推出售书优惠方案： ①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是___________． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）若干户外旅行者住民宿，如果每间客房住人，那么有人无房可住；如果每间客房住人，那么就恰好空出间客房．求该民宿有客房多少间，户外旅行者多少人？ 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）在购买足球赛门票时，设购买门票张数为（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费元，则该单位购买门票价格为元每张（总费用广告赞助费门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过张，每张元，若所购门票超过张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： (1)方案一中，用含的代数式来表示总费用为 方案二中，当购买的门票数不超过张时，用含的代数式来表示总费用为 当所购门票数超过张时，用含的代数式来表示总费用为 ； (2)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计张（甲乙两单位购买数量均大于100张），花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）电信公司电话费有两个套餐方案可供顾客选择． 套餐1：月租20元，每分钟元； 套餐2：月租40元，每分钟k元． (1)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (2)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (3)若每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ 【题型六】数字问题(一元一次方程的应用) 【例6】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数是（   ）    A．3 B．5 C．7 D．9 【变式1】．（2026七年级上·江苏南京·专题练习）我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了一种乘法的计算方法，称为“铺地锦”．如图①，计算，先将乘数31和47分别写在大方格的上面和右面，然后用31的每位数字分别乘以47的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得1457．如图②，是用“铺地锦”计算两个两位数乘积的过程，它们的乘积等于（   ） A．345 B．256 C．356 D．100 【变式2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，在圆圈内填上不同的数，使得每条直线上的个数之和都相等，则__________． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）先观察下表中三行数的规律，然后按要求回答问题： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 第1行 1 3 5 7 9 … 第2行 … 第3行 … 规定把第行，第列的数记作．例如：第行，第列的数是，记作． (1)填空：_______，________； (2)是否存在正整数的值，满足，若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 【题型七】几何问题(一元一次方程的应用) 【例7】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，一个长方形被分割成9个大小不同的正方形，若图中最小正方形的边长为1，则图中阴影部分（即正方形B）的周长为（   ） A．32 B．52 C．56 D．60 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，甲、乙、丙三根笔直木棒平行摆放在桌上．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲、丙没有与乙重叠部分的长度分别为．若乙的长度最长且与甲、丙的长度差分别为，则乙的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，某校劳动实践基地是一块长，宽的长方形试验田，现规划4条宽度相等的小路（如图阴影部分），将试验田分割成大小完全相同的8块小长方形菜地，每块菜地的长（纵向）比宽（横向）多，则菜地的总面积为______． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）“苏超”赛事热度飙升，足球迷小明萌生了动手制作足球场模型的想法，他准备用一根木棒搭建长方形的足球门框（靠地面的一边无需制作，只需搭建另外三边），他给出了下面两种方法： 方法：门框的长比宽的倍少； 方法：门框的长比宽的倍多． (1)若这两种方法设计的门框宽度相同，且所需木棒长度一致，求这根木棒的长度； (2)若木棒长度为，已知标准足球门框的长宽比为，你觉得这两种方法中，哪种方法设计的门框更贴近这一标准？请说明理由． 【题型八】动点问题（一元一次方程的应用） 【例8】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字（　　）重合． A．3 B．0 C．1 D．2 【变式2】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，长方形中，，，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿向终点匀速运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动．若点，点同时出发，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两点运动的时间为秒，当时，则的值为______．      【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．点、表示的数、满足和互为相反数．对于数轴上的任意两条线段，给出如下定义：为线段上任意一点，为线段上任意一点，我们把线段长度的最大值称为线段和线段的极距，记作（线段，线段）．例如：（线段，线段）． (1)（线段，线段） ； (2)若点，表示的数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)若点、同时从原有位置出发沿轴正方向向右运动，点以每秒个单位长度的速度匀速运动，点第秒以每秒个单位长度运动，第秒以每秒个单位长度运动，第秒以每秒个单位长度运动，第秒以每秒个单位长度运动，…，按此规律运动，设运动的时间为秒，若（线段，线段），请求出相应的值． 【题型九】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【例9】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级（1）班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人．设女生有人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）某体育器材店在双“11”开展篮球促销活动，促销办法如下：每个篮球标价25元，若购买超过10个，享受八折优惠．在活动期间某中学的七（1）、（2）班到该店购买篮球，已知七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元．设七（2）班买x个篮球，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某小组计划做一批中国结，如果每人做5个，就比计划多做10个；如果增加1人，每人做3个，比计划少做5个，设计划做x个“中国结”，可列方程___________． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某课外活动小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增加6名女生，那么女生人数就占全组人数的，设活动小组中男生人数为x人，求这个课外活动小组的人数． 【题型十】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【例10】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为（以内按起步价付费），后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元．设甲、乙两地之间的路程为，可得方程 ________________． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 【变式2】．（24-25七年级上·江苏·期末）某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如下表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 不超过x立方米的部分 a 第二阶梯 超过x立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元． (1)填空：__________，__________； (2)2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 【变式3】．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米元计费；超过10立方米的部分按每立方米元计费． (1)若每月用水量16立方米，需交水费__________元． (2)若某户居民在某个月份用水立方米，思考并回答： 当不超过10立方米，需交水费__________元；当超过10立方米，需交水费__________元（用含有的式子表示）． (3)小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米． 【题型十一】行程问题(一元一次方程的应用) 【例11】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山，距绿水．某天，一辆汽车匀速行驶，上午10：00途经王家庄，下午13：00途经青山，15：00途经绿水，王家庄距翠湖的路程有多远？设王家庄距翠湖，下列所列方程，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏·期末）（九章算术）中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．问：太仓去上林几何?”其大意为：驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里，现在从太仓运谷子到上林，五日往返3次．问：太仓距上林多少里?设太仓距上林里，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明早晨上学时，每小时走5千米，中午放学沿原路回家，每小时走4千米，结果回家所用的时间比上学所用的时间多10分钟，问小明家离学校多远？设小明上学用了x小时，那么所列方程是______________________． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）以下是两张不同类型火车（“D××次”表示动车，“G××次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）； (2)已知动车和高铁的平均速度分别为、，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求A，B两地之间的距离； 【题型十二】日历问题(一元一次方程的应用) 【例12】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图是某月份的日历，由如图所示的框，任意框出三个数a，b，c，则不可能是（      ） A．63 B．66 C．69 D．72 【变式1】．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如下表是2025年8月的月历，用如图所示的“”形框出4个数，若移动这个“”形框，则这4个数的和不可能是（    ） A．44 B．56 C．76 D．88 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在如图所示的月历表中，任意框出同一个竖列上的相邻三个数，算出它们的和是51，则这三个数中最小的数是________． 【变式3】．下图是某月份的月历，由图回答下列问题：    (1)如果十字框框出的5个数的和为55，那么十字框中间的数是多少？ (2)十字框框出的5个数的和可以是110吗？ 【题型十三】古代问题(一元一次方程的应用) 【例13】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）在明代数学著作《九章算法比类大全》中，有这样一个问题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”文中的“倍加增”指下一层灯的盏数是上一层的2倍，那么顶层灯的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，曹冲称象是应用等量代换原理．有这样的“曹冲称象”：先将大象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入64块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入4块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为150斤，每块条形石重量均为x斤，则下列表述中错误的是（   ） A．由题意得 B．每块条形石的重量是75斤 C．由题意得 D．该象的重量是5200斤 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，若设有x个人，则可列方程______． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你2头羊，余下的给你妻子；老二，再给你3头羊，再余下的给你妻子；……”说完，老人就去世了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？ 1. 核心思想：用一元一次方程解决实际问题，本质是数学建模，将生活实际问题转化为方程模型，解题核心是找准、找全等量关系，而非死记硬背题型公式。 2. 解题准则：严格遵循审→设→列→解→验→答六步解题法，不省略关键步骤。复杂题型主动使用线段图、表格辅助分析，降低解题难度。 3. 设元技巧：灵活选择直接设元或间接设元，优先保证列式简洁、计算简便，无需固定“问什么设什么”。 4. 检验关键：双重检验缺一不可，既要验证方程计算正确性，更要验证结果符合现实逻辑，舍弃不合理数值。 5. 答题规范：统一单位、规范书写、完整作答，规避格式性、细节性丢分，养成严谨的解题习惯。 思维提升：方程解题区别于小学算术，顺着题意正向列式，无需逆向推导，在复杂数量关系问题中优势显著，是初中数学核心解题思维。 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在2025年11月的日历表中用“”框出5个数（如框选部分所示），则这5个数的和有可能是（    ） A．30 B．52 C．75 D．90 2．幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 4．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（    ） A．200元 B．190元 C．180元 D．170元 5．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）6个人用35天完成某项工程的，如果再增加工作效率相同的8个人，那么完成这项工程共需要（    ） A．60天 B．65天 C．55天 D．50天 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）某车间有26名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，设有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，且每天生产的螺栓和螺母按配套，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发（  ）小时后甲乙相距10千米． A．2或2.5 B．2.5 C．1.5或1.7 D．1.5 8．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）A、B两个动点在数轴上做匀速运动，它们的运动时间t以及位置记录如表： 时间t（秒） 0 5 7 A点位置 19 b B点位置 a 17 27 A、B两点相距9个单位长度时，时间t的值为（　　） A．2或3 B．2或4 C．1或4 D．3或4 10．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，一块长方形的地板是由4种不同的正方形地板无缝拼接而成的，若长方形的周长为72，则①号正方形的边长为（   ） A．16 B．14 C．8 D．2 二、填空题 11．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）某工程甲独做需天完成，乙独做需天完成．现由甲先做2天，再由甲乙合作共同完成．则完成此项工程共用______天． 12．（25-26七年级上·江苏南京·期末）《诗经》是我国第一部诗歌总集，内容分为《风》，《雅》，《颂》三部分，共有篇．其中《雅》的篇数的倍比《风》与《颂》的篇数和多篇，则《雅》有多少篇？如果设《雅》的篇数为，则可列方程为______． 13．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是______． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）泰兴市某学校组织初一学生前往黄桥红色教育基地新四军黄桥战役纪念馆研学，老师准备了若干瓶矿泉水分给学生．若每人分2瓶，则剩余15瓶；若每人分3瓶，并顺次分下去，则剩有5名学生一瓶都没有分到．请问参加研学的学生有多少名？设参加研学的学生有名，则可列出方程________． 15．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，比如我们常用的等积法是其中的一种．如图，在长方形中，，，是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿点运动、最终到达点．若点运动的时间为，则当______时，． 三、解答题 16．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，在同一水平地面上放置了甲、乙两个长方体容器，容器甲的底面积为平方米，高为米；容器乙的底面积为平方米，高为米．已知原本容器甲中盛满了水，而容器乙中的水位高度为米．现利用抽水装置从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水立方米．设注水时间为分钟． (1)注水分钟后，甲容器中水位的高度表示为______，乙容器中水位的高度表示为______；（用含的代数式表示） (2)经过多长时间，甲、乙两个容器中水位的高度相差米？ 17．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织师生外出研学，如果单独租用座的客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用座的客车，则可以少租一辆，且空余15个座位． (1)求参加本次研学的师生总人数； (2)已知一辆座客车的日租金为元，一辆座客车的日租金为元．若只租一种型号的客车，则租哪种客车更省钱？请通过计算说明． 18．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）平价商场经销的甲，乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为；乙种商品每件进价80元，售价128元． (1)求甲种商品每件的进价；（利润率） (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠 超过680元 按购物总额给予7.5折优惠 按表的优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 19．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）某市为建设市民河堤漫步休闲通道，现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天完成． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出方程如下： 甲：； 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义． 甲： x表示 ； 乙： x表示 ． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．（写出完整的解答过程） 20．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 21．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）2026年是丙午马年，临近学期结束，学校决定购买马年吉祥物用于奖励品学兼优的学生．已知某文创店出售的每个玩偶比挂件贵40元． (1)若学校购买4个挂件和6个玩偶一共花费440元，请你运用一元一次方程的知识，算一算每个挂件和玩偶分别多少钱？ (2)临近春节，文创店推出了优惠活动，有两种优惠方式可供顾客选择，甲方式：玩偶和挂件均打八折出售：乙方式：保持原价不变，但是购买1个玩偶可以赠送1个挂件，学校计划购买玩偶10个，挂件x个（）．经过学校测算，两种方式所付的总费用相同，求学校计划购买挂件多少个？ (3)若学校打算购买10个玩偶和30个挂件，选哪种方式更合算？请你通过计算说明理由． 22．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，数轴上点、表示的数分别是、． (1)点与点之间的距离是　　　； (2)若点是数轴上一点，且，求点表示的数； (3)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒，当、两点重合时，求的值． 23．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每月用水量 收费 不超过的部分 2元/ 超过但不超过的部分 4元/ 超过的部分 6元/ (1)已知小亮家去年10月份共用水，则他家去年10月份应缴水费是多少？ (2)若小亮家去年11、12月份共用水，（12月份用水量超过11月份用水量，且11月用水量超过），共交水费76元，则小亮家11、12月份各用水多少立方米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $