第二十五章 图形的相似全章高频重点题型突破（十三大高频+八大重难题型，专项训练）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 以“基础-提升-专练”三级架构系统覆盖图形相似全章高频重难点，通过分层题型构建从概念到综合应用的完整逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|13类高频题型|聚焦比例线段、相似判定等基础概念，题型独立|从比例性质到相似三角形判定，构建概念生成与简单应用逻辑| |核心提升|8类重难题型|涉及动点综合、模型应用、新定义问题，强调多知识点融合|以相似性质为核心，拓展至实际应用与动态问题，形成知识迁移链| |题型专练|63道典例|精选各地期中/模拟题，覆盖选择、填空、解答全题型|通过典型题承载方法，强化从单一知识点到综合解题的推理能力|

第二十五章 图形的相似全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分线段成比例 题型4 相似多边形及其性质 题型5 相似三角形的判定 题型6 选择或者补充条件使两个三角形相似 题型7 利用相似三角形的性质求解 题型8 利用相似求坐标 题型9 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型10 相似三角形的动点问题 题型11 重心的有关性质 题型12 相似三角形的实际应用 题型13 图形的位似 核心提升：重难题型归纳 题型1 黄金分割的实际应用 题型2 平行线分线段成比例的综合问题 题型3 相似三角形的判定与性质综合 题型4 相似三角形的动点问题综合 题型5 相似模型 题型6 重心的综合应用 题型7 相似三角形的实际应用压轴 题型8 相似三角形的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 比例线段 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 2．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． ◆题型2 黄金分割 4．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图1，点A，B分别在正方形习字格的边上，且，“冀”字的笔画“撇”（倒数第2画）的起点位置在的黄金分割点C处，且．已知如图2所示的习字格的边长为，则“冀”字的笔画“撇”（倒数第2画）的起点到的距离为______． 5．（25-26九年级上·河北保定·期中）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是____．（结果保留根号） 6．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． ◆题型3 平行线分线段成比例 7．（2026·河北唐山·二模）如图，嘉嘉利用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（     ） A．1 B．3 C．4 D．6 8．（25-26九年级上·河北·单元复习）如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为____________： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为____________ 9．（2025·广东·二模）如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则______ ◆题型4 相似多边形及其性质 10．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 11．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知四边形四边形，，，且． (1)的度数为_____； (2)若，求的长． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于___________． ◆题型5 相似三角形的判定 13．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 14．（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．求证：． 15．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，． (1)求的长； (2)在上取一点F，连接．若，求证：． ◆题型6 选择或者补充条件使两个三角形相似 16．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是嘉嘉和琪琪的做法．下列说法不正确的是（    ） 嘉嘉的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． 琪琪的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． A．嘉嘉的证明过程没有问题 B．琪琪的证明过程没有问题 C．嘉嘉添加的条件没有问题 D．琪琪添加的条件有问题 17．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知、分别是的边、上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似，那么添加一个条件可以为 ______ （只填一个）． 18．（2025·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． ◆题型7 利用相似三角形的性质求解 19．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，D，E分别是的边，上的点，，，且． (1)求证：； (2)若的面积为8，求的面积． 20．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 21．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． ◆题型8 利用相似求坐标 22．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    23．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 24．（25-26九年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． ◆题型9 在网格中画与已知三角形相似的三角形 25．（2025·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） (1)在图①中，在线段上画出点M，使 (2)在图②中，在线段上画出点N，使 (3)在图③中，在线段上画出点Q，使 26．（2025·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，在线段上画出点M，使； (2)在图②中，在线段上画出点N，使； (3)在图③中，在线段上画出点Q，使．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） 27．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． ◆题型10 相似三角形的动点问题 28．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当________s时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 29．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)若与的周长比为，求的长． (2)点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？ 30．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． ◆题型11 重心的有关性质 31．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，G是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，P，Q分别是和的重心，长为12，则的长为___________． 32．（25-26九年级上·全国·期中）我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍． 可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题： 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)求的三边长． 33．（2025·河南郑州·二模）如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． ◆题型12 相似三角形的实际应用 34．（2026·河北石家庄·一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（   ） A．cm B．cm C．10cm D．cm 35．（25-26九年级上·河北保定·期末）【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 36．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ ◆题型13 图形的位似 37．（25-26八年级下·河北·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 38．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，且，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将知形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为________． 39．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． (1)画出向下平移4个单位长度得到的， (2)点的坐标是___________； (3)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，位似比为1 (4)点的坐标是___________． ◆题型1 黄金分割的实际应用 40．（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 41．（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 42．（2026·广西南宁·三模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段 是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若， 是边的两个“黄金分割”点，则的面积为_______． ◆题型2 平行线分线段成比例的综合问题 43．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，过点A作交的延长线于点M，取的中点N，过点N作交于点D，且，则下列结论：①；②；③；④若的长为，则的长为．其中正确结论的序号为___________． 44．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 45．（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ ◆题型3 相似三角形的判定与性质综合 46．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 47．（2026·辽宁盘锦·三模）已知是等边三角形，． (1)如图1，将沿直线平移到（A、B、C分别对应D、E、F），且两个三角形的另一边交于点G，若这两个三角形重叠部分的面积是面积的，则的长为________； (2)如图2，在（1）的条件下，当点D在边上时，将重叠绕点B逆时针旋转，使点G落在内，直线与直线相交于点F，连接，判断和和的关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，当点D在边上时，连接，将沿翻折得到，再将翻折得到，与交于点M，求线段的长． 48．（2026·安徽阜阳·三模）正方形和正方形的位置如图所示，点E在上，交于点M，延长交于点P，于点N，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的值． ◆题型4 相似三角形的动点问题综合 49．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 50．（2026·湖南岳阳·三模）如图，已知在中，，，，如果点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为（单位：）（）．解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)设的面积为（单位：），求关于的函数关系式； (3)在点P，Q的运动过程中，在同一平面内是否存在点D，使得以点A，P，Q，D为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 51．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知、两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴），并且分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于160（平方单位）．若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． ◆题型5 相似模型 52．（2025·上海奉贤·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形，分别以、为腰作等腰三角形和等腰三角形，且顶角，连接、相交于点G，与相交于点H． (1)求证：； (2)当线段满足时，求证：四边形是菱形． 53．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形中，点M在边上，将沿翻折至处，延长交边于点N，连接．对角线分别交，于E，F两点． (1)________． (2)求证：． (3)若，，求的长． 54．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，，连接，交于点F，交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，求证：． ◆题型6 重心的综合应用 55．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，已知在矩形中，点在边上，在的延长线上取点，连接、，的重心在线段上，连接，若四边形是菱形，那么的值为________． 56．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，为的重心，点在延长线上，且，连接并延长交于点，则（     ） A． B． C． D． 57．（25-26八年级下·上海宝山·期中）如图，在中，点为重心，延长交于点，若平分，，，则的长为_______． ◆题型7 相似三角形的实际应用压轴 58．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 59．（2026·河南平顶山·三模）悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔． 某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点A处放一平面镜，沿方向前进到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M，再沿方向前进，将另一平面镜放在D处，此时在距离该平面镜的E处恰好再次看到塔的顶部M． 已知观察者眼睛到地面的距离，点E，D，B，A，N在同一条直线上，求悟颖塔的高度（结果保留整数） 60．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． ◆题型8 相似三角形的新定义问题 61．（2026·山东青岛·一模）【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”． 【理解新定义】 (1)如图1，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，且，．请写出图中的一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：____． 【应用新定义】 (2)如图2，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点M，过点E作的垂线，垂足为N，与互为“镜移三角形”，若的面积为2，则的面积为____． 【拓展新定义】 (3)如图3，在矩形中，，，E是的中点，F是的中点，那么与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为____；若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为____． 62．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 63．（2026·河南洛阳·一模）在学习特殊四边形的过程中．同学们积累了一定的研究经验． 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究． 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：在四边形中，边上存在一点O，使得且，则四边形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质． 【初步探索】 (1)如图1，矩形是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则和的数量关系是__________． 【类比探究】 (2)如图2，四边形是可等垂四边形，且，，点P是它的等垂点． ①四边形的边，和之间的数量关系是___________； ②在图2中取边的中点Q，并连接，，则点Q是四边形的等垂点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离． 1．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 2．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·河北邢台·二模）作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 4．（2026·河北邯郸·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中对该书进行了深入研究，并给出了“勾股容方”问题的一个经典例子：“勾六步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：在中，，步，步．四边形为正方形，点D在上，点E在上，点F在上（如图）．则正方形的边长为（   ） A．2步 B．3步 C．4步 D．5步 5．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，，为中点，过作于，连接交于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北廊坊·二模）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接．若，，，，则的长为__________． 7．（2026·河北唐山·二模）如图，的对角线、相交于点，，且，则________． 8．（2026·甘肃陇南·一模）如图，在平行四边形中，点在边上，与交于点，若，则的长度为_____． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 10．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，，是的高，与相交于点，若，且， （1）的面积为___________； （2）若，则___________． 11．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，D是等边边上的一点，且，现将折叠，使点C与D重合，折痕为，点E、F分别在和上，则________． 12．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在▱ABCD中，，，点E为边上一点，，点F是边上的动点，将沿直线折叠得到，若点G恰好落在线段上，则的值为______． 13．（2026年河北省秦皇岛市山海关区自主招生数学试题）如图，四边形的对角线交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 14．（2026·河北邢台·二模）如图，在菱形中，点、分别是边、上的点，，连接和，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（2026·河北邯郸·三模）如图，已知正方形的边长为，，分别是，延长线上的点，连接，，于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数； (3)若，求的面积． 16．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． (1)求证：； (2)如果． ①若，求的长； ②若四边形的面积为24，求的面积． 17．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践 【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点在同一直线上． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点在一条直线上，点在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是___________（填序号）； ①只有甲同学的方案可行； ②只有乙同学的方案可行； ③两个同学的方案都可行； (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 18．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的说法的对错，小星_______，小红_______，小亮_______．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)在（）的条件下，，若，，直接写出的长． 19．（2026·河北廊坊·二模）综合探究与应用 模型建立 (1)如图1，正方形中，点，，，分别在正方形的四条边上，若，则线段，的数量关系是________； (2)如图2，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则折痕的长为________； 初步探究 (3)如图3，矩形纸片中，．若，则线段和的数量关系为_____________； 迁移应用 (4)如图4，已知点，，的位置如图4所示，求作一点，使得点，，，一定分别在一个长宽比为的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (5)如图5，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，求当与满足什么关系时，成立． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 图形的相似全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分线段成比例 题型4 相似多边形及其性质 题型5 相似三角形的判定 题型6 选择或者补充条件使两个三角形相似 题型7 利用相似三角形的性质求解 题型8 利用相似求坐标 题型9 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型10 相似三角形的动点问题 题型11 重心的有关性质 题型12 相似三角形的实际应用 题型13 图形的位似 核心提升：重难题型归纳 题型1 黄金分割的实际应用 题型2 平行线分线段成比例的综合问题 题型3 相似三角形的判定与性质综合 题型4 相似三角形的动点问题综合 题型5 相似模型 题型6 重心的综合应用 题型7 相似三角形的实际应用压轴 题型8 相似三角形的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 比例线段 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得； （2）根据比例中项的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 则． （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则x的值为． 【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键． 2．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键． 设，则、、，代入已知等式中，即可求得结果． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）设，则，代入计算即可得； （2）设，则，代入计算可求出k的值，从而可得a，b，c的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：设，则， ． （2）设，则， ， ， 解得， ，， ． ◆题型2 黄金分割 4．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图1，点A，B分别在正方形习字格的边上，且，“冀”字的笔画“撇”（倒数第2画）的起点位置在的黄金分割点C处，且．已知如图2所示的习字格的边长为，则“冀”字的笔画“撇”（倒数第2画）的起点到的距离为______． 【答案】/ 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵“冀”字的笔画“撇”的位置在的黄金分割点C处，且，， ∴， 即“冀”字的笔画“撇”（倒数第2画）的起点到的距离为． 5．（25-26九年级上·河北保定·期中）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是____．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．先根据黄金分割的定义得，进而得，再根据列方程求解即可． 【详解】解：、两点都是的黄金分割点， ， ， ， ， 而， ， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3) 证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）略 ◆题型3 平行线分线段成比例 7．（2026·河北唐山·二模）如图，嘉嘉利用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（     ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及数轴上两点间的距离，设点表示的数为，利用对应线段成比例列方程即可求解． 【详解】解：设点在数轴上表示的数为 点在数轴上表示的数是，数轴上另一点表示的数为 数轴上这两点间的距离为 由图可知，直尺上刻度对应点，刻度对应点，刻度对应数轴上表示的点 图中的虚线相互平行 根据平行线分线段成比例定理，可得即 解得 点在数轴上表示的数是． 8．（25-26九年级上·河北·单元复习）如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为____________： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为____________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质、平行线分线段成比例定理，解题的关键是通过作平行线构造比例关系，利用中线和线段比例求出的值． ①通过作，利用平行线分线段成比例定理和中线性质，结合是中点的条件，推出与的比例关系． ②依据平行线分线段成比例定理和已知的，推导出与的比例关系． 【详解】解：①过点作交于点， 则， 是的中线， ， ，即， 为的中点， ， ，即， ， ， ， 故答案为：； ， ，即， ， ， ， 故答案为：。 9．（2025·广东·二模）如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则______ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是构造平行线． 过点作，交于点，利用平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵为上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ◆题型4 相似多边形及其性质 10．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 【答案】 【分析】根据翻折变换的性质得到，根据相似多边形的性质得到比例式，整理得到一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，， 则， ∵矩形和矩形相似， ∴，即， 整理得，， 解得，（负值已舍去）， ∴原来的矩形的宽与长的比值为． 11．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知四边形四边形，，，且． (1)的度数为_____； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形性质，是解题的关键．相似多边形对应角相等，对应边成比例． （1）根据相似多边形对应角相等解答； （2）根据相似多边形对应边成比例解答． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴． 故答案为： （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． ◆题型5 相似三角形的判定 13．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长． 本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 【分析】由矩形的性质，结合直角三角形两锐角互余及互余定义得到、，等量代换即可得到，结合“一线三垂直模型”，由两个三角形相似的判定即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键． 15．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，． (1)求的长； (2)在上取一点F，连接．若，求证：． 【答案】(1)2 (2) 解：∵，，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴． 【分析】本题考查了中心对称，勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据中心对称的性质得出，，，根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据勾股定理求出，结合已知可求出，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵与关于点C成中心对称，，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （2）略 ◆题型6 选择或者补充条件使两个三角形相似 16．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是嘉嘉和琪琪的做法．下列说法不正确的是（    ） 嘉嘉的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． 琪琪的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． A．嘉嘉的证明过程没有问题 B．琪琪的证明过程没有问题 C．嘉嘉添加的条件没有问题 D．琪琪添加的条件有问题 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故嘉嘉的做法以及过程没有问题， 琪琪的做法添加的条件有问题，应为， 故B选项符合题意． 17．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知、分别是的边、上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似，那么添加一个条件可以为 ______ （只填一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：已知D、E分别是的边、上的点，且与不平行，， 故添加条件即可求得． 故答案为：（答案不唯一）． 18．（2025·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②， 证明：选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】略． ◆题型7 利用相似三角形的性质求解 19．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，D，E分别是的边，上的点，，，且． (1)求证：； (2)若的面积为8，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． （1）运用夹角相等，两边对应成比例的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 20．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，则，求出，然后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）利用矩形和直垂直的定义可得、，从而证明结论； （2）首先利用勾股定理求得线段的长，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即梦． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． ◆题型8 利用相似求坐标 22．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 23．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24．（25-26九年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) 如图，点即为所求：    (2) 【分析】（1）作于点即可； （2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解． 【详解】（1）略 （2）∽， ：：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 由，解得， 【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标． ◆题型9 在网格中画与已知三角形相似的三角形 25．（2025·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） (1)在图①中，在线段上画出点M，使 (2)在图②中，在线段上画出点N，使 (3)在图③中，在线段上画出点Q，使 【答案】(1) 解：如图①，取格点C，D，使，且， 连接，交于点M， 则， ， 即， 则点M即为所求． (2) 如图②，取格点E，F，使，且， 连接，交于点N， 则， ， 即， 则点N即为所求． (3) 如图③，取格点G，连接交于点Q， 则点Q即为所求． 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点C，D，使，且，连接，交于点M，则点M即为所求． （2）取格点E，F，使，且，连接，交于点N，则点N即为所求． （3）利用网格，过点P作的垂线，与的交点即为点Q 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 26．（2025·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，在线段上画出点M，使； (2)在图②中，在线段上画出点N，使； (3)在图③中，在线段上画出点Q，使．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） 【答案】(1) 如图，点M即为所求； ； (2) 如图，点N即为所求； ； (3) 如图，点Q即为所求． ． 【分析】此题主要考查了作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质． （1）利用网格的特点，根据相似三角形的性质，取格点D，C，，，连接交于M即可； （2）利用网格的特点，由相似三角形的性质，取格点F，E，，，连接，交于N即可； （3）利用网格的特点，根据相似三角形的性质，取格点G，，连接交于Q即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 27．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【答案】(1) 即为所求： ； (2) 即为所求： ． 【分析】本题主要考查了作相似三角形， （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）由面积的比得两三角形相似比为，画出所有对应边为原来倍的三角形即可． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型10 相似三角形的动点问题 28．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当________s时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的动点问题，根据路程速度时间即可表示出的长度；再分两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴， ∵，为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或时，以、、为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 29．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)若与的周长比为，求的长． (2)点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是矩形，，，则，又与的周长比为，则，然后代入即可求解； （）先证明，所以，则，解得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵与的周长比为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即当时，． 30．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) 解：不存在，理由如下： 假设存在某时刻，使线段恰好把的面积平分， 在中，， ∴， 如图，过P作于点D，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵线段恰好把的面积平分，， ∴，即， 此时， 此方程无解， ∴不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）分两种情况：当时，当时，再利用相似三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，过P作于点D，则，可得，从而得到，再由线段恰好把的面积平分，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当t或时，与相似； （2）略 ◆题型11 重心的有关性质 31．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，G是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，P，Q分别是和的重心，长为12，则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．连接，延长交于F点，连接，由G是的重心，可证是的中位线，从而可得．利用三角形重心的定义和性质得到，，得到，再证明得即可． 【详解】解：连接，延长交于F点，连接，如图， ∵G是的重心， ∴、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵P，Q分别是和的重心， ∴点为的中点，， ∴点在中线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（25-26九年级上·全国·期中）我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍． 可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题： 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)求的三边长． 【答案】(1) ，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)，， 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心，勾股定理． （1）证明，即可得出结论； （2）延长到F，使，则是等腰三角形，延长交于H点，则垂直平分，易证E是的重心，求出，利用勾股定理即可求出，进而求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长到F，使，则是等腰三角形， ∵是的中线， ∴是的一条中位线， 延长交于H点，则垂直平分， ∴E是的重心， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴． 33．（2025·河南郑州·二模）如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． 【答案】(1)①； ②成立，理由如下： ∵为等边三角形，是的高， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； (2) 解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点， 由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）①由三角形重心的性质可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解； （2）过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解． 【详解】（1）解：①∵点在的重心， ∴点为三角形三条中线的交点， ∴，，， ∴； ②略 （2）略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的重心的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． ◆题型12 相似三角形的实际应用 34．（2026·河北石家庄·一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（   ） A．cm B．cm C．10cm D．cm 【答案】D 【分析】运用相似三角形的性质可得结论 【详解】如图，过点作，， 由题意可得：， ， ， ，，， ， ． 35．（25-26九年级上·河北保定·期末）【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1)的长为； (2)点到地面的高度的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解题的关键． （）由题意得，，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可； （）先求出，由题意得，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴的长为； （2）解：由（）得，， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴点到地面的高度的长为． 36．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，此时矩形面积最大，最大面积是 【分析】本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）设正方形的边长为，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，利用相似三角形的性质求出，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 则， ∵四边形是正方形， ，即， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设， 四边形是矩形， ，即，， ，， ，即， ， 矩形面积， 当时，此时最大，最大值为2400， ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是． ◆题型13 图形的位似 37．（25-26八年级下·河北·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化的知识，掌握位似图形的性质是解题的关键； 首先根据两个四边形的顶点坐标的关系，可知四边形 与四边形为位似图形，再结合位似图形的性质分析判断各说法，即可解题． 【详解】解：根据各点坐标可看出四边形横纵坐标都乘2得到四边形，所以两个四边形形状相同，故①正确． 四边形边长扩大2倍为四边形的边长，所以，故②正确，③不正确． 由图知， 连接各个对应顶点的直线相交于点O，故④正确， 综上所述，说法正确的有①②④共3个 故选：C． 38．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，且，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将知形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟记相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据矩形的性质求出矩形的面积，根据位似图形的定义、相似多边形的性质总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， 矩形的面积为：， 在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍， 矩形的面积为：， 以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形， 矩形的面积为：， 同理得：矩形的面积为， 故答案为：． 39．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． (1)画出向下平移4个单位长度得到的， (2)点的坐标是___________； (3)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，位似比为1 (4)点的坐标是___________． 【答案】(1) 如图所示，是所求作三角形； (2) (3) 如图所示，是所求作三角形； (4) 【分析】本题考查了平移作图，画位似图形． （1）根据平移的性质画图即可； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）根据位似的性质画图即可， （4）根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知； 故答案为： （3）略 （4）解：由图可知； 故答案为：． ◆题型1 黄金分割的实际应用 40．（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 41．（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则，再根据求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据矩形是“白银矩形”结合由（1）得白银比率为，推出，求解即可． 【详解】（1）设，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴，（负数不合题意，舍去）， ∴白银比率为：； （2）设正方形的边长为，则， ∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为， ∴，则，解得， ∴正方形的边长为． 42．（2026·广西南宁·三模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段 是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若， 是边的两个“黄金分割”点，则的面积为_______． 【答案】 【分析】过点作于点 ，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点 ， ，， ， 在中，， ， 是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． ◆题型2 平行线分线段成比例的综合问题 43．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，过点A作交的延长线于点M，取的中点N，过点N作交于点D，且，则下列结论：①；②；③；④若的长为，则的长为．其中正确结论的序号为___________． 【答案】 ①③④ 【分析】由已知和三角形的内角和可判定①，由垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理可判定③，再结合勾股定理可判定②和④． 【详解】解：设，则， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵取的中点N，过点N作交于点D， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴故③ 正确； 设，，则，， ∴，， 在中，， 在中，， 由①②得，， ∴， ∴（负值已舍）， ∴（负值已舍）， ∵ ∴，结论②错误； ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 即， 解得（负值已舍） ∴，故④正确． 44．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 【答案】B 【分析】作于K，先证是的中位线，得，，再证是等腰直角三角形，求出后，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于K， ∵，即， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴K为中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． ◆题型3 相似三角形的判定与性质综合 46．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】(1)证明：， ． ， 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【详解】（1）略． （2）解： ， ， ，，， ． ． ． 47．（2026·辽宁盘锦·三模）已知是等边三角形，． (1)如图1，将沿直线平移到（A、B、C分别对应D、E、F），且两个三角形的另一边交于点G，若这两个三角形重叠部分的面积是面积的，则的长为________； (2)如图2，在（1）的条件下，当点D在边上时，将重叠绕点B逆时针旋转，使点G落在内，直线与直线相交于点F，连接，判断和和的关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，当点D在边上时，连接，将沿翻折得到，再将翻折得到，与交于点M，求线段的长． 【答案】(1)9或15 (2) 理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合， ∴ 由旋转性质得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴共线，     又∵，, ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴； (3) 【分析】（1）是等边三角形，平移后也为等边三角形，重叠部分仍为等边三角形，已知重叠面积是面积的，故相似比为，得重叠等边三角形的边长为， 分两种平移情况求解即可； （2）由旋转性质可证得，再将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，通过互补的性质证得共线，为等边三角形，即可得到； （3）建立平面直角坐标系，分别求出各个点的坐标，再求出直线的解析式，联立方程组即可求得交点的坐标，再用两点间距离公式即可求出的长． 【详解】（1）解：当向右平移时，在上，如图所示， ∵是等边三角形， ∴平移后也为等边三角形，且， ∴ ∴为等边三角形， ∴     ∵重叠面积是面积的​， ∴相似比为， ∵， ∴， ∴； 当向左平移时，在左侧，如图所示， 此时刚好是重叠部分的边长， 同理可证： , 此时    所以； （2）略； （3）解：过作于点，连接，交于， ∴,， 以为原点，为轴，垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， ∴，，， 由在上得， ∵是关于直线的对称点， ∴ , ∴, 设的解析式为， ∴解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ， ∴， 整理得， 解得（舍去） ∴ ∵是的中点 ∴解得 ∴​， 设直线方程： ∴解得     得直线方程：     翻折沿得，且是等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∴的横坐标为，纵坐标与的纵坐标相同为， ∴， 设直线方程：； ∴， 解得， ∴直线方程：； 联立两方程解得 ， ∴ 【点睛】本题主要考查了图形的运动，平移旋转翻折，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，一次函数解析式的求解，两点间距离公式，勾股定理，两条直线的交点坐标，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 48．（2026·安徽阜阳·三模）正方形和正方形的位置如图所示，点E在上，交于点M，延长交于点P，于点N，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的值． 【答案】(1)∵四边形，均为正方形， ，，，， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴， ∴； (2) (3)2 【分析】（1）由四边形，均为正方形可得，，再证明即可得出结论； （2）根据证明，得，．证出，可得； （3）由可证明，，设，，则，得，．再求出，求出，从而得． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ 又 ∴， ∴， ∴ 又， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ， ， ，． ， ， ， ； （3）解：由（2）可知，． ， ， ． ， ． 设，，则， ， ， ． ，， ， ． ． ◆题型4 相似三角形的动点问题综合 49．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 50．（2026·湖南岳阳·三模）如图，已知在中，，，，如果点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为（单位：）（）．解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)设的面积为（单位：），求关于的函数关系式； (3)在点P，Q的运动过程中，在同一平面内是否存在点D，使得以点A，P，Q，D为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，； (2)关于的函数关系式为； (3)的值为或或． 【分析】（）由，，，根据勾股定理求得，当时，则，此时，由，且，得，求得； （）作于点，可证明，得，求得，即可由，求得关于的函数关系式为； （）分三种情况讨论，一是四边形是菱形，且以为对角线，作于点，则，可证明，得，求得，则；二是四边形是菱形，且以为对角线，则，所以；三是四边形是菱形，且以为对角线，作于点，则，可证明，得，求得，则，解方程求出相应的值即可. 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴当时，； （2）解：如图，作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于的函数关系式为； （3）解：存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形， 如图，四边形是菱形，且以为对角线，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，四边形是菱形，且以为对角线，则， ∴， 解得； 如图，四边形是菱形，且以为对角线，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，的值为或或． 51．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知、两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴），并且分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于160（平方单位）．若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)秒或秒 【分析】（1）根据题意得到，求出，根据轴，是中点，得到是的中位线，求出，即可得到答案； （2）根据题意得到，，求出，联立得到面积，没有实数根，即可得到答案． （3）分和两种情况，利用相似三角形对应线段成比例进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， 时，，， ∴， 轴， ∴， ∴， 是的中位线， ， ； （2）解：动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， ， 轴， ， ， ， ， 整理得， ， 故方程没有实数根， 故不存在使得的面积等于160（平方单位）； （3）解：动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， ， 当时，，即， 解得秒； 当时，，即， 解得秒； 综上所述，当秒或秒时，与相似． ◆题型5 相似模型 52．（2025·上海奉贤·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形，分别以、为腰作等腰三角形和等腰三角形，且顶角，连接、相交于点G，与相交于点H． (1)求证：； (2)当线段满足时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明： ∵， ∴， 即． ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． (2)证明： ∵线段满足， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由和公共角，可得；由和都是等腰三角形可得两三角形两腰分别相等，再由 与边、角、边对应相等可得，最后由全等三角形对应边相等从而得出结论． （2）先由推出（相似三角形的判定：两边成比例且夹角相等），再结合第（1）问的全等结论，推导，从而证明平行四边形是菱形（菱形定义：邻边相等的平行四边形是菱形）． 【详解】（1）略 （2）略 53．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形中，点M在边上，将沿翻折至处，延长交边于点N，连接．对角线分别交，于E，F两点． (1)________． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)45 (2)证明：∵四边形是正方形， ∴， 由（1）得：， ∴在和中，，， ∴， 由翻折知， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）由翻折的性质可得：，，，证明，即可求出； （2）利用（1）的结论可得出，再加上公共角，即可证明； （3）将绕点旋转至，使与重合，连接，证明，可得，由，可得，进而得出，再利用，，可求出，，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 由翻折的性质可得：，，， ∴，， ∵在与中， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）略 （3）解：如图，将绕点旋转至，使与重合，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， 由（1）得，， ∴， ∴，即， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ，， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 54．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，，连接，交于点F，交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． (2) (3)证明：如图，在线段上取点P，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明，进而利用相似三角形的性质解答即可； （3）在线段上取点P，使得，证明，得出，证得为等腰直角三角形，可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴，即． 由（1）知， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴． （3）略 ◆题型6 重心的综合应用 55．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，已知在矩形中，点在边上，在的延长线上取点，连接、，的重心在线段上，连接，若四边形是菱形，那么的值为________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，由三角形重心的性质可得为的中线，，则，由矩形的性质可得，即，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵四边形为菱形， ∴， ∵的重心在线段上， ∴为的中线，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 56．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，为的重心，点在延长线上，且，连接并延长交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，过点作交延长线于点，根据重心的性质可得，，再根据得到，推出，通过证明得到，推出，再证明得到，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作交延长线于点， ∵G为的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 57．（25-26八年级下·上海宝山·期中）如图，在中，点为重心，延长交于点，若平分，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据重心的定义得出是的中线，过点作，，结合平分，利用全等证得，用等腰三角形“三线合一”的性质判定，利用勾股定理求出的长，最后根据重心的性质求出的长． 【详解】解：点为的重心，延长交于点， 是的中线， 为的中点， ， 过点作，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 点为的重心， ． ◆题型7 相似三角形的实际应用压轴 58．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 59．（2026·河南平顶山·三模）悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔． 某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点A处放一平面镜，沿方向前进到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M，再沿方向前进，将另一平面镜放在D处，此时在距离该平面镜的E处恰好再次看到塔的顶部M． 已知观察者眼睛到地面的距离，点E，D，B，A，N在同一条直线上，求悟颖塔的高度（结果保留整数） 【答案】 【分析】根据，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴，， ∴，， 即，， ∴ 解得：， 即悟颖塔的高度为． 60．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; ◆题型8 相似三角形的新定义问题 61．（2026·山东青岛·一模）【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”． 【理解新定义】 (1)如图1，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，且，．请写出图中的一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：____． 【应用新定义】 (2)如图2，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点M，过点E作的垂线，垂足为N，与互为“镜移三角形”，若的面积为2，则的面积为____． 【拓展新定义】 (3)如图3，在矩形中，，，E是的中点，F是的中点，那么与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为____；若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为____． 【答案】(1)与（答案不唯一） (2) (3)， 【分析】（1）根据“镜移三角形”的定义判断即可； （2）根据“镜移三角形”的定义和相似三角形的性质可得的面积； （3）两个三角形可以通过平移重合，首先两个三角形要是全等三角形，其次要两个三角形对应边平行且方向相同或者在一条直线上，或者是两个三角形对应点的连线平行且相等，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作与关于成轴对称，连接，连接交于点， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ， ∵，， ，， ， ∴点为中点，点为中点， ∵，点D是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：，， ∴，且对应点的连线互相平行且相等，即，， ∴将沿着方向平移的长度即可与重合， ∴与是一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”． （2）解：∵与互为“镜移三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接， ∵F是的中点，，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴与关于对称， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，、在同一条直线上， ∴与全等，且对应边平行且方向一致， ∴沿着方向平移4即可与重合， ∴与是以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”， ∵四边形是正方形， ∴， ∴与的其他“镜移轴”都与平行，即与的“镜移轴”与直线所夹的锐角为， 取的中点，作交于， ∴即为与过的中点的“镜移轴” 过作交于点，过作交延长线于， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴点为中点， ∵， ∴， ∴关于对称， 同理：关于对称， ∴作与关于对称，点、点在直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴与全等，且对应边平行方向相同或者在同一条直线上， ∴沿着方向平移的长度即可与重合， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． 综上：与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为，若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为． 62．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 【答案】(1)是； (2)； (3)或 【分析】（1）先确认、是矩形一组邻边、的中点，再确认连接的顶点不在这组邻边上，最后验证直角恰好位于中点处，完全符合定义，即可得出结论； （2）先由和矩形的直角，通过“同角的余角相等”证明，得到；再结合、是中点的性质，将各边用、表示后代入相似比，化简后即可求出的值； （3）先根据“半直三角形”的定义，分两种情况构造平行四边形；再通过作垂线构造相似三角形，利用的比例关系得到线段比；结合“中点”和“平行四边形对边相等”的性质建立方程，求出各线段长度后用勾股定理计算邻边、，最终得到的值． 【详解】（1）解：是； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：或．             ①如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 综上，的值为或． 63．（2026·河南洛阳·一模）在学习特殊四边形的过程中．同学们积累了一定的研究经验． 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究． 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：在四边形中，边上存在一点O，使得且，则四边形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质． 【初步探索】 (1)如图1，矩形是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则和的数量关系是__________． 【类比探究】 (2)如图2，四边形是可等垂四边形，且，，点P是它的等垂点． ①四边形的边，和之间的数量关系是___________； ②在图2中取边的中点Q，并连接，，则点Q是四边形的等垂点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离． 【答案】(1) (2)①； ②点Q是四边形的等垂点； 证明：延长，相交于点E， ， ，， 点Q是的中点， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 点Q是四边形的等垂点； (3)或 【分析】（1）由可等垂四边形的定义可证明，即可进一步得到，从而可证明，同理可得，即可得出结论； （2）①先证明，可得，，即可得出结论； ②延长，相交于点E，先证明，得到，，可进一步证明，再根据等腰三角形的三线合一性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论； （3）当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解； 当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： 矩形是可等垂四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①； 理由如下： 四边形是可等垂四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②略 （3）解：或．理由如下： 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E， 设， 四边形是可等垂四边形， 且， 由（2）可知，， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，， 在中，； 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F， 设， ， ， ， ， ，， 由（2）可知，， ，， ， 解得， ， 在中，； 【点睛】在第（2）小问中，利用中点倍长添加辅助线，构造全等三角形是常用的解题方法；第三小问中，作出符合条件的图形，是解这类图形变换问题的关键，同时还要注意分类解答． 1．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：在图1中，三角形内角和为， ∴左三角形的第三个角：， ∴三个角为； 右三角形的第三个角：， ∴三个角为； 两个三角形只有一个角相等，三个角不对应相等， ∴图1的两个三角形不相似； 图2中和，和是对顶角， ∴； 夹对应角的边满足：，， 即， ∴图2的两个三角形相似． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 3．（2026·河北邢台·二模）作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 【答案】C 【详解】解：位似图形的对应边成比例，对应点的连线经过位似中心，对应线段互相平行，小明和小亮的图都符合位似的要求，但位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在两侧，因此只有小明和小亮合到一起才正确． 4．（2026·河北邯郸·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中对该书进行了深入研究，并给出了“勾股容方”问题的一个经典例子：“勾六步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：在中，，步，步．四边形为正方形，点D在上，点E在上，点F在上（如图）．则正方形的边长为（   ） A．2步 B．3步 C．4步 D．5步 【答案】C 【分析】设正方形的边长为步，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为步， ∵四边形是正方形，步，步， ∴，，， ∴， ∴​， 即， 解得：， 因此正方形的边长为步． 5．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，，为中点，过作于，连接交于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理得，由平行线等分线段定理得，即得为的中位线，得到，即得到，又由得，进而由解答即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，即点是的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·河北廊坊·二模）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接．若，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点、、分别作于，于，于，可得，，由及三角形两锐角互余的性质得出，即可证明，得出，设，则，，利用勾股定理求出，即可得出，，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点、、分别作于，于，于， ∵， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 7．（2026·河北唐山·二模）如图，的对角线、相交于点，，且，则________． 【答案】6 【分析】先由平行四边形的性质得到，再证明即可求解． 【详解】解：∵的对角线、相交于点 ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 8．（2026·甘肃陇南·一模）如图，在平行四边形中，点在边上，与交于点，若，则的长度为_____． 【答案】8 【分析】由已知条件结合平行四边形的性质可得，易证，利用相似三角形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 10．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，，是的高，与相交于点，若，且， （1）的面积为___________； （2）若，则___________． 【答案】 /0.6 【分析】（1）先证明，得出，进而求出，再用三角形面积公式计算的面积． （2）先求出的长度，再用得出的长度． 【详解】解：（1） ，是的高， ． ，． ． 在和中， ． ． ，， ． ． ． 故答案为：． （2） 由（1）知， ． ，， ． ． ，，， ． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 11．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，D是等边边上的一点，且，现将折叠，使点C与D重合，折痕为，点E、F分别在和上，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用、等边三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，由折叠得出，求出的周长为，的周长为，得出与的相似比即可解答． 【详解】解：∵ 设，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴相似比 由折叠的性质可得：， ∴， ∴与的相似比， ∴． 即， 故答案为： 12．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在▱ABCD中，，，点E为边上一点，，点F是边上的动点，将沿直线折叠得到，若点G恰好落在线段上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折背景下勾股定理和相似三角形性质和判定的运用，及平行四边形的性质，解直角三角形，根据题意画出图形是突破该题的关键． 作于M，作交延长线于N，用勾股定理求出的长，进而可求，证明，得，进而可用勾股定理求，分别延长，交于点，由翻折可知，，，进而可得，根据，得，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于M，作交延长线于N， 、都是直角三角形， 中， ， ， ， ，， 即， ，， ， ， 又， ， 中，，，， ， ， ，， ， 分别延长，交于点， 由翻折可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（2026年河北省秦皇岛市山海关区自主招生数学试题）如图，四边形的对角线交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）结合已知条件，利用 “边角边”定理证明； （2）先证明，再利用（1）的全等结论结合相似三角形对应边成比例列方程求解的长度． 【详解】（1）证明： 又 （2） ，即 整理得，解得 ． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 14．（2026·河北邢台·二模）如图，在菱形中，点、分别是边、上的点，，连接和，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）设，再证，利用相似比求解边长即可． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 设，则， 又， ， ，即， 整理得：， 解得或（舍去）， ． 15．（2026·河北邯郸·三模）如图，已知正方形的边长为，，分别是，延长线上的点，连接，，于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数； (3)若，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点 ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2)的度数为； (3)的面积为． 【分析】（1）由正方形的性质，可得，，结合同角的余角相等，可得，证明，可得，即可证得结论； （2）由正方形的性质，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得的度数； （3）由已知可得，由勾股定理可得，证明，可得，即可得的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为． 16．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． (1)求证：； (2)如果． ①若，求的长； ②若四边形的面积为24，求的面积． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ； (2)①5；②1 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质可得，，可得，，再证明，最后可得出； （2）①先证明，可得，从而可得，求出，再证明，可得，再求解即可； ②设与之间的距离为，由四边形的面积为24，可得，再求出 ，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②设与之间的距离为， 四边形的面积为24， ， ， ， ． 17．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践 【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点在同一直线上． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点在一条直线上，点在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是___________（填序号）； ①只有甲同学的方案可行； ②只有乙同学的方案可行； ③两个同学的方案都可行； (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】(1)③ (2)旗杆的高度为12米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用： （1）（2）若选择甲同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据即可求解；若选择乙同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据即可求解． 【详解】（1）解：若选择甲同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据即可求解；若选择乙同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据也可求解； 故两个同学的方案都可行， 故答案为：③； （2）解：若选择甲同学的方案：如图，过点作，垂足为，交于点． 由题意得，（米）， （米）， （米）， （米）， ， ， ，即， 米， （米）， 旗杆的高度为12米． 若选择乙同学的方案：如图，过点作，垂足为，交于点，则， ， 由题意得，厘米米， 厘米米，米， ， ， ，即 （米）， 旗杆的高度为12米． 18．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的说法的对错，小星_______，小红_______，小亮_______．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)在（）的条件下，，若，，直接写出的长． 【答案】(1)对，对，错 (2) 证明：选小星说法， ∵，， ∴； 选小红说法， ∵，， ∴； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （）根据相似三角形的判定方法即可求证； （）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星说法对；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的说法对；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的说法错； 故答案为：对，对，错； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·河北廊坊·二模）综合探究与应用 模型建立 (1)如图1，正方形中，点，，，分别在正方形的四条边上，若，则线段，的数量关系是________； (2)如图2，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则折痕的长为________； 初步探究 (3)如图3，矩形纸片中，．若，则线段和的数量关系为_____________； 迁移应用 (4)如图4，已知点，，的位置如图4所示，求作一点，使得点，，，一定分别在一个长宽比为的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (5)如图5，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，求当与满足什么关系时，成立． 【答案】(1) (2) (3) (4)如图所示，点即为所求； (5)当时，成立 【分析】（1）过点作交于点，过点作交于点，设，交于点，首先求出，然后得到四边形和四边形是平行四边形，得到，，证明，得到，等量代换即可得证； （2）连接，由折叠得，，然后根据勾股定理求解即可； （3）过点作于，过点作于，设，交于，则四边形和四边形都是矩形，可得，，导角证明，则可证明，利用相似三角形的性质即可得解； （4）作线段的垂直平分线，交于，过点作垂直且使得，则点即为所求； （5）当时，可证明得到，再证明，得到，由此可得，等量代换即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交于点，过点作交于点，设，交于点， ，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，，，， 四边形和四边形是平行四边形，， ，，， ，，， ， ， ； （2）解：如图所示，连接， 点是的中点，， ， 由折叠得，， 由（1）可知，； （3）解：如图所示，过点作于，过点作于，设，交于， 四边形是矩形， ， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ∴， ； （4）解：图见答案图， 作线段的垂直平分线，交于，过点作垂直且使得，则点即为所求； 此时，且，分别过，作的平行线，再过点，作的平行线，则，，，必在这个新作的长宽比为的矩形的边上； ，，，， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，， 四边形和四边形是矩形， ， ，点，，，分别在矩形的四条边上； （5）解：当时，成立，理由如下： ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $