26.4 实际问题与二次函数2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“实际问题与二次函数”为核心，通过“复习旧知-学习新知-过关检测”三级分层设计，实现从概念理解到综合应用的梯度进阶，强化模型意识与运算能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |复习旧知|二次函数最值概念|1道填空题直接考查最值条件与结论，夯实抽象能力| |学习新知|面积/利润最值、抛物线形问题|分知识点设置基础解答题（如矩形面积、销售利润），培养模型意识| |过关检测|综合应用与拓展|基础训练（动点面积）巩固运算能力，能力训练（含一次函数综合）提升推理意识，拓展训练（飞机滑行、宾馆定价）关联跨学科情境|

26.4 实际问题与二次函数 课时1 最值问题 复习旧知 1.二次函数，当________时，取得最________值为________. 学习新知 知识点1 求面积最大值 2.学校规划了一块如图所示的矩形用地，用长为的篱笆，一面靠墙(墙的最大可用长度为)围成中间隔有一道篱笆的中草药种植地.设中草药种植地边的长为，面积为. (1) 直接写出与的函数关系式：________，并写出的取值范围：________. (2) 当边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？ 3.有一根长为的铁丝，把它弯成一个如图所示的矩形，其中，矩形面积为. (1) 求与之间的函数关系式，并求自变量的取值范围. (2) 当为何值时，矩形的面积最大?最大面积为多少? 知识点2 求销售的最大利润 4.某专卖店销售的一款童装每件进价为80元，销售价为120元，每天可售出20件.如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元.当每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 5.一种新上市的文具进价为20元，试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大. 过关检测 一、基础训练 6.如图，在中，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动.已知两点分别从两点同时出发，且同时停止运动.设运动时间为. (1) ________cm________cm.(用含的式子表示) (2) 设的面积为，当为何值时，的面积最大？求该最大值. 二、能力训练 7.某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量(单位：件)与销售单价(单位：元)之间满足一次函数关系，其部分图象如图所示. (1) 求这段时间内与之间的函数解析式. (2) 在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 三、拓展训练 8.飞机着陆后滑行的距离(单位：)与滑行的时间(单位：)的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（ ） A. 9.某宾馆有50个房间供游客住宿.若每个房间每天的定价为180元，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.另外宾馆需对每个居住房间每天支出20元费用.房价定为________元时，宾馆利润最大. 课时2 抛物线形问题 学习新知 知识点1 求抛物线的最大高度及铅球成绩 1.如图，一个高尔夫球在地面点被击出，球的飞行路线是抛物线，其中是飞行高度，是球飞出的水平距离. (1) 求球飞行过程中的最大高度； (2) 求球飞行过程中的最大水平距离. 2.如图，铅球在点被推出，铅球飞行轨迹是抛物线3，其中是飞行高度，是铅球飞出的水平距离. (1) 求铅球飞行过程中的最大高度； (2) 求此次推铅球的成绩. 知识点2 足球、喷泉问题 3.如图，某足球运动员在球门正前方9米处将球射向空门，当球飞行的水平距离为6米时，球到达最高点，此时球距地面3米. (1) 求球飞行轨迹的抛物线的解析式. (2) 若球门高2.5米，问能否射中球门？ 4.要建造一个圆形的喷水池，在水池中央安装一个柱子处装上喷头，由处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下.如图，已知米，喷出的水流的最高点距水平面的高度是4米，离柱子的距离为1米. (1) 求这条抛物线的函数关系式. (2) 水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落在池外？ 知识点3 抛物线形拱桥、隧道问题 5.一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面时，水面宽.突降暴雨后水面上升，此时水面宽为多少？ 6.某隧道横截面为抛物线，建立平面直角坐标系如图所示，其最大高度为6米，0M为12米. (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 若在隧道处装两个路灯，且路灯的高度为4米，求之间的距离. 总结： (1) 找抛物线上的点的坐标，用待定系数法求解析式； (2) 常考： ①与轴、轴的交点坐标； ②求顶点坐标； ③已知求，已知求. 过关检测 7.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为、宽为，隧道最高点位于的中央且距离地面，建立如图所示的平面直角坐标系. (1) 求抛物线的表达式. (2) 一辆货车高4m、宽2m，能否从该隧道内通过，为什么? 8.某篮球运动员在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图所示)，若命中篮圈中心，求该运动员与篮底的距离. 答案 课时1 1. 10 大 200 2.解：(1) (2) . ，对称轴为直线， 当时，随着的增大而减小.， 当时，有最大值，最大值为45.答：当边的长为时，中草药种植地面积最大，最大面积是. 3.解：(1) ， .. . . (2) . ， 当时，有最大值，为25. 答：当时，矩形的面积最大，最大面积为. 4.解：设平均每天的利润为元. 依题意，得 ， ， 当时，. 答：当每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元. 5.解：设销售单价上涨元，销售利润为元，则 . ， 当时，最大， 此时销售单价为(元). 答：销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大. 6.解：(1) (2) . 当时，的面积最大，最大面积是. 7.解：(1) 设. 将分别代入 得解得 、与之间的函数解析式为 . (2) 依题意，得 . 设商场获得的利润为元， 则.又， 当时，利润最大，最大值为7920. 答：当销售单价为116元时，商场获得的利润最大，最大利润是7920元. 8.B 9. 350 课时2 1.解：(1) ， ∴球飞行过程中的最大高度为. (2) 令，得， 解得. 球飞行过程中的最大水平距离为. 2.解：(1) 抛物线的解析式可化为 当时，. ∴铅球飞行过程中的最大高度为. (2) 当时，， 解得(不合题意，舍去). 此次推铅球的成绩为. 3.解：(1) 依题意，得顶点的坐标为(6，3)， 则设. ∵抛物线经过点， .解得. 所求抛物线的解析式为 (2) 当时， 2.25<2.5， ∴能射中球门. 4.解：(1) 由图知，点的坐标为，点的坐标为 设. 将点代入，得 ，解得. 所求函数关系式为. (2) 当时，， 解得(不合题意，舍去)，. 水池的半径至少为3米. 5.解：如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系. 设这条抛物线表示的二次函数为 由抛物线经过点，可得 ，解得. 这条抛物线对应的二次函数为 当水面上升时，水面的纵坐标为－3. 将代入，得 解得. 此时水面宽度为 6.解：(1) 由图可知，点的坐标为，点的坐标为. 设抛物线的解析式为 将点代入，得 ， 解得. 这条抛物线的解析式为 ，即. (2) 当时，. 解得. (米)， 即之间的距离为米. 7.解：(1) 依题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为 又点在抛物线上， ，解得. 抛物线的表达式为 (2) 货车能从该隧道内通过.理由如下： 令，则有， 解得. ， ’.货车能从该隧道内通过. 8.解：当时， ， 解得(不合题意，舍去). . 答；该运动员与篮底的距离为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $