4.5 相似三角形的性质及其应用4.6 相似多边形(课件)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质（对应线段、周长、面积比）、重心及相似多边形知识，从相似三角形基本性质切入，逐步深入对应线段比、周长面积比，引入重心概念，再扩展至相似多边形，构建递进式知识支架。 其亮点是通过典例（如镜子反射测铁塔高度）和推理证明，发展几何直观与应用意识，结构化课堂小结系统梳理性质。学生能提升问题解决能力，教师可借助清晰逻辑与实例提高教学效率。

第4章 相似三角形 4.5 相似三角形的性质及其应用 九上数学 ZJ 1 1.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比， 面积比等于相似比的平方。能运用相似三角形的性质定理解决有关 线段长、周长、面积问题，发展几何直观。 2.了解三角形的重心的概念。 3.能运用相似三角形的性质解决简单的实际问题，发展应用意识。 学习目标 2 1.基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2.对应线段的性质：相似三角形对应线段的比等于相似比。 #2.4 对应高线、中线、角平分线 3 已知,且相似比为 ，证明如下表：#2.4.1 图形 证明过程 结论 对 应 高 线 的 比 __________________________ , 分别为 和 对应 边上的高线。 因为 ,所以 。又 , ,所以 ,所 以 ,所以 。 对应高线的比 等于相似比。 （对应高线是 指相似三角形 中对应边上的 高线）______________ 4 图形 证明过程 结论 对应 中线 的比 _________________________ , 分别 为 和 对应 边上的中线。 因为 ,所以 , 。又,分别是边, 上的中线, 所以 , ,所以 ,所以 , 所以 。 对应中线的比 等于相似比。 （对应中线是 指相似三角形 中对应边上的 中线） ____________ 5 图形 证明过程 结论 对应 角平 分线 的比 __________________________ , 分别 为 和 对应 角的平分线。 因为 ,所以 , 。 又因为,分别平分 , , 所以 , 所以 , 所以 。 对应角平分线 的比等于相似 比。______________ （对应角平分 线是指相似三 角形中对应角 的平分线） 6 典例1 已知，且相似比为，若中 的 平分线，则中的平分线 的长度为( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 解析：因为，相似比为,所以 。 因为,所以,所以 。 7 1.概念：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。 如图，,,是边,, 上的中 线，则,,的交点为 的重心。 2.性质：三角形的重心分每一条中线成 的两条线段。 几何语言：如图，因为点是 的重心， 所以 。 重心到中点的线段与 重心到相应顶点的线 段长度之比为 8 典例2 如图， 是的一条中线，是 的重心， 过点作，分别交，于点， 。 若，则 的长为( ) A A.2 B.3 C.3.5 D.4 解析：因为是的重心，所以 ，即 。因为，所以 ， 所以 。 因为是的一条中线， ， 所以，所以 。 9 性质：相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之 比等于相似比的平方。 已知,且相似比为 ,推理过程如下表：#2.7.1 图形 推理 结论 周长 之比 。 周长之比等 于相似比。 面积 之比 。 面积之比等于相似比的平方。 10 典例3 已知，且与 的周 长比为，则与 的面积比为__。 解析：因为，且周长比为 ， 所以与的相似比为 ， 所以与的面积比为 。 11 1.利用镜子的反射测量高度 #2.8 测量 原理 如图所示,因为, , 所以,所以,即 。 测量 数据 观测者的眼睛与地面的距离𝐴𝐵 ,观测者与镜子上的标记之间 的距离𝐵𝐸,镜子上的标记与旗杆底部之间的距离𝐸𝐷 。 12 利用镜子的反射测量高度时，应提前在镜子上做标记， 并且使旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，被测物体与观 测者之间不能有障碍物，且镜子必须水平放置。#2.8.2 13 2.利用阳光下的影子测量高度#2.9 测量 原理 如图所示,因为,所以 。又因为 ,所以, 所以 ,即 。 测量 数据 人的身高𝐴𝐵,人的影长𝐵𝐸,旗杆的影长𝐵𝐷 。 14 3.利用标杆测量高度#2.10 测量 原理 如图所示,因为,所以 。 测量 原理 因为∠3=∠3,所以△𝐴𝐸𝑀∽△𝐴𝐶𝑁， 所以 。易知𝐴𝑀=𝐵𝐹,𝐴𝑁=𝐵𝐷,𝐸��=𝐸𝐹−𝑀𝐹=𝐸𝐹−��B。 因为𝐵𝐹,𝐵𝐷,𝐸𝐹,𝐴𝐵可测,所以可求得𝐶𝑁 的长度, 所以𝐶𝐷=𝐶𝑁+𝑁𝐷=𝐶𝑁+𝐴𝐵 。 测量 数据 观测者的眼睛与地面的距离𝐴𝐵,标杆的高度𝐸𝐹 ,观测者与标 杆之间的距离𝐵𝐹,观测者与旗杆之间的距离𝐵𝐷 。 15 典例4 如图,小华在水平地面上放置了一小块平面镜来测量铁塔 的高度,已知当镜子与铁塔底部的距离 、镜子与小华的距 离 时,小华刚好从镜子中看到铁塔的顶 端。若小华的眼睛距离地面的高度 , 试估计铁塔 的高度。 解：由题意,得 。易知 , 所以 ,所以,即 , 解得 。故铁塔的高度是 。 16 课堂小结 17 第4章 相似三角形 4.6 相似多边形 九上数学 ZJ 18 1.了解相似多边形的概念和性质，会用相似多边形的性质解决简单 的几何问题，发展几何直观。 2.能根据相似多边形的定义判定两个多边形相似，会求两个相似多 边形的相似比。 学习目标 19 1.相似多边形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形 叫作相似多边形。&3& 2.相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比。#3.4 两个条件缺一不可 新知探究 知识点1 相似多边形的概念 20 3.图形的相似：一般地，由一个图形改变为另一个图形，在改变的 过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫作图形 的相似。#3.6 新知探究 知识点1 相似多边形的概念 21 典例1 下列说法正确的是( ) B A.两个等腰三角形相似 B.两个正五边形相似 C.两个矩形相似 D.两个菱形相似 解析： 选项 各角是否对应相等 各边是否对应成比例 判断 A 不一定 不一定 B 是（正五边形的五个角都是 是 √ C 是（矩形的四个角都是 不一定 D 不一定 是 新知探究 知识点1 相似多边形的概念 22 性质1：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 性质2：相似多边形的周长之比等于相似比。 性质3：相似多边形的面积之比等于相似比的平方。 新知探究 知识点2 相似多边形的性质 23 典例2 如图是两个相似的四边形，根据已知数据，求，， 的值。 解：因为四边形与四边形 相似， 所以 ，且， 即 ， 解得， 。 在四边形 中， 。 新知探究 知识点2 相似多边形的性质 24 课堂小结 25 $