26.3 二次函数与一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，从一次函数与一元一次方程的“数”（函数值为0时自变量值）与“形”（图象与x轴交点横坐标）关系切入，通过思考三个二次函数与x轴交点问题搭建学习支架，引导学生从旧知过渡到新知。 其亮点在于运用几何直观（函数图象与x轴交点）和推理意识（从具体实例归纳一般关系），结合小球飞行高度等实际问题渗透模型意识，通过动图演示和近似根探究培养创新意识。采用问题驱动和数形结合教学法，步骤化总结方法，助力学生理解数形结合，提升推理与应用能力，也为教师提供清晰教学流程。

二次函数与一元二次方程 人教版九年级上册数学 　　1．关于 x 的一元一次方程 kx＋b＝0 的解为 x＝1，则当 x＝___时，一次函数 y＝kx＋b 的函数值为 0． 1 　　2．一次函数 y＝kx＋b 的图象如图，则关于 x 的一元一次方程 kx＋b＝0 的解为_____________． x＝2 O y 1 3 2 x y＝kx＋b 1 2 　　3．一次函数与一元一次方程之间的关系． 一次函数与 一元一次方程 　　数：在一次函数 y＝kx＋b(k≠0)中，当 y＝0 时，对应的自变量 x 的值 一元一次方程 kx＋b＝0 的解 　　形：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与 x 轴的交点的横坐标 一元一次方程 kx＋b＝0 的解 思考 　　下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 　　（1）y＝x²＋x－2；（2）y＝x²－8x＋16；（3）y＝x²－x＋1． 　　在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）． 抛物线 y＝x2＋x－2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1． 当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0．由此可知，方程 x2＋x－2＝0 有两个不相等的实数根－2，1． y 2 4 6 －2 x O 2 4 －4 －2 y＝x2－8x＋16 6 y＝x2＋x－2 y＝x2－x＋1 y 2 4 6 －2 x O 2 4 －4 －2 y＝x2－8x＋16 6 y＝x2＋x－2 y＝x2－x＋1 　　在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）． 　　抛物线 y＝x2－8x＋16 与 x 轴只有一个公共点，这个点的横坐标是 4． 　　当 x＝4 时，函数值是 0．由此可知，方程 x2－8x＋16＝0 有两个相等的实数根 4． y 2 4 6 －2 x O 2 4 －4 －2 y＝x2－8x＋16 6 y＝x2＋x－2 y＝x2－x＋1 　　在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）． 　　抛物线 y＝x2－x＋1 与 x 轴没有公共点．由此可知，方程 x2－x＋1＝0 没有实数根． 　　反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置关系． 　　观看动图，思考二次函数图象与 x 轴的公共点与一元二次方程根之间的关系． 　　观看动图，思考二次函数图象与 x 轴的公共点与一元二次方程根之间的关系． 归纳 　　一般地，从二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，可得如下结论： 　　（1）如果抛物线 y＝ax2＋bx十c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 x＝x0 时，函数值是 0，因此 x＝x0 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根． 归纳 　　一般地，从二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，可得如下结论： 　　（2）二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．它们分别对应着一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根． 　　例1 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多长时间？ 　　提示：因为小球的飞行高度 h 与飞行时间 t 有函数关系 h＝20t－5t2，所以可以将问题中 h 的值代入函数解析式，得到关于 t 的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中 h 的值． 　　例1 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多长时间？ 　　分析：问题“小球的飞行高度能否达到20 m”即“二次函数 h＝20t－5t2 的函数值能否取 20”， 由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程 20＝20t－5t2 的根的问题． 　　例1 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多长时间？ 　　解：当h＝20时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程 20＝20t－5t2，即 t2－4t＋4＝0，解方程，得 t1＝t2＝2． 这说明，当自变量 t＝2 时，二次函数 h＝20t－5t2 的函数值为 20，即当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m． 　　例1 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多长时间？ 1 3 2 4 O h t 20 　　结合图象分析，为什么只有一个时刻高度等于 20 m？ 　　例1 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多长时间？ 1 3 2 4 O h t 20 　　结合本题探究，说一说二次函数与一元二次方程存在怎样的联系？ 归纳 　　从上面可以看出，已知二次函数的函数值为某一常数，可以转化为解对应的一元二次方程；反之，解一元二次方程，也可以看作已知二次函数取特定函数值，求自变量的取值． 练习 关于例1，回答下列问题： （1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多长时间？ （2）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？如果能，需要多长时间？ （3）小球从飞出到落地，需要多长时间？ 　　（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多长时间？ 　　所以当小球飞行 1 s 和 3 s 时，它的飞行高度为 15 m． 1 3 2 4 O h t 15 　　解：（1）当h＝15时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程 15＝20t－5t2，即 t2－4t＋3＝0，解方程，得 t1＝1，t2＝3． 　　（2）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？如果能，需要多长时间？ 　　（2）当h＝20.5时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程 20.5＝20t－5t2，即 t2－4t＋4.1＝0． 　　因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根． 这就是说，小球的飞行高度达不到 20.5 m． 1 3 2 4 O h t 　　（3）小球从飞出到落地，需要多长时间？ 　　（3）小球飞出时和落地时的高度都为 0 m， 当h＝0时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程 0＝20t－5t2，即 t2－4t＝0，解方程，得 t1＝0，t2＝4． 1 3 2 4 O h t 　　（3）小球从飞出到落地，需要多长时间？ 1 3 2 4 O h t 　　所以当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m，这表明小球从飞出到落地要用 4 s．从图来看，0 s 时小球从地面飞出，4 s 时小球落回地面． 　　例　利用函数图象求方程 x2－2x－2＝0 的根的近似值（结果保留小数点后一位）． 　　解：方法 1：画出函数 y＝x2－2x－2 的图象（如图），它与 x 轴的 公共点的横坐标大约是－0.7，2.7． 　　所以方程 x2－2x－2＝0 的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7． 依靠手绘图象观察会存在误差，因此图象法得到的根一般是近似根． y －1 4 2 －1 x O 1 2 －3 －2 3 y＝x2－2x－2 5 1 　　例　利用函数图象求方程 x2－2x－2＝0 的根的近似值（结果保留小数点后一位）． y －1 4 2 －1 x O 1 2 －3 －2 3 y＝x2－2x－2 5 1 如果我们想要得到精度更高的近似根，有没有更好的办法？ 　　方法 2：我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根． 　　观察图象，可以发现： 点（2，－2）在 x 轴的下方，即当自变量 x＝2 时，y＜0； 点（3，1）在 x 轴的上方，即当自变量 x＝3 时，y＞0． y －1 4 2 －1 x O 1 2 －3 －2 3 y＝x2－2x－2 5 1 　　方法 2：我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根． 因为抛物线 y＝x2－2x－2是一条连续不断的曲线，所以抛物线 y＝x2－2x－2 在 2＜x＜3 这一段经过 x 轴． 也就是说，当自变量取 2，3 之间的某个值时，函数值为 0，即方程 x2－2x－2＝0 在 2，3 之间有根． y －1 4 2 －1 x O 1 2 －3 －2 3 y＝x2－2x－2 5 1 取 2.5，3 的平均数 2.75，当自变量 x＝2.75 时，y＞0，即方程 x2－2x－2＝0 在 2.5，2.75 之间有根． y －1 4 2 －1 x O 1 2 －3 －2 3 y＝x2－2x－2 5 1 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围．例如， 　　取 2，3 的平均数 2.5，当自变量 x＝2.5 时，y＜0，即方程 x2－2x－2＝0 在 2.5，3 之间有根． 　　取 2.5，2.75 的平均数 2.625，当自变量 x＝2.625 时，y＜0，即方程 x2－2x－2＝0 在 2.625，2.75 之间有根． y －1 4 2 －1 x O 1 2 －3 －2 3 y＝x2－2x－2 5 1 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围．例如， 　　重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在 2.687 5，2.75 之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值． 　　例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1 时，由于|2.687 5－2.75|＝0.062 5＜0.1，我们可以将 2.687 5 作为根的近似值． y －1 4 2 －1 x O 1 2 －3 －2 3 y＝x2－2x－2 5 1 　　你能用这种方法得出方程 x2－2x－2＝0 的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1）？ 　　当自变量 x＝－1 时，y＞0，当自变量 x＝0 时，y＜0，即方程 x2－2x－2＝0 在－1，0 之间有根． y －1 4 2 －1 x O 1 2 －3 －2 3 y＝x2－2x－2 5 1 　　取－1，0 的平均数－0.5，当 自变量 x＝－0.5 时，y＜0，即方程 x2－2x－2＝0在－0.5，－1之间有根． 　　重复上述取平均数的步骤不断缩小根所在的范围． 因为|－0.75－(－0.687 5)|＝0.062 5＜0.1，所以可取 －0.687 5 作为另一个根满足精度要求的近似值． y －1 4 2 －1 x O 1 2 －3 －2 3 y＝x2－2x－2 5 1 　　利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤： 　　（1）构造二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，画出函数图象； 　　（2）观察抛物线与 x 轴的交点，确定交点的横坐标在哪两个整数之间； 　　（3）在区间内选取自变量计算函数值，根据函数值正负交替缩小区间范围； 　　（4）持续缩小区间，按精度要求写出方程根的近似根． 练习 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1）x2－3x＋1＝0； （2）－x2－x＋1＝0． 练习 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1）x2－3x＋1＝0； y －1 4 2 －1 x O 1 2 3 y＝x2－3x＋1 1 　　解：（1）画出函数 y＝x2－3x＋1 的图象（如图），它与 x 轴的公共点的横坐标大约是 0.4，2.6． 　　所以方程 x2－3x＋1＝0 的实数根为x1≈0.4，x2≈2.6． 练习 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： （2）－x2－x＋1＝0． y －1 －2 －1 x O 1 2 －3 －2 3 y＝－x2－x＋1 1 　　（2）画出函数 y＝－x2－x＋1 的图象（如图），它与 x 轴的公共点的横坐标大约是 －1.6，0.6． 　　所以方程 －x2－x＋1＝0 的实数根为x1≈－1.6，x2≈0.6． 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程之间的转化 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 抛物线与 x 轴的位置关系与一元二次方程根的情况 $