26.1二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过矩形面积、比赛场次等实际问题导入，前置复习函数及一次函数知识，后置关联一元二次不等式等内容，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以模型观念和抽象能力为核心，通过圆柱表面积计算、销售量下降率等实例引导学生提炼数量关系，采用活动探究式教学，总结明确二次函数“整式、最高次2、a≠0”的判断方法。学生能体会数学实用性，提升建模能力，教师可借助结构化资源高效开展教学。

第二十六章 二次函数 初中数学人教版九年级上册 通过实例理解二次函数概念，会辨别二次函数，准确找出二次项系数、一次项系数和常数项. 能够从实际问题中提炼数量关系，列出二次函数关系式，牢记a≠0这一限定条件. 经历分析实例、观察式子、归纳概念的过程，提升抽象概括能力，建立数学模型解决实际问题. 感受二次函数来源于生活，体会数学实用价值，激发主动探究数学的学习兴趣. 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系？ 从喷头喷出的水珠，在空中经过的路线是一条曲线.在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？ 函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型. 一元二次方程 一次函数 整式运算、实数计算 一元二次不等式 基础概念 图象与性质 与一元二次方程的联系 运算能力 模型观念 研究二次函数的一般思路与方法： 建模、类比、分类讨论、数形结合 幂函数 实际应用 前置 后置 二次函数 指数函数 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 正比例函数：y=kx(k是常数，k≠0). 一次函数：y=kx+b(k，b是常数，k≠0). 什么是函数？ 目前，我们已经学习了哪几种类型的函数？ 它们之间的关系可以表示为y=x(20-x)，即y=-x2+20x ① 矩形的一边长x和面积y都是变量，且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系？ 面积y x 20-x 活动一：探究二次函数的概念 1 在②式中，对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 活动一：探究二次函数的概念 2 m是n的函数吗？ 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y(单位：t)将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 活动一：探究二次函数的概念 这种产品的原产量是20t，一年后的产量是： . 两年后的产量是 . 20(1+x)2t 整理得： y=20x2+40x+20 ③ 20(1+x)t 在③式中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 3 y是x的函数吗？ 观察函数①②③，它们有什么共同点？ 活动一：探究二次函数的概念 1.解析式右边都是整式 2.自变量x的最高次数都是2 3.二次项系数不为0 一般地，形如y=ax2+bx+c (abc是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数. 二次函数 二次函数解析式必须同时满足这三个条件. 4 活动一：探究二次函数的概念 下列函数中，哪些一定是二次函数？为什么？ x 的最高次数是 3，不是二次函数 y＝(x-1)2-(x+1)(x-2)＝-x+3，不是二次函数 a可能为0 ，不一定是二次函数 有分式，不是二次函数 活动一：探究二次函数的概念 判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为最简形式，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件： 1.函数的关系式是整式； 2.自变量的最高次数是2； 3.二次项系数不等于0. 活动二：探究二次函数的一般形式 二次函数的一般形式： 二次项系数 一次项系数 y = a x2 ＋ b x ＋ c (a≠0) 二次项 一次项 常数项 ①a≠0； ②系数和项均包含前面的符号； ③必须先化为二次函数的一般形式，才能找出各项系数. x是自变量 活动二：探究二次函数的一般形式 为什么二次函数的一般形式 y=ax2 + bx + c 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？ 当a=0时，可写成y=bx+c； 不是二次函数 当 a≠0，b=0时， y=ax²+c； 当 a≠0，c=0时， y=ax²+bx； 三种特殊形式 当 a≠0，b=c=0时， y=ax². 二次函数 a≠0 是必备条件，b，c 可以为任意实数. 5 活动三：探究二次函数的实际应用 (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x. 写出两年后产品的年销售量y (单位： 万件)关于x的函数解析式. (2)一年后产品的年销售量为8(1-x)万件，两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件，所以y=8(1-x)2，即y=8x2-16x+8. 6 活动三：探究二次函数的应用 建立二次函数模型的一般步骤： ①审题：读懂题意，区分已知条件与未知条件，理清变量之间的数量关系； ②找关系：找出两个未知量之间的等量关系式； ③列式：设好变量字母，列出函数解析式，切记标明自变量取值范围. 建立二次函数模型和一元二次方程模型思路相近，区别是要用含一个自变量的代数式去表示因变量. 已知直角三角形两条直角边的长的和为10cm． (1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为xcm，面积为Scm2，求S与x之间的函数关系式． 已知直角三角形两条直角边的长的和为10cm． (1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为xcm，面积为Scm2，求S与x之间的函数关系式． 2.如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为 y m2.写出y关于x的函数解析式. 解：y=(30+x)(20+x) 整理得，y=x2+50x+600 30m xm 20m xm 3.提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示. 解：答案不唯一. 如：正方体的棱长为xcm，表面积为ycm2， 写出y关于x的函数解析式y=6x2 寻找生活中的二次函数 留心观察现实场景，搜集 2 个生活实例，自己设定变量，列出对应的二次函数解析式； 标注自变量取值范围； 简单阐述式子中每一项代表的实际含义. 实例不能照搬课本例题，手写完成； 将解析式化成y=ax2+bx+c的标准形式，归纳结论：二次函数自变量最高次数是 2 且a≠0； 简短写下做完任务后的感悟，体会数学和生活密不可分. 任务 要求 1 2 1 2 3 3 $