29.2.1 垂直于弦的直径同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以垂径定理为核心，通过基础计算-情境应用-综合推理三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的知识巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|垂径定理基本计算|直接应用定理求弦长、半径，如选择1-3、填空7-8，夯实概念理解| |发展层|实际情境应用|结合筒车、圆材埋壁等生活场景，如选择3、填空8、解答13-15，体现模型意识| |提升层|综合推理与复杂应用|融合垂直弦、半径关系及正方形证明，如选择5-6、解答16-18，发展逻辑推理能力|

29.2.1垂直于弦的直径同步练习 一、选择题： 1.已知线段AB,且AB<6,则经过A,B两点且半径为3的圆有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面AB=48cm,则水的最大深度 为() A.8cm B.10cm C.16cm D.20cm 0. 48 3.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书》中用图画描绘了筒车的工 作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心0为圆心的圆，如图2.已知圆心0在水面上方，且⊙0被水 面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 () ·0 水面 图1 图2 A.1米 B.(4-√7)米 C.2米 D.(4+V7)米 4.在⊙O中，点C为弦AB的中点，过点C的直径交⊙0于点D,E,如果AB=8cm,OD=5cm,则CD长为 () A.2cm B.3cm C.2cm或8cm D.3cm或8cm 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°，则C A.V15 B.25 C.2V15 D.8 A B 第1页，共5页 6.如图，⊙O的弦AB垂直于CD,E为垂足，AE=3,BE=7,且AB=CD,则圆心O到CD的距离是() A.2B.2√10C.V5D.√13 E▣ A 0 二、填空题： 7.如图，AB是⊙O的弦，半径0C1AB于点D,且AB=6,DC=1,则0D的长为· B 8.我国古代数学经典著作九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大 小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大 小.用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺(1尺=10寸).问这根圆形木材的直径 是寸 9.点P是半径为5的⊙0内一点，且0P=3,在过P点的所有⊙0的弦中，弦长为整数的弦的条数为· 10.己知⊙0的半径为13，弦AB平行于弦CD,CD=10,AB=24,AB和CD之间的距离是一 11.如图1是苏州园林中的拱门，可抽象为如图2所示的图形.已知AB长度为1m,拱门的最高点C到直线AB 的距离为2.5m,则拱门所在圆的半径为 m C (图1) (图2) 第2页，共5页 12.如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若⊙O经过其顶点A、B、C,则圆心0到AB的距离 为 A B 三、解答题： 13.如图，在⊙O中，直径AB1弦CD于点E,连接AC,AD. 子 (1)求证：AC=AD: (2)若AC=10,CD=12,求BE的长. 14.如图，两个圆都以点0为圆心，大⊙0的弦AB交小⊙0于点C,D. D (1)求证：AC=BD: (2)若大、小圆的半径分别为3V5和5，CD=8,求AB的长. 第3页，共5页 15.如图，⊙O经过A,B,C三点，AB=AC,连接AO. (1)求证：A01BC; (2)若BC=48,⊙0的半径为25，求AB的长. 16.如图，在⊙O中，AB,CD为互相垂直且相等的两条弦，垂足为E,OF1AB于点F,OG1CD于点G. G D B (1)求证：四边形0FEG是正方形： (2)若CE=1,DE=3,求⊙0的半径. 第4页，共5页 17.如图，⊙O的直径AB分别经过它的两条弦CD,EF的中点G,H.求证： H B (1)CD//EF; (2)CE=DP 18.(本小题8分) 如图，这是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O,直径AB是河底截线，弦CD是水位线，CD/AB, AB=20m,OE1CD于点E. D B (1)当测得水面宽CD=10V3m时，求此时水位的高度0； (2)当水位的高度比(1)上升1m时，有一艘宽为10m,船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船舱截面为 矩形MNPQ),请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞. 第5页，共5页 29.2.1 垂直于弦的直径同步练习 一、选择题： 1.已知线段，且，则经过两点且半径为的圆有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面，则水的最大深度为(    ) A. B. C. D. 3.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，半径长为米若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4.在中，点为弦的中点，过点的直径交于点，，如果，，则长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，的弦垂直于，为垂足，，，且，则圆心到的距离是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为        ． 8.我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸问这根圆形木材的直径是          寸． 9.点是半径为的内一点，且，在过点的所有的弦中，弦长为整数的弦的条数为       ． 10.已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是          ． 11.如图是苏州园林中的拱门，可抽象为如图所示的图形．已知长度为，拱门的最高点到直线的距离为，则拱门所在圆的半径为          ． 12.如图，由个边长为的小正方形组成的图形，若经过其顶点、、，则圆心到的距离为          ． 三、解答题： 13.如图，在中，直径弦于点，连接，． 求证：； 若，，求的长． 14.如图，两个圆都以点为圆心，大的弦交小于点，． 求证：； 若大、小圆的半径分别为和，，求的长． 15.如图，经过，，三点，，连接． 求证：； 若，的半径为，求的长． 16.如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，垂足为，于点，于点． 求证：四边形是正方形 若，，求的半径． 17.如图，的直径分别经过它的两条弦，的中点，求证： ． 18.本小题分 如图，这是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底截线，弦是水位线，，，于点． 当测得水面宽时，求此时水位的高度 当水位的高度比上升时，有一艘宽为，船舱顶部高出水面的货船要经过桥洞船舱截面为矩形，请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞． 第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $答案与解析 1.【答案】C 解：作线段AB的垂直平分线，以A为圆心， .AB<6, ∴.该弧与线段AB的垂直平分线有两个交点 ∴.经过A,B两点且半径为3的圆有2个， 故选：C B 2.【答案】C 解：连接OB,过点O作OC⊥AB于点D, D、 B 48c1 ‘.'AB=48cm, BD-分AB=×48=24em, .⊙O的直径为52cm, 3为半径作弧， 交⊙O于点C,如图所示： 第1页，共10页 .∴.OB=OC=26cm, 在Rt△OBD中，OD=V262-242=10cm, ∴.CD=0C-OD=26-10=16(cm), 故选：C. 3.【答案】B 解：连接OC交AB于点D,连接OA, ,◆O D 水面 图2 ,点C为运行轨道的最低点， .∴.OC⊥AB, AD=2AB=3(米) 在Rt△OAD中，OD=VOA2-AD=V42-32=V7米)， ∴·点C到弦AB所在直线的距离CD=OC-OD=(4-√7)米， 故选：B 4.【答案】C 第2页，共10页 【解析】解：如图1，连接OB, E A C D 图1 .点C为弦AB的中点，DE是⊙O的直径，AB=8cm, DE⊥AB.BC=号AB=4cm, 又.'OB=OD=5cm, .0C=V0B2-BC2=v52-4=3(cm), .CD=OD+OC=5+3=8(cm): 同理，如图2，则CD=OD-OC=5-3=2(cm), D A C E 图2 第3页，共10页 综上，CD长为2cm或8cm, 故选：C 5.【答案】C 解：作OH⊥CD于H,连结OC, D B .OH⊥CD ∴.HC=HD' .AP=2’BP=6 .AB=8' ∴.OA=4 .∴OP=OA-AP=2' 在Rt△OPH中， .∠OPH=∠APC=30' :oH=20P=1 在Rt△OHC中， 如图， 第4页，共10页 .OC=4'OH=1' .CH=V0C-0H=V15.∴CD=2CH=2V15故选C 6.【答案】A 【解析】解：AE=3,BE=7,AB=CD, ∴.CD=AB=3+7=10, 过O作ON⊥CD于N,OM⊥AB于M,连接OC,OB,则∠CNO= N....e E口 B .'ON⊥CD,OM⊥AB,ON和OM都过圆心O, ∴.AM=BM=5,CN=DN=5, ON2=OC2-CN2,OM2=0B2-BM2,OC=OB, ∴.ON=OM, ,CD⊥AB,ON⊥CD,OM⊥AB, .∴.∠ONE=∠NEM=OME=90°， .四边形ONEM是正方形， 第5页，共10页 ∠BMO=90°， .'NE=EM=ON=OM=AM-AE=5-3=2, 故选：A. 7.【答案】4 【解析】解；连接OA,如图， .OC⊥AB, AD=BD=号AB=3, 设⊙O的半径为R,则OD=R-1, 在Rt△AOD中，R2=3+R-1, 解得R=5, .∴.0D=5-1=4. 故答案为：4。 连结OA,先根据垂径定理得AD=BD=3,设⊙O的半径为R, R2=3+(R-12,解方程求出R,然后计算R-1即可. 8.【答案】26 【解析】解：由题意可知OE⊥AB, :0E为00半径， :.AD=BD=号AB=R=5寸， 2 设半径OA=OE=r, .ED=1' 第6页，共10页 70 B 在Rt△AOD中利用勾股定理得到 ∴.OD=r-1' 则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1P+52=r2 解得：r=13, :木材直径为26寸： 故答案为：26 9.【答案】4 【解析】解：如图，C CD为过P点的直径，AB是与OP垂直的弦，连OA, 则过点P的所有⊙O的弦中CD最长，AB最短，并且CD=10, .OP⊥AB, ∴.AP=BP 在Rt△OAP中，OP=3,OA=5, .AP=VOA2-0P=V52-32=4, .AB=2AP=8, ∴过点P的弦中弦长可以为整数9，由圆的对称性得到弦长为9的弦有两条， ∴.在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数共有4条. 第7页，共10页 故答案为4 10.【答案】7或17 解：如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OE⊥AB于点E,并延长EO,交CD于F点.分别 连接AO、CO .AB//CD, B D ∴.EF⊥CD, .CD=10,AB=24, ∴AE=AB=12,CF=CD=5, 在Rt△AEO中，由勾股定理得OE=VOA-AE=5 在Rt△CF0中，由勾股定理得OE=OC.CF=12 ∴.EF=OE+OF=5+12=17, ∴.AB和CD之间的距离为17； 如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心O的同侧）时， 同理可得：0F=12,0E=5, ∴.EF=OF-OE=7, ∴.AB和CD之间的距离为7； 综上所述，AB和CD之间的距离为7或17. C D B 故答案为：7或17. 第8页，共10页 11.【答案】1.3 解：如图，连接OA, C ADB 由题意可得：CD⊥AB, :'AD=1AB=im, 设拱门所在圆的半径为m,则OD=2.5-rm, 由勾股定理可得：r=日 +2.5-r2, 解得：r=1.3, ∴.拱门所在圆的半径为1.3m, 故答案为：1.3 12.【答案】6 1§ 解：如图，取AB的中点，过点D作DE⊥AB交AB于点D, 取圆心O,连接OB,OC, A D-- E B 根据题意有：DE1CR,BD方，CE=1+片号DE=3, ,0B=0D+BD2,0C2=0E2+CE2, 第9页，共10页 交CF于点E,则圆心O在DE上，在取DE上 OB=OC, .0D2+BD2=0E2+CE2, ow+-3-o0+ 解得：OD=1 即圆心O到AB的距离为6： 11 故答案为： 13.【答案】【小题1】 证明：，直径AB⊥弦CD于点E,∴.CE=DE.∴AB垂直平分CD.∴.AC=AD, 【小题2】 解，：直径AB⊥弦CD于点E,CE=CD×12=6.∴AE=AC-CE-10-6=8如图， 连接OC.设OA=OC=r,则OE=AE-OA=8-r.在Rt△OCE中，由勾股定理，得OE2+CE=OC, m8-+6-解得7至AB=-20C=2r=2×空空BR=0-AE=空-8=号 2 2 14.【答案】【小题1】 解：过点O作OE⊥AB于点E,∴.AE=BE,CE=DE,∴.AE-CE=BE-DE,∴.AC=BD: 【小题2】 连接0C,OA.1)0E1AB.CE=CD=4,0E=0CCE=3. .AE=V0A2-0E2=6'∴.AB=2AE=121 第10页，共10页 15.【答案】【小题1】 证明：连接OB,OC 可证AAOB≌△AOC SSS, ∴.∠BAO=∠CAO .AB=AC' ∴.AO⊥BC 【小题2】 解：延长AO,交BC于点M, 由(1)知AM⊥BC. :0B=25,BM=CM=2BC=24, .OM=VO B2-BM2=7' ∴.AM=OA+OM=32' .AB=VA M2+BM2=40 16.【答案】【小题1】 解：证明：连接AO,DO..OF⊥AB,OG⊥CD,AB⊥CD. ·∠OFE=∠AED=∠0GE=90,AF=BF=AB,GG=DG=CD.: .AB=CD,∴.AF=DG..AO=DO,∴.Rt△AOF≌Rt△DOG(HL) OFEG是正方形， 【小题2】 第11页，共10页 四边形OFEG是矩形. ∴.OF=OG.∴.四边形 CD=CE+DE=1+3=4.CG-DG-CD-2.EG=CG-GE=2-1=1.0G=EG=1. :在Rt△0DG中，0D=0G2+DG=2+2=5⊙o的半径为5 17.【答案】【小题1】 ,:⊙O的直径AB分别经过它的两条弦CD,EF的中点G,H,∴.AB⊥CD,AB⊥EF.∴.∠AGD= ∠AHF=90°.∴.CD/EF; 【小题2】 :OO的直径AB分别经过它的两条弦CD:EF的中点G,H:.AC=AD'AE=AF AE-AC=AF-AD即CE=DF 18.【答案】【小题1】 'OE L CD,CD=103m,AB=20m, .DE=-CD=5/3m,OB=10m. 易知OD=OB=10m, :.此时水位的高度0E=√0D2-DE2=V102-(53=5(m) 【小题2】 由(1)中水位高度为5m可知此时0E=5+1=6m). 如图，延长OE交MQ于F,连接OM,则OF⊥MQ, .货船宽为l0m,船舱顶部高出水面2m, .OF=6+2=8(m,货船居中行驶时MF=号×10=5(m), .OM=VOF2+MF2=82+52=V89(m) .V89<10, ∴.该货船能顺利通过桥洞. 第12页，共10页 D A 0 B 第13页，共10页