29.2.1 垂直于弦的直径 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 练习围绕“垂直于弦的直径”分基础达标（10题）和能力提升（7题），梯度从概念辨析到综合应用，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|圆的对称性、垂径定理及推论的基础应用|以选择填空为主，如第1题辨析直径与对称轴概念，第3题直接计算弦长| |能力提升|定理综合应用、实际情境问题及证明|含跨情境问题，如第3题纸杯直径测量，第6题结合等边三角形证明，第7题几何直观探究|

29.2圆的有关性质 29.2.1　垂直于弦的直径 圆的对称性 1.下列说法中不正确的是 (　　) A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 B.圆有无数条对称轴 C.圆的每一条直径都是它的对称轴 D.圆的对称中心是它的圆心 垂径定理 2.如图,CD是☉O的直径,AB是弦且不是直径,CD⊥AB.下列结论不一定正确的是 (　　) A.AE=BE B.OE=DE C.AO=CO D.= 3.如图,已知☉O的半径为4,OC⊥弦AB于点C,∠AOB=120°,则弦AB的长为　　　　.  4.如图,在☉O中,AB,AC是互相垂直的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,且AB=8,AC=6,求☉O的半径. 垂径定理的推论 5.如图,☉O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则☉O的半径为 (　　) A.2　　　　B.5　　　　C.8　　　　D.10 6.如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 (　　) A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2 7.如图所示,☉O的直径CD=6 cm,AB是☉O的弦,AM=BM,OM∶OC=2∶3,则AB的长为　　　　cm.  垂径定理及其推论的应用 8.如图所示,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13 cm,其中水面宽度AB=24 cm,则水的最大深度是 (　　) A.8 cm　　　B.10 cm　　　　C.12 cm　　　D.13 cm 9.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=8 m,净高CD=8 m,则此圆的半径OA=　　　　m.  混淆垂径定理中相关的概念致错 10.下列关于圆的说法不正确的是 (　　) A.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B.平分弦的直径平分弦所对的弧 C.垂直平分弦的直线必定经过圆心 D.垂直于弦的直径平分弦所对的弧 1.在半径为25 cm的☉O中,弦AB=40 cm,则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是 (　　) A.10 cm B.15 cm C.15 cm或25 cm D.10 cm或40 cm 2.如图,☉O的半径是6 cm,弦AB=10 cm,弦CD=8 cm,且AB⊥CD于P,则OP的长是 (　　) A. cm B. cm C.7 cm D.4 cm 3.一次综合实践的主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直紧贴在杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相交于C,D,A,B四点,利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5 cm,AB=3 cm,CD=4 cm,则纸杯的直径为 (　　) → A.4 cm　　　　B.5 cm　　　　C.6 cm　　　　D.7 cm 4.如图是某拱桥的截面,桥拱的形状是一段圆弧,点A,B是桥拱与水面的交点.若A,B两点间距离为10 m,桥拱的最高点为点C,点C到水面的距离为4 m,则桥拱所在圆的半径为　　　　m.  5.如图,小区内有个圆形花坛(☉O),点C在弦AB上,AC=11,BC=21,OC=13,则这个花坛的面积为　　　　.(结果保留π)  6.如图,已知☉O的直径AB⊥弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD. (1)求证:E是OB 的中点. (2)若AB=6,求CD的长. 7.(几何直观)如图,☉O的弦AB与CD相交于点E,已知AE=BE,DE=3CE,且AB=8. (1)如图1,若CD过圆心O,求☉O的半径. (2)如图2,若∠DEB=60°,请直接写出☉O的半径. 　　 图1　　　　　图2 【详解答案】 基础达标 1.C　2.B　3.4 4.解:连接AO,如图. ∵OE⊥AC, OD⊥AB, AC=6, AB=8, ∴AE=3,AD=4. ∵OE⊥AC,OD⊥AB,AC⊥AB, ∴四边形ADOE为矩形, ∴OE=AD=4, ∴OA==5, ∴☉O的半径为5. 5.B　6.B　7.2　8.A　9.5　10.B 能力提升 1.D　解析:如图所示,作直径CD⊥AB,交AB于点E,交☉O于点C,D,连接OB, ∴AE=BE=20 cm,C是劣弧AB的中点,D是优弧AB的中点,在Rt△OBE中,∵OB=25 cm,∴OE===15(cm),∴CE=OC-OE=25-15=10(cm),DE=OD+OE=25+15=40(cm),∴弦AB所对的弧的中点到AB的距离是10 cm或40 cm.故选D. 2.B　解析:过点O作OM⊥AB于点M,作ON⊥CD于点N,连接OA,OC,如图. ∵AB=10 cm,CD=8 cm,∴AM=BM=5 cm,CN=DN=4 cm.∵☉O的半径是6 cm,∴OA=OC=6 cm,∴OM==(cm),ON==2(cm).∵AB⊥CD,∴∠CPA=90°.∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴∠OMP=∠ONP=90°,∴四边形MONP是矩形,∴MP=ON=2 cm,在Rt△OMP中,由勾股定理,得OP===(cm).故选B. 3.B　解析:如图,设纸条的宽MN过圆心O,MN⊥AB,连接OD,OB,则MN=3.5 cm.∵CD∥AB,∴MN⊥CD.∴DM=CD=×4=2(cm),BN=AB=×3=1.5(cm).设OM=x cm,则ON=MN-OM=(3.5-x)cm.∵OM2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,∴OM2+MD2=ON2+BN2,∴x2+22=(3.5-x)2+1.52,解得x=1.5,∴OM=1.5 cm.∴OD===2.5(cm).∴纸杯的直径为2.5×2=5(cm).故选B. 4.　解析:如图,设桥拱所在圆的圆心为O,连接OA,OC,OC交AB于点D,则OC⊥AB,∴AD=BD=AB=5 m.设半径OA=OC=r m,则OD=OC-CD=(r-4) m.在Rt△ADO中,OA2=AD2+OD2,∴r2=52+(r-4)2,解得r=. 5.400π　解析:如图,连接OB,过点O作OD⊥AB于点D,则AD=BD=AB=(AC+BC)=×(11+21)=16,∴CD=BC-BD=21-16=5.在Rt△COD中,OD2=OC2-CD2=132-52=144.在Rt△BOD中,OB2=OD2+BD2=144+256=400,∴S☉O=π·OB2=400π. 6.解:(1)证明:如图,连接AC. ∵直径AB⊥弦 CD于点E, ∴CE=DE,即直线AB是CD的垂直平分线, ∴AC=AD. ∵过圆心O的直线CF⊥AD, ∴AF=DF,即直线CF是AD的垂直平分线, ∴AC=CD, ∴AC=AD=CD,即△ACD是等边三角形, ∴∠FCD=30°. 在Rt△COE中,OE=OC, ∴OE=OB, ∴E是OB的中点. (2)∵AB=6,∴OC=AB=3. ∴OE=OC=. ∴CE===. ∵AB⊥CD, ∴CD=2CE=3. 7.解:(1)如图1,连接OB.设☉O的半径为r. 图1 ∵AE=BE,CD过圆心O,AB=8, ∴CD⊥AB,AE=BE=AB=4. ∵DE=3CE, ∴CE=r,DE=r, ∴OE=r-CE=r. 在Rt△OBE中, ∵OE2+BE2=OB2, ∴2+42=r2, 解得r=(负值已舍去), 即☉O的半径为. (2)☉O的半径为. 解析:如图2,连接OE,OD,OA,过点O作OH⊥CD于点H. 图2 ∵AE=BE,OH⊥CD, ∴OE⊥AB,HC=HD. ∵∠DEB=60°, ∴∠OEH=30°, ∴OE=2OH. ∵DE=3CE, ∴EH=CH=CD,DH=2EH. 在Rt△OAE中,由勾股定理,得 OE2=OA2-AE2=r2-42, ∴OH2=, ∴EH2=OE2-OH2=r2-42-=, ∴DH2=3(r2-42). 在Rt△OHD中,由勾股定理,得 OD2=OH2+DH2, 即r2=+3(r2-42). 解得r=(负值已舍去). ∴☉O的半径为. 学科网（北京）股份有限公司 $