湖南省株洲市第二中学2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题

株洲市第二中学2026年下学期高二年级入学考试参考答案 题号 3 6 10 11 答案 A B C B D A BD ACD ABD 填空答案：12.-2<x<2且x≠1 13.2027 14.2V2+3 3 15.(1)a=0.008 (2)众数为105，中位数为105.7(3)5 【详解】(1)依题意， (0.012+0.028+0.022+0.018+0.010+a+0.002)×10=1 解得a=0.008 …49 (2)数学成绩的众数为105 由频率分布直方图知，分数在区间[80,10)、[80,110)内的领率分别为034,0.62， 所以该校数学成绩的中位数m∈[10,10)，则(m-10)×0.028=0.16,解得m≈105.7：…g 0.08 3》拍取价5人中，分数在B0140)内价有00+002×5=4人，在40,150]内的有1人，记在 130,140)内的4人为a,b,6,4,在[140,150]内的1人为A, 从5人中任取3人，abc,abd,abA,acd,acA,adA,bcd,bcA,bdA,cdA,共l0个， 选出的3人中恰有一人成绩在40,150]中，有abA,acA,adA,bcA,bdA,cdA,共6种， 。P=6、3 所以选出的3人中恰有一人成绩在[140,150]中的概率是P105.13 兀 16.(1)6:(2)4V2-5. cosA sin2B 2sinBcosB sinB 【详解】(1)因为1+sinA1+cos2B 2cos2B cosB. inB=cos/AcosB-sinAsinB=cos(4+B)=-cosC-1 即 <B< B=I 而 3,所以6 ……6 (2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以 <C<π0<B< 2， sinB=-cosC=sinC -2 C=T+BA=-2B 所以2，即有2，所以分0 …8? a2+b2 sin24+sin2B cos22B+1-cos2B 所以由正弦定理得c2 sin2C cos2B (2cos2B-1)+1-cos2 B=4c0S'B+2-5≥28-5=4W2-5 cos2B cos2B a2+b2 当且仅 cos'B=v2 2时取等号，所以C2的最小值为4W2-5.…15 17.(1)如图所示，取AB的中点O,连接C0, :DC=A0=2,AB/DC,四边形DCOA为平行四边形，CO=AD=2 又：BC=0B=2,△BC0为正三角形，即有∠ABC=60, 在等腰梯形中，∠BCD=120°，AD=CD=BC=2,AB=4, 则BD=VBC2+CD2-2BC.CDcos120°=V4+4-2×2×2cos120°=25 .AD2+BD2=AB2,AD⊥BD, PD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,∴PD⊥BD, AD∩PD=D,AD,PDc平面PAD,∴.BD⊥平面PAD, PAC平面PAD,.BD⊥PA.…5 (2)(1):AD=A0=2,∠DAB=60°，△40，D为等边三角形， :O,D=O,A=O,B=O,C=2,即O为四边形ABCD外接圆的圆心， O为△BCD的外接圆圆心，半径"=OA=2,且O01平面ABCD, :PD⊥平面ABCD,·PD/O0,且OP=OD=OA=OB=OC, PD 、 R=OD +2 球O的半径 2 +r2=R2-2 ∴PD=3 ……10 (i)方法一：过D作DE⊥AB于E, AB⊥PD,DE,PDC平面PDE,DE∩PD=D,AB⊥平面PDE, 又PEC平面PDE,.AB⊥PE,.∠PED为二面角C-AB-P的平面角，…I2 an∠PED=PD-3 =3 DE3 ,∴二面角C-AB-P的平面角的余弦值为2， 1 ∴.平面PAB与平面ABC.夹角的余弦值为2 。。。。。。。。。。 …153 方法二：如图所示，建立以D为坐标原点，DA,DB,DP方向为x,y,z轴正方向的空间直角坐标系， P(0,03),A(20,0).B0,25,0）.PA=(2,0-3).AB=(-2,2V5,0 易知平面ABC的一个法向量为元=(0,0，) 设平面PAB的法向量为m,则PAm=AB·m=0, 后-成习m属动-骨a月 ∴.平面PAB与平面ABC夹角的余弦值为2. 9 4<- 18.(1)k=0或k=1(2)“7或a≥1 【详解】1)解：函数()=x,k∈乙的定义域为R,则发2+k+2>0, 所以(k-2k+)<0,解得-1<k<2,又k∈Z, 所以k=0或k=1; …43 (2)解：因为2+k+2=-k(k-1)+2且k∈Z, 若k为奇数，则k-1为偶数，则k(k-)+2为偶数。 若k为偶数，则k-1为奇数，则k(k-)+2为偶数。 +2-骨号 因为(-4)>3)，所以f(在(0,0)上单调递藏， 若k2+k+2=2,即k=0或k=1时f()=t符合题意， 若2+k+2=0,即k=-1或k=2时()=，不符合题意， 若-k'+k+2<0,测则f()=x2为偶西数且在（0，+∞）上单调递减，则f()在(0,0)上单调递蹈。 不符合题意： 所以()=x2 6 则不等式(a-f(四+(a-小F可+2>0恒成立，即(c-)r+(a-+2>0恒成立 因为()=（α-r+(a-1+2为阕函数，由h()>0恒成立，只需研究x之0的情况即可， ①当X=0时显然成立，… ②当x>0时(a-小r+(a-)+2>0恒成立， 若a2-1=0解得a=1或a=-1,当a=1时显然成立，当a=-1时不等式即-2x+2>0,解得x<1, 不符合题意； 若a-1<0,即-1<a<1时，显然不成立， x= ~1 若a2-1>0,即a>1或a<-1时，函数8()-(a-)r+(a-1)x+2的对称销为2(a+0,开 口向上， 当>1时26*可0.又8o-2>0,u8)-g-小r+a-r+2>0xe0+w阳 <0 成立，符合题意， 当时2可”a---8-小0，胸01款号。 -1 x= >0 综上可得： 、、9 7或0之1…10 3)解：由(2)可得2f(x-)-VF()f(x-)+2x2=0 即2(x-旷-(x-1+2m2=0 因为方程2f(-l)厂()/(x-+2mr=0在0.+o）上有4个不同的根， 即2(x-少-x水-+2mr=0在(0，+o)上有4个不同的根， 令m() x,xe(0,+o)】 当>1时.m()1-月 x. 所以m()在（，+o)上单调递增，则m()e(0,1), 当0<x<1时 m(x)1-x=1-1 xx 所以m(在(0,1)上单调递减，则m()(0,+∞)】 2k-1_x-+2m=0 方程2(x--k-l+2mr2=0可变形为2 ……]2 即2m2()-m(x)+2m=0 令s=m(),则方程为2x2-s+2m=0,要使得原方程有4个不同的正根， 则关于5的方程2s2-3+2m=0在(0,1)上有两个不等的根5,2， 1-16m>0 2m>0 1 所以 2×12-1+2m>0,解得 <m< 16, 故实数m的取值范围为”16 …179 19.(1)f(x)=cosx,g(x)=sin -2≤a≤ (2)(i) 5;(i)21 【详解】(1) ① f小g-ir9nn(2四 ao到}是mr}m2 因为(？)，g()分别为定义在R上的偶函数与奇函数。 所以f(x)=f(x),g(-x)=-g(x), 数rgm到号2a ② 式子0+②得2f'()=2c0sr-sinsin2x ()-2cosx-sinwsin2x=2cos-2sin'xcos-2cosr(1-sin'x)-2cos 所以f()=cox 式子②.0得2g'()=2sinr-2 2sinxcos2x=2sinx 所以8(x)=sinx …4 (2)h,()=[f()+g(]+[f(x)-g(x] =(sinx+cosx)"+(cosx-sinx)" (i)当n=2时，h.(:)=(sinr+cosx+(cosx-sinx)2=2 不等式化为2+3ac0sx-2a≥0， 令1=cosr∈[-1，，则需2+3at-2a≥0对任意1∈[-1，恒成立， 设p()=2+3at-2a p(-1)=2-3a-2a≥0 要想2+3at-2n≥0对任意1e-l,恒成立，只需p0)=2+3a-2a≥0， -2≤a≤ 解得 2 -2≤a≤ 综上，当n=2时， 5；… 。。。。。。。。。。。 …7 aE-2, 下证：若 5,则对任意正整数n,不等式h.()+3 acox--2a≥0不恒成立， (x)=(sinx+cosx)"+(cosx-sinx)" 2 若a>5,取x=元，此时sinx=0,cosx=-1,h.(x)=(少°+(-少°=2或-2， a> 当n为奇数时， 4s、2 h.()=-2,代入不等式得-2-3a-2a≥0，解得5， 2 a> 与5矛盾， 9s3 当n为偶数时，h.()=2,代入不等式得2-3a-2≥0，解得a≤5，与“>5矛盾， 若a<-2,取x=0,此时sinx=0,cosr=1,h,(x)=2 代入不等式可得2+3a-2a≥0，解得a≥-2，与a<-2矛盾， 2≤a 因此，当 5时，存在n=2,使得h.()+3 acosx-2a≥0对任意的xeR恒成立.…10 （i)对任意的x∈R恒有，()≤2026，只需h.(,)m≤2026 u=cos+sin=2sn+. 则u2+y2=2,设.（的最大值为M, …12为 当n=1时，么()=2c0sx≤2，此时对任意的x∈R恒有么()≤2026 当n≥2时，4+≤4”+，且在约束条件W2+2=2下， ram+a s回可sm+引esf+-可 最大值为4+r=(2,故，=(2 …14 x-I 例如，当4时， -(可 散只需(V2)≤2026 即2i≤2026,2 ≤1og,2026n≤210g22026, 其中 e,2026e0og,10245.lg,g2048)-(2 故21og,2026∈(21,22) 若对任意的x∈R恒有M,()≤2026，则n的最大值为2. .17 株洲市二中2026年下学期高二年级入学考试 数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．复数，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若向量，，则“”是“向量，的夹角为锐角”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，则（ ） A． B． C． D．40 4．两个实习生每人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率是（ ） A． B． C． D． 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为4的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（ ） A． B． C．2 D． 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得得0分． 9．已知m，n是两条不重合的直线，，，是三个互不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A．若，，m，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点 11．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A．平面截该正方体的截面面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．若与侧面所成角为，则线段长度最小值为 D．若点为棱中点，点在线段上移动（含端点），则与平面所成角正弦值的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．要使分式有意义，则的取值范围为_____． 13．已知样本，，…，平均数为2，方差为2023，则，，…，的平均数_____． 14．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对任意、，（，），则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组；，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值； （2）估计本次联考该校数学成绩的众数和中位数；（中位数精确到0.1） （3）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率． 16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 17．如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）证明：； （2）若P，B，C，D，均在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 18．已知，． （1）若函数的定义域为，求的值； （2）若，且恒成立，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，若存在实数，使得关于的方程．恰有4个不同的正根，求实数的取值范围． 19．已知，分别为定义在上的偶函数与奇函数，且满足． （1）求和； （2）定义，． （ⅰ）若存在正整数，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）若对任意的恒有，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $