湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高二上学期开学数学试题

2026年秋季高二数学入学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知平面，直线，满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ） A. B. C. D. 6. 有八张卡片，分别标记数字，从中随机抽取一张，记录它的数字，记“数字为偶数”为事件，记“数字大于4”为事件，记“数字为”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件不是独立事件 D. 7. 中，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若幂函数过点，则 B. ， C. ， D. 命题“”的否定是“” 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 11. 如图，正四面体的棱长为1，，分别是棱，上的点，且，，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 直线与直线异面 C. 不存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的平均数为__________． 13. 三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是__________． 14. 已知的边，且，则的面积的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 16. 已知平面向量． （1）若，且，求和的值； （2）若，求的值； （3）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 17. 如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若，点满足， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求二面角的平面角的余弦值． 18. 已知向量，函数的最小值为. （1）当时，求的值； （2）求； （3）已知函数为定义在上的增函数，且对任意的都满足，问：是否存在这样的实数，使不等式对所有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 设，函数． （1）若，求证：函数为奇函数； （2）函数满足，在（1）的条件下，若对任意且，不等式恒成立，求的取值范围． （3）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围． 2026年秋季高二数学入学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】71 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2） （i） . （ii）游戏不公平，理由： 由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以 因为，所以此游戏不公平. 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明：取的中点，连接，，， 因为为的中点，为的中点，所以， 在三棱柱中，， 则四边形是菱形，得，则， 又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为是等边三角形，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）（i）（ii） 【18题答案】 【答案】(1);(2)；(3). 【19题答案】 【答案】（1）时，有且定义域为， ， 综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数． （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $