湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

株洲市二中2024年下学期高二年级升学考试 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ） A. 20 B. C. 0 D. 24 3. 在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 4. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，，，则 A. ②③⑤ B. ①②⑤ C. ④⑤ D. ①③ 5. 已知点关于直线对称的点在圆：上，则（ ） A. 4 B. C. D. 6. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是（ ） A. 甲：中位数为2，众数为3 B. 乙：总体均值为3，中位数为4 C. 丙：总体均值为2，总体方差为3 D. 丁：总体均值为1，总体方差大于0 7. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ） A. 直线与所成的角不可能是 B. 若，则二面角的平面角的正弦值为 C. 当时， D. 当时，点到平面的距离为 8. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的对称中心为 B. 若，则的最大值为 C. 若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为 D. 若，则 二、多选题 9. 下列四个命题中，是真命题的是( ) A. ∀x∈R，且x≠0，x＋≥2 B. ∃x∈R，使得x2＋1≤2x C. 若x＞0，y＞0，则≥ D. 若x≥，则的最小值为1 10. 设复数的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题错误的是（ ） A. B. 若，则在复平面内对应的点位于第二象限 C. 是纯虚数 D. 若，则的最大值是6 11. 设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（ ） A. 或 B. 关于直线对称 C. 为奇函数 D. 三、填空题 12. 在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”．若在每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则乙获得冠军的概率为________． 13. 已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为________． 14. 定义，设函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知点为圆上的一点，圆心坐标为，且过点的直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）求直线的方程. 16. 2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式．某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并记录得分（满分：100，所有人的成绩都在内），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及中位数． 17. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，. （1）证明： ; （2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离. 18. 已知函数，对，有 （1）求的值及的单调递增区间： （2）在中，已知，其面积为，求； （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若，求实数的取值范围 19. 已知集合且中元素的个数为．若存在，得为2的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的均为2的正整数指数幂，则称为的强子集． （1）请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由； （2）是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由； （3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值． 株洲市二中2024年下学期高二年级升学考试 数学试题 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多选题 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）； （2）或. 【16题答案】 【答案】（1） （2）平均数72分，众数约为75（分），中位数为（分） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1），单调递增区间为 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） 是的弱子集，不是的弱子集． 理由如下： 中存在两个元素的和是2的正整数指数幂，所以是的弱子集． 中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂， 所以不是的弱子集． （2） 不存在的强子集． 理由如下： 假设存在的强子集，不妨设为正整数， ，则为正整数，， 则，代入中， 所以， 所以，与为正整数矛盾，所以不存在的强子集． （3）8 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $