重庆市第一中学校2026-2027学年高二上学期9月定时练习数学试题

**基本信息** 重庆一中高二开学数学定时练习，以解答题（5小题77分）为核心，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，衔接高一知识与高二内容，发展运算能力、推理意识及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|函数单调性、数列递推、立体几何证明、实际应用问题|结合生活情境设计优化问题（如资源分配），体现数学语言表达现实世界；通过多知识点综合题（如函数与数列结合），培养数学思维的逻辑性与系统性，符合高考命题中对综合能力的考查趋势。|

重庆一中高2028届高二上期9月定时练习 数学参考答案 一、单选题： 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A B D B A C 二、多选题： 9 10 11 AC BCD ACD 三、填空题： 12． 13．或 14． 15．略 16．解：（1）等式左边， 因为，所以，故， 又因为左边右边，所以， 由正弦定理得：，得证． （2）由及（1）的结论可得，又因为面积， 所以，或． 9分 由余弦定理得：， 故：①当时，，； 12分 ②当时，，，由基本不等式可得矛盾； 所以，故综上所述，． 15分 17．解：（1）法一：因为三棱柱为直三棱柱，所以且， 又因为，，，平面且，所以平面， 又因为平面，由线面垂直的定理可得，又有，故得， 得证． 6分 法二：因为三棱柱为直三棱柱，所以，，又因为， 所以能以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，设长度为，则点坐标为，故，，所以， ，证得： ． 6分 （2）设点坐标为，则，，， 设平面的法向量为，则有不妨令，则，， 所以，同理可得平面的法向量， 12分 又因为二面角为直二面角，所以平面平面， 故， 解得或2，当时点与点重合，故舍去， 综上所述． 15分 18．解：（1）法一：设点坐标为，因为点坐标为，点为线段的中点， 所以点坐标为，又因为点在圆上，代入圆的方程得： 化简得：，故点的轨迹方程为 4分 法二：设圆心与点连线的中点为点，可易证， 且相似比为2∶1，所以，点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 则轨迹方程为． 4分 （2）①当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； ②当过点的直线斜率存在时，设直线方程为：，当直线与圆相切时， 圆心到直线距离等于半径2，可得，解得， 此时直线方程为：，与圆方程联立得：， 解得：，，所以点和点坐标为，， 直线的方程为：， 10分 （3）存在，点坐标为，证明如下： 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， ①当过点的直线斜率不存在时，与圆的交点为和，轴上任意一点均满足题意； ②当过点的直线斜率存在时，设直线方程为：，与圆方程联立得： ，化简得：， 所以根据韦达定理可知：， 13分 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： ，将直线方程代入得： ，代入韦达定理结果得： ，化简得： ，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 17分 19．解：（1）证明：因为，所以， ，，，故， 证得：． 5分 （2）不妨设，所以有： 所以，，，向量分别与向量，垂直． 8分 因为向量，不共线，不妨设一平行四边形，同一起点的邻边长分别为，，夹角为向量，的夹角，此时平行四边形的面积， 因为，所以可表示为以，为邻边的平行四边形面积， 证得：的几何意义为以，为邻边的平行四边形面积． 11分 （3）证明：设，由（2）结论可知，向量与向量，垂直且向量，不共线，所以是向量，张成平面的一个法向量，又因为， 其中可表示为以，为邻边的平行四边形面积，为该平行六面体的一个底面面积， 而是与平行六面体这一底面的法向量所成夹角的余弦值， 也就是与该底面夹角的正弦值，所以可表示为该底面上的高， 由平行六面体的体积公式可知， 故证得等于以，和为同一顶点三条棱的平行六面体积． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2028届高二上期9月定时练习 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则的虚部为 A． B． C． D． 2．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的对角线 A． B． C． D． 3．下图是正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列命题正确的是 A．平面平面 B．和为异面直线 C． D．平面 4．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 5．棱长为2的正方体，点，分别为棱、的中点，则点到直线的距离为 A． B． C． D． 6．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为 A． B． C． D． 7．已知圆：（）上有且只有两个点到直线：的距离为1，则圆半径的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知球为三棱锥的外接球，，，则球的表面积是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，则下列说法正确的是 A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 10．已知为虚数单位，，则下列说法中正确的是 A．若为正整数，则 B．若，则在复平面内对应的点的集合所构成的图形的面积为 C． D．若复数是关于的方程（，）的一个根，则 11．已知正方体的棱长为2，动点满足，其中．经过，，三点的平面与正方体表面的交线构成多边形，则 A．当时，直线与平面垂直 B．，使得多边形为五边形 C．，使得 D．平面截正方体内切球所得截面的面积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知在中，满足，，，那么角________． 13．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 14．已知中，，，是上一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则的面积为________． 四、解答题：大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量，是平面内的一组基底，，，与的夹角为60°．若，则称有序数对为向量在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为． （1）求向量的模长； （2）若向量在基底下的坐标为，且，求实数的值，并求与的夹角的余弦值． 16．（15分） 在中，内角、、的对边分别为、、，满足：． （1）求证：； （2）若，且的面积为，求角的大小及的值． 17．（15分） 在直三棱柱中，，，其中为棱中点，为棱上一动点（不含端点），如图． （1）求证：； （2）若二面角为直二面角，求线段的长度． 18．（17分） 已知圆方程：，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； （3）过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 设两两不共线的空间向量，和： 定义，的数量积为，满足； 定义，的外积为，满足； （1）设，，证明，满足：； （2）探究向量分别和向量，的位置关系并指出的几何意义； （3）假设，，不共面，定义，，的混合积为，证明：等于以，，为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 学科网（北京）股份有限公司 $