精品解析：重庆市西南大学附属中学校2026-2027学年高二上学期开学定时训练数学试题

高2028届高二上开学定时训练 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题．共8小题，每小题5分，共40分．每小题有且只有一个选项是符合要求的． 1. 复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘法和除法化简，再求模即可.  【详解】 因为， 所以. 2. 给出如下3个命题：①过空间任意三点有且只有一个平面；②如果一个平面内有无数条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行；③若平面平面，且，直线，则．其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】只有过不共线的三点才有且只有一个平面，若三点共线，则存在无数个平面经过这三点，命题①为假命题； 若两个平面相交，设交线为，则其中一个平面内所有平行于的直线均与另一个平面平行，②是假命题； 根据面面垂直的性质定理，若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于两平面交线的直线垂直于另一个平面，命题③为真命题.综上，真命题的个数为1. 3. 的三个内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求解，再结合三角形内角和定理计算即可. 【详解】在中，由正弦定理得 . 因为，所以， 又，所以或. 当时，； 当时，. 综上，或. 4. 已知三组数据①；②；③，其中方差最大的一组数据的方差为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于数据①，， 则方差为； 对于数据②，， 则方差为； 对于数据③，， 则方差为． 5. 已知向量，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量的坐标运算求出的坐标，再把转化为关于的三角函数求最值. 【详解】因为，所以， 所以= =，当时取等号，所以的最大值为3. 6. 正方形的边的中点为，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，设，求出可得答案. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴的 正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设， 则， 所以， 所以， 可得. 7. 将一枚均匀的骰子抛掷两次，事件：两次点数均为偶数；：第二次点数不小于3；则概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率的加法公式，分别计算各概率后代入即可求解. 【详解】抛一枚均匀的骰子两次，样本空间共有个等可能的基本事件. 事件为两次点数均为偶数，第一次取偶数有3种结果，第二次取偶数也有3种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件为第二次点数不小于3，则第二次可取3，4，5，6共4种结果，第一次任意取有6种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件表示两次点数均为偶数且第二次点数不小于3， 则第一次取偶数有3种结果，第二次取不小于3的偶数有2种结果， 故包含的基本事件数为， 所以， 所以. 8. 三棱柱的底面是等腰直角三角形，，为的中点，平面，，则该三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，分别求解每个侧面的高，从而求出该三棱柱的侧面积． 【详解】取中点，连接，，． 因为平面，平面，所以，，． 因为三棱柱底面是等腰直角三角形，为的中点，所以． 又因为,平面，所以平面． 又因为平面，所以，则，四边形为矩形． 因为在该等腰直角三角形中，，为的中点， 所以，，则． 故矩形的面积为． 因为为中点，为的中点，所以，则． 由三垂线定理，可得，且, 故平行四边形的面积为，同理可得，平行四边形的面积也为． 故该三棱柱的侧面积为． 二、多项选择题．共3小题，每小题6分，共18分．每小题至少有两个选项是符合要求的，全部选对得满分，部分选对得部分分，不选或错选不得分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某校学生由小学生、初中生、高中生三部分组成，现要用随机抽样的方式调查该校学生的近视率，适合按小学、初中、高中分学段分层抽样，每层内部采用简单随机抽样的方式进行 B. 一个盒中有大小和质地相同的3个白球和2个黑球，从中摸出1个球，则事件“摸出的球是白球”是一个基本事件 C. 已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入1个新数据9，则新样本的平均数为 D. 甲乙两名射击运动员各自射击一次，设事件“甲中靶”，“乙中靶”，“甲乙至少一人中靶”，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分层抽样、简单随机抽样定义、基本事件、平均数计算、事件的关系与运算，逐一分析各选项可得答案. 【详解】对于A，该校学生分为小学、初中、高中三个差异明显的学段，不同学段近视率差异较大， 适合采用分层抽样按学段分层，每层内使用简单随机抽样，故该说法正确； 对于B，该摸球试验的等可能基本事件为摸出5个球中的任意一个， “摸出的球是白球”包含摸出3个白球对应的3个基本事件，属于复合事件，不是基本事件，故该说法错误； 对于C，原7个样本的总和为，加入数据9后新样本总和为， 新样本容量为8，平均数为，故该说法正确； 对于D，事件“甲乙至少一人中靶”包括“甲中乙不中”、“乙中甲不中”、“甲乙都中” 三种情况，即，所给表达式漏掉了甲乙都中靶的情况，故该说法错误. 10. 如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为4 B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从点出发沿正方体表面绕行到点的最短距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等体积法可求得三棱锥的体积判断A；利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形判断B，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积判断C，分别求出将面沿着展开和将面沿着展开两种情况分别求解长度判断D即可 【详解】如图，作出符合题意的图形， 对于A，由题意得 ，故A错误； 对于B，由中位线性质可得，在正方体中，，所以， 所以四点共面，又因为，所以截面为梯形，故B正确； 对于C，因为面，， 所以三棱锥的外接球等价于长为2，宽为2，高为1的长方体外接球， 可得半径，则表面积，故C正确； 对于D，如图，将面沿着展开和面共面， 此时由勾股定理得， 如图，将面沿着展开和面共面， 此时由勾股定理得， 如图，将面沿着展开和面共面， 此时由勾股定理得， 如图，将面沿着展开和面共面， 此时由勾股定理得， 则从点出发沿正方体表面绕行到点的最短距离为，故D正确. 11. 满足，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式，根据三角函数的有界性，确定求出根据正弦定理：求出,根据面积公式求出面积. 【详解】∵， ∴ , ∴ 因为在中, 选项A正确 ，选项B错误, 根据正弦定理：，选项正确, 由面积公式：选项D正确. 【点睛】本题考查了“夹逼取等”,即两个有界函数相加等于两者最大值之和，则每一项必须同时达到最大值. 三、填空题．共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点是所在平面内一点，且，则是的__________（从重心、外心、内心、垂心中选一个填上）． 【答案】垂心 【解析】 【分析】根据向量数量积运算进行判断，从而确定正确答案. 【详解】由， 得， 所以， 同理可得， 所以是的垂心. 13. 复数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由复数运算性质确定z的轨迹，再结合模的几何意义计算目标距离的最小值 【详解】设，则， 由，得， 即，故或，即为纯虚数或实数. 由，得， 当时，，解得或，对应点为、； 当时，，解得或，对应点为、. 的几何意义是点到定点的距离， 分别计算四个点到定点的距离： ，，  ，， 比较得最小值为1. 14. 在数轴的原点处有一只青蛙（视为质点），它每隔相同时间会沿数轴向正向或负向等可能地跳一个单位长度，设它跳了次后到达的位置对应的实数为，记事件“”，“”，则概率______；_____． 【答案】 ①. ##0.375 ②. ##0.5 【解析】 【详解】每次跳跃有正向、负向两种等可能结果，跳3次的总基本事件数为． 设3次跳跃中正向跳跃次，则负向跳跃次， 则3次跳跃后到达的位置对应的实数为． 由于事件“”，则令，解得， 即正向跳跃2次，负向跳跃1次，则对应的基本事件数为3，故． 同理可知，跳5次的总基本事件数为， 则设5次跳跃中正向跳跃次，则负向跳跃次， 则5次跳跃后到达的位置对应的实数为． 由于“”，则令，解得，4，5． 当时，即正向跳跃3次，负向跳跃2次，则对应的基本事件数为10； 当时，即正向跳跃4次，负向跳跃1次，则对应的基本事件数为5； 当时，即正向跳跃5次，负向跳跃0次，则对应的基本事件数为1； 故事件包含的基本事件总数为，． 四、解答题．共5小题，共77分． 15. 如图，直三棱柱中，，分别为线段的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）因为直三棱柱中，， 所以两两垂直，以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 不妨设，则各点坐标如下： ，，，，，， 因为分别为线段的中点，所以： 的坐标为，的坐标为， 根据坐标，可得向量： ， ， ， 所以向量与垂直，即. （2） 【解析】 【分析】（1）通过建系求出向量和的坐标，利用数量积为0这一代数条件直接证明了空间两直线的垂直关系； （2）通过求平面的法向量，利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值计算出结果，再借助同角三角函数平方关系得出余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由两两垂直，可得平面， 平面的一个法向量可取为， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 根据线面角的正弦值公式： ， 因为线面角的范围是， 所以. 16. 如图，正方形和正方形在同一平面内． （1）若，求的值； （2）设线段的中点为，证明：． 【答案】（1） （2）由题意知， 由线段的中点为，可得，， 设， 故 ， 故，即. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算先求出，即可得，从而求出，再根据数量积定义即可求解； （2）表示出，，计算，即可证明结论. 【小问1详解】 由，可得， 即，可知为锐角，故， 连接，则，， 故， 则， 故. 【小问2详解】 略 17. 甲乙二人喜欢打乒乓球，根据经验，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜概率为，且各局相互独立，二人约定：先胜2局者获胜，比赛结束． （1）求比赛了2局就结束比赛的概率； （2）求甲获胜的概率； （3）若约定改为：先胜3局者获胜，比赛结束；问哪种约定对甲更有利？为什么？ 【答案】（1） （2） （3） 先胜3局的约定对甲更有利，该赛制下甲获胜概率更高。 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式计算； （2）利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式计算； （3）分别计算两类赛制下对应事件的概率，再比较甲的获胜概率大小即可. 【小问1详解】 比赛2局结束包含“甲连胜2局”和“乙连胜2局”两个互斥事件： 甲连胜2局的概率：，乙连胜2局的概率：，  由互斥事件概率加法公式，所求概率. 【小问2详解】 甲获胜包含“2局获胜”和“3局获胜”两个互斥事件： 2局获胜：即甲连胜2局，概率为， 3局获胜：前2局甲恰好胜1局、第3局甲胜，概率为， 故甲获胜的概率. 【小问3详解】 计算“先胜3局者获胜”赛制下甲的获胜概率，包含3类互斥情况： 打3局获胜：甲连胜3局，概率； 打4局获胜：前3局甲恰好胜2局、第4局甲胜，概率； 打5局获胜：前4局甲恰好胜2局、第5局甲胜，概率， 该赛制下甲获胜总概率. 通分比较得，即先胜3局的赛制下甲获胜概率更高，因此该约定对甲更有利. 18. 如图，已知四棱锥中，底面是正方形，是正三角形，且平面平面，． （1）求二面角的正切值； （2）若点满足，点满足，且平面，求的值； （3）若点分别为的中点，在图中作出四棱锥与四棱锥相交的公共部分，并直接写出它的体积（不写求解过程）． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意作出所求二面角的平面角，解直角三角形即可求解； （2）设的中点为G，连接，连接,设交点为H，推出平面平面，继而推出，即可求解； （3）先确定四棱锥与四棱锥相交的公共部分的形状，再结合割补法即可求解. 【小问1详解】 设的中点为，连接， 是正三角形，故，而平面， 平面平面，平面平面，故平面， 平面，故； 结合，可得， 底面是正方形，则 ， 而平面，故平面， 平面平面，平面平面， 故为二面角的平面角， 在中，， 即二面角的正切值为. 【小问2详解】 设的中点为G，连接，连接,设交点为H， 底面是正方形，则H为的中点， 由于，故，结合，可得， 即E为的中点，则在中有， 平面，平面，故平面， 结合平面，且平面，故平面平面， 又平面平面，平面平面， 故，结合G为的中点，可知F为的中点， 即，而，可得, 【小问3详解】 如图，连接，则，而，故， 则可得共面，设交于点R，交于点S， 则四棱锥与四棱锥相交的公共部分为以为顶点的五面体， 该五面体的体积等于, 由题意可知P到底面的距离为，则N到底面的距离为， 故， ， 由于，故， 则，结合题意知,则, 由平面平面，平面平面，，平面， 得平面， 故； 又，则，则， 故，则，故, 故 ， 即四棱锥与四棱锥相交的公共部分的体积为. 19. 直臂连杆是一种常见的机械部件，如图，平面四边形是某直臂连杆示意图，其中点固定，点可绕点作圆周运动，点随点运动，已知． （1）当时，求； （2）求的取值范围； （3）证明：当四边形的面积最大时，． 注：若运动中线段和相交于点，四边形的面积指的是和的面积之和． 【答案】（1）或 （2） （3）设，，四边形的面积： ， 两边同乘，得到：①， 连接，分别在和中用余弦定理： ， 两者相等，化简得：②， 将①式和②式分别平方后相加（经典“平方相加”技巧）： 即：， ， 因为，当且仅当时， 取最大值，此时也取得最大值， 当时，， 即：， 四边形的内角和为， 所以： 因此，. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线分两种情况得出的长度，代入三角形的余弦定理计算； （2）通过三角形三边关系确定的取值范围，构造关于的对勾函数并利用单调性求值域； （3）将面积公式和余弦定理的等式分别平方后相加，利用三角函数“平方和”消元法及余弦函数的最值，推导出面积最大时满足对角互补，即得答案. 【小问1详解】 向量共线说明三点共线，点在直线上，分两种情况： ①点在、之间时，， 在中，由余弦定理得： ； ②点在的另一侧（即共线）时， ， 同理： ， 故的值为或； 【小问2详解】 设，由三角形三边关系可知， 在中，由余弦定理得： ， 由对勾函数性质（或基本不等式导出的单调性）， 在单调递增， 而，故在上单调递增， 当时，取最小值； 当时，取最大值， 故范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届高二上开学定时训练 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题．共8小题，每小题5分，共40分．每小题有且只有一个选项是符合要求的． 1. 复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 给出如下3个命题：①过空间任意三点有且只有一个平面；②如果一个平面内有无数条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行；③若平面平面，且，直线，则．其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 的三个内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知三组数据①；②；③，其中方差最大的一组数据的方差为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 5. 已知向量，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 正方形的边的中点为，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 将一枚均匀的骰子抛掷两次，事件：两次点数均为偶数；：第二次点数不小于3；则概率（ ） A. B. C. D. 8. 三棱柱的底面是等腰直角三角形，，为的中点，平面，，则该三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题．共3小题，每小题6分，共18分．每小题至少有两个选项是符合要求的，全部选对得满分，部分选对得部分分，不选或错选不得分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某校学生由小学生、初中生、高中生三部分组成，现要用随机抽样的方式调查该校学生的近视率，适合按小学、初中、高中分学段分层抽样，每层内部采用简单随机抽样的方式进行 B. 一个盒中有大小和质地相同的3个白球和2个黑球，从中摸出1个球，则事件“摸出的球是白球”是一个基本事件 C. 已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入1个新数据9，则新样本的平均数为 D. 甲乙两名射击运动员各自射击一次，设事件“甲中靶”，“乙中靶”，“甲乙至少一人中靶”，则 10. 如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为4 B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从点出发沿正方体表面绕行到点的最短距离为 11. 满足，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 三、填空题．共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点是所在平面内一点，且，则是的__________（从重心、外心、内心、垂心中选一个填上）． 13. 复数满足，则的最小值为__________． 14. 在数轴的原点处有一只青蛙（视为质点），它每隔相同时间会沿数轴向正向或负向等可能地跳一个单位长度，设它跳了次后到达的位置对应的实数为，记事件“”，“”，则概率______；_____． 四、解答题．共5小题，共77分． 15. 如图，直三棱柱中，，分别为线段的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 16. 如图，正方形和正方形在同一平面内． （1）若，求的值； （2）设线段的中点为，证明：． 17. 甲乙二人喜欢打乒乓球，根据经验，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜概率为，且各局相互独立，二人约定：先胜2局者获胜，比赛结束． （1）求比赛了2局就结束比赛的概率； （2）求甲获胜的概率； （3）若约定改为：先胜3局者获胜，比赛结束；问哪种约定对甲更有利？为什么？ 18. 如图，已知四棱锥中，底面是正方形，是正三角形，且平面平面，． （1）求二面角的正切值； （2）若点满足，点满足，且平面，求的值； （3）若点分别为的中点，在图中作出四棱锥与四棱锥相交的公共部分，并直接写出它的体积（不写求解过程）． 19. 直臂连杆是一种常见的机械部件，如图，平面四边形是某直臂连杆示意图，其中点固定，点可绕点作圆周运动，点随点运动，已知． （1）当时，求； （2）求的取值范围； （3）证明：当四边形的面积最大时，． 注：若运动中线段和相交于点，四边形的面积指的是和的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $