重庆市西南大学附属中学校2026-2027学年高二上学期开学定时训练数学试题

高2028届高二上开学定时训练 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题．共8小题，每小题5分，共40分．每小题有且只有一个选项是符合要求的． 1. 复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 给出如下3个命题：①过空间任意三点有且只有一个平面；②如果一个平面内有无数条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行；③若平面平面，且，直线，则．其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 的三个内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知三组数据①；②；③，其中方差最大的一组数据的方差为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 5. 已知向量，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 正方形的边的中点为，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 将一枚均匀的骰子抛掷两次，事件：两次点数均为偶数；：第二次点数不小于3；则概率（ ） A. B. C. D. 8. 三棱柱的底面是等腰直角三角形，，为的中点，平面，，则该三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题．共3小题，每小题6分，共18分．每小题至少有两个选项是符合要求的，全部选对得满分，部分选对得部分分，不选或错选不得分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某校学生由小学生、初中生、高中生三部分组成，现要用随机抽样的方式调查该校学生的近视率，适合按小学、初中、高中分学段分层抽样，每层内部采用简单随机抽样的方式进行 B. 一个盒中有大小和质地相同的3个白球和2个黑球，从中摸出1个球，则事件“摸出的球是白球”是一个基本事件 C. 已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入1个新数据9，则新样本的平均数为 D. 甲乙两名射击运动员各自射击一次，设事件“甲中靶”，“乙中靶”，“甲乙至少一人中靶”，则 10. 如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为4 B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从点出发沿正方体表面绕行到点的最短距离为 11. 满足，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 三、填空题．共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点是所在平面内一点，且，则是的__________（从重心、外心、内心、垂心中选一个填上）． 13. 复数满足，则的最小值为__________． 14. 在数轴的原点处有一只青蛙（视为质点），它每隔相同时间会沿数轴向正向或负向等可能地跳一个单位长度，设它跳了次后到达的位置对应的实数为，记事件“”，“”，则概率______；_____． 四、解答题．共5小题，共77分． 15. 如图，直三棱柱中，，分别为线段的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 16. 如图，正方形和正方形在同一平面内． （1）若，求的值； （2）设线段的中点为，证明：． 17. 甲乙二人喜欢打乒乓球，根据经验，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜概率为，且各局相互独立，二人约定：先胜2局者获胜，比赛结束． （1）求比赛了2局就结束比赛的概率； （2）求甲获胜的概率； （3）若约定改为：先胜3局者获胜，比赛结束；问哪种约定对甲更有利？为什么？ 18. 如图，已知四棱锥中，底面是正方形，是正三角形，且平面平面，． （1）求二面角的正切值； （2）若点满足，点满足，且平面，求的值； （3）若点分别为的中点，在图中作出四棱锥与四棱锥相交的公共部分，并直接写出它的体积（不写求解过程）． 19. 直臂连杆是一种常见的机械部件，如图，平面四边形是某直臂连杆示意图，其中点固定，点可绕点作圆周运动，点随点运动，已知． （1）当时，求； （2）求的取值范围； （3）证明：当四边形的面积最大时，． 注：若运动中线段和相交于点，四边形的面积指的是和的面积之和． 高2028届高二上开学定时训练 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题．共8小题，每小题5分，共40分．每小题有且只有一个选项是符合要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题．共3小题，每小题6分，共18分．每小题至少有两个选项是符合要求的，全部选对得满分，部分选对得部分分，不选或错选不得分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题．共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】垂心 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ##0.375 ②. ##0.5 四、解答题．共5小题，共77分． 【15题答案】 【答案】（1）因为直三棱柱中，， 所以两两垂直，以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 不妨设，则各点坐标如下： ，，，，，， 因为分别为线段的中点，所以： 的坐标为，的坐标为， 根据坐标，可得向量： ， ， ， 所以向量与垂直，即. （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）由题意知， 由线段的中点为，可得，， 设， 故 ， 故，即. 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 先胜3局的约定对甲更有利，该赛制下甲获胜概率更高。 【18题答案】 【答案】（1） （2）1 （3） 【19题答案】 【答案】（1）或 （2） （3）设，，四边形的面积： ， 两边同乘，得到：①， 连接，分别在和中用余弦定理： ， 两者相等，化简得：②， 将①式和②式分别平方后相加（经典“平方相加”技巧）： 即：， ， 因为，当且仅当时， 取最大值，此时也取得最大值， 当时，， 即：， 四边形的内角和为， 所以： 因此，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $