3.1.1函数的概念（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数概念，通过鱼塘水量、火箭高度等现实情境引出变量关系，回顾初中一次函数等模型及变量说定义，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解定义域、值域、对应关系三要素。 其亮点在于以列车路程、工资计算等探究问题抽象函数本质，培养数学眼光，通过辨析训练发展逻辑推理的数学思维，用区间、表格等数学语言精确表达。学生提升抽象与归纳能力，教师可借助结构化活动提升教学效率。

第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 学 习 目 标 1 2 3 理解函数定义，明确定义域、值域、对应关系三要素，会判断两个函数是否为同一函数，能求解简单函数定义域，培育数学抽象素养. 在通过实例抽象概括函数概念，体会从变量说到集合对应说的演变，感受数形结合思想，提升归纳概括与辨析判断的能力. 体会数学概念不断完善的严谨性，感受函数作为刻画变量关系模型的价值，养成用数学眼光观察现实变化问题的习惯. 新课引入 客观世界中有各种各样的运动变化现象。 在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化。怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？这样的模型具有怎样的特征？ 天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间变化而增大。 一个装满水的蓄水池，在使用过程中，水面高度随时间变化而不断降低。 我国高速铁路营业里程逐年增加。 新课引入 回顾1：我们已经学习过哪些函数模型呢？ 一次函数： 反比例函数： 二次函数： 回顾2：同学们是否还记得初中函数是怎样定义的呢？ 德国 狄利克雷 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，就说是的函数（）。其中是自变量，是因变量. 探究一：函数的概念 新知探究 问题1：某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时． 这段时间内，列车行进的路程(单位：)与运行时间(单位：)的关系 可以表示为_______. 追问1：这是一个函数吗？为什么？ 是，这里，和是两个变量，而且对于的每一个确定的值，都有确定的路程的值与之对应。 追问2：有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到后，运行1h就前进了”，你认为这个说法正确吗？ 不能，时间有取值范围。 探究一：函数的概念 新知探究 追问3： 和的取值集合是怎么样的？ 的变化范围是数集 的变化范围是数集 追问4：已知，对于任一时刻，都有唯一确定的路程和它对应。我们如何用更加精确的集合语言来刻画这句话呢？ 对于数集中的任一时刻，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的路程和它对应。 S=350t 自变量的集合 函数值的集合 对应关系 探究一：函数的概念 新知探究 问题2： 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天. 如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资(单位：元)是他工作天数的函数吗？ 显然，工资是一周工作天数的函数，其对应关系是 ② 其中，的变化范围是数集 的变化范围是数集 对于数集中的任一个工作天数，按照对应关系②，在数集中都有唯一确定的工资与它对应. 追问：问题1中与问题2中是否为同一函数？如果不是，请说明理由。 不是，自变量范围不同 探究一：函数的概念 新知探究 问题3：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数()变化图.你认为这里的是的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述和的对应关系吗？ 的变化范围是数集，在数集中。对于数集中的任一时刻，在数集中都有唯一确定与之对应。因此，这里的是的函数. 探究一：函数的概念 新知探究 问题4：国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况.你认为按表给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ : ； :对于数集中的任意一个年份，根据表所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应.所以，是的函数. 追问1：如果我们引入}，你认为有道理吗？ 探究一：函数的概念 新知探究 问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在集合 函数值的集合 问题1 问题2 问题3 图像 问题4 表格 } 探究一：函数的概念 新知探究 思考1：上述问题中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 上述问题的共同特征有： (1) 都包含两个非空数集，用，来表示； (2) 都有一个对应关系； (3) 尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性： 对于数集中的任意一个数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的数和它对应. 探究一：函数的概念 新知探究 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便，我们引进符号统一表示对应关系. 函数的概念:设，是非空的实数集，如果对于集合内的任意一个数，按照某种确定的关系，在集合中有唯一确定的数与它对应，那么就称为从集合到集合上的一个函数，记作 x：自变量 x的取值范围A: 函数的定义域 与x的值相对应的y值: 函数值 探究一：函数的概念 新知探究 函数的概念 一般地,设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有________　的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数  函数的记法 定义域 叫做自变量,的取值范围叫做函数的　　　  值域 函数值的集合叫做函数的　 　   唯一确定 定义域 值域 函数的有关概念 我们把函数的定义域、对应关系、值域称为函数的三要素. 即时训练 辨析1：判断下列对应是否为函数： (1)； (2) ，这里； (3) 当为有理数时，；当为无理数时， . 解：(1)对于任意一个非零实数，由唯一确定，所以当时 是函数，这个函数也可以表示为. (2)考虑输入值为4，即当时输出值由给出，得和. 一个输入值与两个输出值对应，所以， () 不是函数. (3)由题意知，对于任意的有理数，总有唯一的元素与之对应；对于任意的无理数 ，总有唯一的元素0与之对应.因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数.可以表示为 探究一：函数的概念 新知探究 1.函数的值域可由函数的定义域和对应关系确定,所以当函数的定义域和对应关系相同时,值域也必定相同. 2.理解函数的概念应关注三点: (1)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集中的任意一个(任意性)数,在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的数与之对应,这三性只要有一个不满足,便不能构成函数; (2) 仅仅是函数关系的符号表示,不是表示“等于与的乘积”,f(x)也不一定就是解析式; (3)除外,有时还用等符号来表示函数. 探究一：函数的概念 新知探究 问题5：请同学们思考我们所熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域. 定义域 值域 思考2： 与是否为同一函数？ 定义域为，定义域为，它们不是同一函数 小技巧：值域是由定义域和对应关系所决定的，所以判断两个函数是否为同一函数只需要判断定义域与对应关系是否一致。 探究二：区间 新知探究 设 , 是两个实数，且，我们规定 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a<x≤b} {x|a≤x<b} [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 闭区间 探究二：区间 新知探究 “”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”，实数集 可以用区间表示为 定义 符号 数轴表示 {x|a≤x} {x|a<x} {x|x≤a} {x|x<a} [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 即时训练 辨析2：把下列数集用区间表示： (1) ； (2)； (3) ； (4) 或 解：(1)， （2）， （3）， （4） 小技巧：区间是集合的另一种表示形式，注意与不等式的区别。写区间的端点时，一定注意书写准确。 典例精讲 例1：试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述. 解：把看成二次函数，那么它的定义域是，值域是 对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数. 如果对的取值范围作出限制，例如，那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设一边长为，面积为，那么 其中，的取值范围是，的取值范围是.对应关系把每一个长方形的边长，对应到唯一确定的面积. 典例精讲 例2：已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求，的值； 【分析】自变量的取值范围叫做函数的定义域。 解：(1)使根式有意义的实数的集合是， 使分式有意义的实数的集合是. 所以，这个函数的定义域是 即 (2)将与带入解析式，有； 给出函数的解析式求定义域 技巧点拨 （1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；要求 . （2）不对解析式化简变形，以免定义域变化. （3）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商形式构成时，定义域是 使得各式子都有意义的公共部分的集合. （4）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用 “或”连接，而应该用并集符号“”连接。 典例精讲 例3：下列函数中哪个与函数是同一个函数？ (1)；(2)；(3)；(4). 【分析】判断两个函数是否为同一个函数：只需判断定义域与对应关系是否一致. 解：(1)，它与函数虽然对应关系相同， 但是定义域不同，所以这个函数与函数不是同一个函数. (2) ，它与函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数是同一个函数. 典例精讲 例3：下列函数中哪个与函数是同一个函数？ (1)；(2)；(3)；(4). 解： (3)： 它与函数的定义域都是实数集， 但是当时，它的对应关系与函数不相同. 所以这个函数与函数不是同一个函数. (4)，它与函数的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数不是同一个函数. 即时训练 题型1 函数的概念 1、下列图像具有函数关系的是___________ 【答案】 2、下列可作为函数的图象的（ ） 、 【答案】 即时训练 题型1 函数的概念 3、设集合， ，给出如图所示的四 个图形： 其中，能表示从集合到集合的函数关系的个数是( ) 【答案】 即时训练 题型2 同一函数的判断 1、(多选)下列各组函数是同一函数的为(　　) . 【答案】 即时训练 题型2 同一函数的判断 2、判断下列各组中的函数是否为同一函数，并说明理由. （1）已知一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则表示与关系的函数和二次函数 . （2），圆面积关于圆半径的函数. 解：（1）不相同，两函数的解析式相同，但是前者的定义域为 ，后者的定义域为 . （2），圆面积关于圆半径的函数；函数的定义域相同，对 应法则相同，是相同函数. 即时训练 题型3 定义域 1、函数的定义域为(　　) . 解：由已知可得即 因此函数的定义域为.故选. 即时训练 题型3 定义域 2、求下列函数的定义域： （1） ； （2） . 解：（1）要使函数有意义，自变量的取值必须满足 解得且 ，即函数的定义域为且 ； （2）要使函数有意义，自变量的取值必须满足 解得 且，即函数的定义域为且 . 即时训练 题型3 定义域 3、函数 的定义域是( ) 、 、 、 【答案】 C 4、函数的定义域为，则实数的取值范围为( ) 【答案】 即时训练 题型3 定义域 5、若函数的定义域为，则函数的定义域为________. 解：∵的定义域为， ∴， 即， ∴函数的定义域为. 即时训练 题型4 求函数值 1、 (1)已知，,则 , , (2)已知，则 【答案】 (1) ; ；； (2)令则 代入原式有， 所以. 课堂小结 感谢聆听! $