1.2 集合间的基本关系（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系核心知识点，系统梳理子集、真子集、空集、集合相等的概念及符号表示，构建从概念理解（定义、记法）到关系判断（韦恩图、元素特征），再到性质应用（传递性、空集特殊性）及含参问题求解的递进学习支架。 资料以结构化呈现（定义、图示、性质）和分层训练（随学随练、题型例析、基础与素养提升）为特色，通过韦恩图培养几何直观（数学眼光），含参问题分类讨论强化推理能力（数学思维），符号规范表达提升符号意识（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

第 一 章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 课标要点 1、理解子集、真子集、空集、集合相等的概念及符号表示。 2、掌握判断两个集合之间包含关系或相等关系的方法。 3、能利用韦恩图直观表示集合间的包含关系。 4、理解空集的特殊性（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）。 5、掌握由集合间的包含关系求参数取值范围的解题思路。 学习重难点 重点： 1、子集与真子集的区别（真子集要求包含且不等）； 2、空集的概念及其在包含关系中的特殊地位； 3、韦恩图在判断集合关系中的应用； 4、由包含关系列出不等式组求参数的基本方法。 难点： 1、含参集合的子集问题中，对空集的讨论容易遗漏（如“A包含于B”时，需考虑A为空集的情况）； 2、集合相等条件的完整列写（互为子集）； 3、描述法表示的集合之间关系的判断，需要准确理解代表元素的范围与意义。 知识点 子集与真子集 1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作 ⊆ (或 ⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 3、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 随学随练 1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 知识点 集合相等 1、集合相等的概念 定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等． 记法与读法 记作，读作“等于” 图示 2、判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）判断下列两个集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 知识点 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 随学随练 1．（25-26高一上·江苏·阶段检测）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点 集合的的关系（重点） 1、韦恩图表示集合间关系 2、常用的几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； 随学随练 1．（25-26高三上·河南郑州·期末）已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 拓展 有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 ①A的子集的个数有2n个． ②A的非空子集的个数有2n－1个． ③A的真子集的个数有2n－1个． ④A的非空真子集的个数有2n－2个． 活学活用 1．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 题型 求集合的子集（真子集） ▌例1（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．为的真子集 解题贴士 列举子集与真子集，核心是按元素个数从少到多分类写出：先写空集，再写所有单元素集，接着双元素集……直到全集本身（真子集则去掉全集），避免重复与遗漏。 ▌对点练1-1（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，则集合的所有子集为_______. 题型 集合的子集（真子集）的个数问题 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____ ▌例2（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 解题贴士 1、求子集或真子集个数，核心是先确定集合中不同元素的个数，再套用公式：含 n 个元素的集合子集总数为 个，真子集为个（去掉自身），非空真子集为个。 2、求所有非空子集元素之和，核心是算每个元素在所有非空子集中出现的次数：含某元素的子集可由剩余元素任意搭配，故每个元素出现次，所有元素总和等于集合中所有元素之和。 ▌对点练1-1（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． ▌对点练1-2（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 题型 根据两个集合相等求参数 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． ▌例2（2026高三·全国·专题练习），若，则______． 解题贴士 从集合相等的概念，找两个集合元素之间的关系，分析讨论两个集合中哪些元素相等的情况。进行讨论、计算、最后检验互异性。 ▌对点练1-1（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. ▌对点练1-2（2026·广东·一模）已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 题型 空集的判断 ▌例1（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解题贴士 1、判断一个集合是否为空集，核心是检查其元素是否存在。空集是“不含有任何元素的集合”，常见形式有：方程无实数解、不等式的解集为空、定义域或值域无意义。 2、注意空集与集合 {0} 不同（后者含元素0），且空集是任何非空集合的真子集，也是任何集合的子集。同时注意符号∅ 与集合 {∅} 的区别：前者为空，后者是含有一个元素（即空集）的集合，两者不同。 ▌对点练1-1（25-26高一上·河北·期中）下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 ▌对点练1-2（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 题型 判断两个集合的包含关系 ▌例1已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 ▌例2（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 判断两个集合的包含关系，核心是比较它们元素的范围或条件： ①列举法：直接观察元素是否全部包含； ②描述法：化简条件后，看A的条件是否能推出B的条件（即A的条件比B更严格或等价），若能推出则A是B的子集； ③数轴法：对连续数集，在数轴上画出范围，看区间是否被覆盖。注意空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集；且若两集合元素完全相同，则它们相等（互为子集）。若含参，则需讨论参数范围使包含关系成立。 ▌对点练1-1（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 题型 根据集合的包含关系求参 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． ▌例2（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 解题贴士 根据包含关系求参，核心是将子集条件转化为参数的不等式（或方程），优先讨论空集情况，若子集可为空，则先令其条件无解，再讨论非空情形。 1、对于连续数集，利用数轴画出区间，根据“子集区间端点被包含”列不等式组（注意端点等号能否取到需单独验证）。 2、对于有限集，则要求子集中所有元素都在母集中，即“一一对应”或“完全匹配”，代入检验是否满足。最后所有参数值必须代回原集合验证互异性和非空性，排除使集合退化的值。 ▌对点练1-1（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. ▌对点练1-2（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 基础通关 1．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 5．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 6．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 7．（第02讲集合的基本关系（暑假预习讲义）新高一数学人教B版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）给出下列四个集合，其中为空集的是（    ） A． B． C． D． 素养提升 1．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 2．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 3．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 5．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 一 章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 课标要点 1、理解子集、真子集、空集、集合相等的概念及符号表示。 2、掌握判断两个集合之间包含关系或相等关系的方法。 3、能利用韦恩图直观表示集合间的包含关系。 4、理解空集的特殊性（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）。 5、掌握由集合间的包含关系求参数取值范围的解题思路。 学习重难点 重点： 1、子集与真子集的区别（真子集要求包含且不等）； 2、空集的概念及其在包含关系中的特殊地位； 3、韦恩图在判断集合关系中的应用； 4、由包含关系列出不等式组求参数的基本方法。 难点： 1、含参集合的子集问题中，对空集的讨论容易遗漏（如“A包含于B”时，需考虑A为空集的情况）； 2、集合相等条件的完整列写（互为子集）； 3、描述法表示的集合之间关系的判断，需要准确理解代表元素的范围与意义。 知识点 子集与真子集 1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作 ⊆ (或 ⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 3、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 随学随练 1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 知识点 集合相等 1、集合相等的概念 定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等． 记法与读法 记作，读作“等于” 图示 2、判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）判断下列两个集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)AB (2)AB (3) 【分析】（1）列举出集合B中的元素，判断集合A和集合B的关系； （2）借助数轴，判断集合A和集合B的关系； （3）可以比较两个集合中元素的关系，判断两个集合的关系，也可以列举集合元素比较判断. 【详解】（1）因为，，所以AB. （2）因为，， 如图， 所以AB． （3）方法一：任取，则，， 因为，，，所以，则， 同理可得，．由，且，得． 方法二：集合，集合， 根据规律可知集合A与B所含元素相同，所以． 知识点 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 随学随练 1．（25-26高一上·江苏·阶段检测）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 知识点 集合的的关系（重点） 1、韦恩图表示集合间关系 2、常用的几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； 随学随练 1．（25-26高三上·河南郑州·期末）已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别化简集合，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算即可求解． 【详解】， ， 则，，故B正确；A、C错误； ，故D错误； 故选：B． 拓展 有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 ①A的子集的个数有2n个． ②A的非空子集的个数有2n－1个． ③A的真子集的个数有2n－1个． ④A的非空真子集的个数有2n－2个． 活学活用 1．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 题型 求集合的子集（真子集） ▌例1（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. ▌例2（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．为的真子集 【答案】C 【分析】通过子集的定义求解即可. 【详解】，. 故选：C. 解题贴士 列举子集与真子集，核心是按元素个数从少到多分类写出：先写空集，再写所有单元素集，接着双元素集……直到全集本身（真子集则去掉全集），避免重复与遗漏。 ▌对点练1-1（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C ▌对点练1-2（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，则集合的所有子集为_______. 【答案】，，， 【分析】明确集合，根据子集的概念可得集合的所有子集. 【详解】由或，所以. 所以集合的子集为：，，，. 故答案为：，，， 题型 集合的子集（真子集）的个数问题 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念即可求解. 【详解】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. ▌例2（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 解题贴士 1、求子集或真子集个数，核心是先确定集合中不同元素的个数，再套用公式：含 n 个元素的集合子集总数为 个，真子集为个（去掉自身），非空真子集为个。 2、求所有非空子集元素之和，核心是算每个元素在所有非空子集中出现的次数：含某元素的子集可由剩余元素任意搭配，故每个元素出现次，所有元素总和等于集合中所有元素之和。 ▌对点练1-1（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． 【答案】 【分析】写出所有非空真子集，结合题意即可得解. 【详解】集合的所有非空真子集为，所以元素之和为， 故. 故答案为： ▌对点练1-2（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【分析】根据集合之间的关系写出集合B所有的情况，再计算即可. 【详解】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. 题型 根据两个集合相等求参数 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． ▌例2（2026高三·全国·专题练习），若，则______． 【答案】1 【分析】根据题意，利用集合相等和集合中元素的性质，求得，，进而得到答案. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 解题贴士 从集合相等的概念，找两个集合元素之间的关系，分析讨论两个集合中哪些元素相等的情况。进行讨论、计算、最后检验互异性。 ▌对点练1-1（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. ▌对点练1-2（2026·广东·一模）已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由于集合，， 则，故 题型 空集的判断 ▌例1（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. ▌例2（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 解题贴士 1、判断一个集合是否为空集，核心是检查其元素是否存在。空集是“不含有任何元素的集合”，常见形式有：方程无实数解、不等式的解集为空、定义域或值域无意义。 2、注意空集与集合 {0} 不同（后者含元素0），且空集是任何非空集合的真子集，也是任何集合的子集。同时注意符号∅ 与集合 {∅} 的区别：前者为空，后者是含有一个元素（即空集）的集合，两者不同。 ▌对点练1-1（25-26高一上·河北·期中）下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 【答案】C 【分析】根据定义逐项判断即可. 【详解】A：是含有一个元素的数集，故错误； B：因为空集是任何集合的子集，故错误； C：因为是自然数集，所以，故正确； D：由元素具有无序性可知，与是相同的集合，故错误； 故选：C. ▌对点练1-2（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，D，由于空集是任何集合的子集，故，故C正确，D不正确. 故选：ABD. 题型 判断两个集合的包含关系 ▌例1已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． ▌例2（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 解题贴士 判断两个集合的包含关系，核心是比较它们元素的范围或条件： ①列举法：直接观察元素是否全部包含； ②描述法：化简条件后，看A的条件是否能推出B的条件（即A的条件比B更严格或等价），若能推出则A是B的子集； ③数轴法：对连续数集，在数轴上画出范围，看区间是否被覆盖。注意空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集；且若两集合元素完全相同，则它们相等（互为子集）。若含参，则需讨论参数范围使包含关系成立。 ▌对点练1-1（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系. 【详解】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 题型 根据集合的包含关系求参 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 ▌例2（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【详解】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 解题贴士 根据包含关系求参，核心是将子集条件转化为参数的不等式（或方程），优先讨论空集情况，若子集可为空，则先令其条件无解，再讨论非空情形。 1、对于连续数集，利用数轴画出区间，根据“子集区间端点被包含”列不等式组（注意端点等号能否取到需单独验证）。 2、对于有限集，则要求子集中所有元素都在母集中，即“一一对应”或“完全匹配”，代入检验是否满足。最后所有参数值必须代回原集合验证互异性和非空性，排除使集合退化的值。 ▌对点练1-1（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的概念即可求出； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. ▌对点练1-2（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 基础通关 1．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 2．（2026高一·全国·专题练习）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A 3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 4．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断. 【详解】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C 5．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合相等的定义分两种情况解方程组，再结合元素具有互异性判断可得结果. 【详解】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D 6．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据子集、空集、元素的性质和概念，对各选项进行分析判断． 【详解】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 7．（第02讲集合的基本关系（暑假预习讲义）新高一数学人教B版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 8．（2025·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 【详解】， ， 集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 故选：A 9．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 10．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）给出下列四个集合，其中为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空集的定义、一元二次方程、方程组、不等式的性质直接求解． 【详解】对于A，是以为元素的集合，不是空集，A不是； 对于B，方程中，，方程无实根， 因此是空集，B是； 对于C，由，得无实根，因此是空集，C是； 对于D，不是空集，D不是. 故选：BC 素养提升 1．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 2．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 3．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【详解】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 4．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，代入即可求得a值. （2）由题意，分别讨论、、和四种情况，分别求得a值，分析即可得答案. 【详解】（1）由，代入可得，解得. （2）由解得或4，即集合， 因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，无解； 当时，，解得. 综上，实数a的取值范围为或. 5．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据得出即可求解； （2）先根据及，得出集合，再列式计算求参. 【详解】（1）当时，，又因为， 所以，所以，所以； （2）当时，， 因为，， 所以只有一个元素且， 所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $